Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : moyenne, médiane, écart type et histogrammes.
Cette correction montre la méthode attendue pour chaque indicateur. Pour la médiane et les quartiles, tout repose sur les effectifs cumulés croissants : on repère le rang cherché, puis la valeur correspondante. Ensuite, pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre. On obtient ainsi une estimation de la moyenne et non sa valeur exacte.
Enfin, pour comparer deux séries, on associe toujours un indicateur de position à un indicateur de dispersion. On conclut alors par une phrase adaptée à la question posée. Le barème détaillé suit chaque exercice, avec les erreurs les plus courantes signalées.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : moyenne, médiane, écart type et histogrammes.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Les livres lus en un mois | 6 points |
| Exercice 2 : Le temps de trajet vers le lycée | 5 points |
| Exercice 3 : Deux lanceurs de javelot | 5 points |
| Exercice 4 : Moyennes de classes | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Les livres lus en un mois (6 points)
- D’abord, l’effectif total est \(N = 4 + 6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 40\).
La moyenne est donc la moyenne pondérée par les effectifs :
\(\overline{x} = \dfrac{0 \times 4 + 1 \times 6 + 2 \times 10 + 3 \times 8 + 4 \times 6 + 5 \times 4 + 6 \times 2}{40}\)
\(\overline{x} = \dfrac{0 + 6 + 20 + 24 + 24 + 20 + 12}{40} = \dfrac{106}{40} = 2{,}65\)
40 élèves ont été interrogés et ils ont lu en moyenne 2,65 livres.
- On calcule d’abord les effectifs cumulés croissants :
Nombre de livres 0 1 2 3 4 5 6 Effectif 4 6 10 8 6 4 2 Effectif cumulé croissant 4 10 20 28 34 38 40 L’effectif 40 est pair : la médiane est donc la moyenne des valeurs de rang 20 et 21. Or, d’après les effectifs cumulés, la 20e valeur est 2 (les rangs 11 à 20 valent 2). De plus, la 21e valeur est 3 (les rangs 21 à 28 valent 3).
\(Me = \dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)
La médiane est 2,5 livres. Ainsi, au moins la moitié des élèves a lu 2 livres ou moins, et au moins la moitié en a lu 3 ou plus.
Questions c, d et e : quartiles, écart type et pourcentage
- \(\dfrac{40}{4} = 10\) : \(Q_1\) est la 10e valeur. Or l’effectif cumulé atteint 10 pour la valeur 1, donc \(Q_1 = 1\).
De même, \(\dfrac{3 \times 40}{4} = 30\) : \(Q_3\) est la 30e valeur. Les rangs 29 à 34 correspondent à la valeur 4, donc \(Q_3 = 4\).
\(Q_1 = 1\), \(Q_3 = 4\) et l’écart interquartile vaut \(Q_3 – Q_1 = 3\) livres.
- On entre d’abord les valeurs en liste 1 et les effectifs en liste 2. Puis on lance les statistiques à une variable. La calculatrice affiche alors \(\sigma \approx 1{,}6209\).
L’écart type est \(\sigma \approx 1{,}62\) livre.
Contrôle possible : la moyenne des carrés vaut \(\dfrac{386}{40} = 9{,}65\). Ainsi, \(\sigma^2 = 9{,}65 – 2{,}65^2 = 2{,}6275\), d’où \(\sigma = \sqrt{2{,}6275} \approx 1{,}62\).
- Au moins 4 livres : \(6 + 4 + 2 = 12\) élèves, et \(\dfrac{12}{40} = 0{,}3\).
Donc 30 % des élèves ont lu au moins 4 livres.
Erreur fréquente : diviser la somme des valeurs \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\) par 7. En effet, ce calcul oublie les effectifs.
Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour l’effectif total, 0,5 pour le calcul pondéré, 0,5 pour le résultat ; b) 1,5 point : 0,5 pour les effectifs cumulés, 0,5 pour les rangs 20 et 21, 0,5 pour la médiane ; c) 1,5 point : 0,5 par quartile, 0,5 pour l’écart interquartile ; d) 1 point pour l’écart type arrondi ; e) 0,5 point.
Exercice 2 : Le temps de trajet vers le lycée (5 points)
- On lit d’abord la hauteur de chaque rectangle :
Durée (min) [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ Effectif 8 15 12 10 5 Centre de classe 5 15 25 35 45 \(8 + 15 + 12 + 10 + 5 = 50\) : on retrouve donc bien les 50 élèves.
- On remplace ensuite chaque classe par son centre :
\(\overline{x} \approx \dfrac{5 \times 8 + 15 \times 15 + 25 \times 12 + 35 \times 10 + 45 \times 5}{50}\)
\(\overline{x} \approx \dfrac{40 + 225 + 300 + 350 + 225}{50} = \dfrac{1\,140}{50} = 22{,}8\)
La durée moyenne du trajet est ainsi estimée à 22,8 minutes.
- Effectifs cumulés croissants : 8 ; 23 ; 35 ; 45 ; 50. Comme l’effectif vaut 50, la médiane correspond aux rangs 25 et 26. Or les 23 premiers élèves sont dans les deux premières classes. Par conséquent, les rangs 24 à 35 sont dans la classe [20 ; 30[.
La classe médiane est [20 ; 30[.
- Au moins 30 minutes : \(10 + 5 = 15\) élèves, et \(\dfrac{15}{50} = 0{,}3\).
Donc 30 % de ces élèves mettent au moins 30 minutes.
- On ne connaît pas les durées exactes à l’intérieur de chaque classe. On a donc supposé que tous les élèves d’une classe avaient la durée du centre : ce n’est qu’une approximation.
Barème : a) 1 point : 0,5 pour les effectifs lus, 0,5 pour la vérification ; b) 1,5 point : 0,5 pour les centres, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat ; c) 1 point : 0,5 pour les effectifs cumulés ou les rangs, 0,5 pour la classe ; d) 1 point : 0,5 pour 15 élèves, 0,5 pour le pourcentage ; e) 0,5 point.
Exercice 3 : Deux lanceurs de javelot (5 points)
- Somme des lancers d’Inès : \(42 + 45 + 47 + 44 + 46 + 43 + 45 + 48 + 45 = 405\). Sa moyenne vaut donc \(\dfrac{405}{9} = 45\) m.
Somme des lancers de Maël : \(36 + 52 + 40 + 49 + 45 + 38 + 54 + 47 + 44 = 405\). Sa moyenne vaut donc aussi 45 m.
Séries rangées dans l’ordre croissant :
Inès : 42 ; 43 ; 44 ; 45 ; 45 ; 45 ; 46 ; 47 ; 48.
Maël : 36 ; 38 ; 40 ; 44 ; 45 ; 47 ; 49 ; 52 ; 54.
Avec 9 valeurs, la médiane est alors la 5e valeur : 45 m pour les deux.
Les deux athlètes ont la même moyenne (45 m) et la même médiane (45 m). Par conséquent, ces indicateurs ne permettent pas de les départager.
- \(\dfrac{9}{4} = 2{,}25\), donc \(Q_1\) est la 3e valeur ; \(\dfrac{3 \times 9}{4} = 6{,}75\), donc \(Q_3\) est la 7e valeur.
Inès : \(Q_1 = 44\), \(Q_3 = 46\), écart interquartile 2 m. Maël : \(Q_1 = 40\), \(Q_3 = 49\), écart interquartile 9 m.
- La calculatrice donne ensuite \(\sigma_I \approx 1{,}7638\) et \(\sigma_M \approx 5{,}8310\).
Écart type d’Inès : environ 1,76 m ; écart type de Maël : environ 5,83 m.
- Maël est beaucoup plus irrégulier : son écart interquartile et son écart type sont bien plus grands. Cependant, il a dépassé 50 m deux fois sur neuf (52 m et 54 m), alors qu’Inès n’a jamais dépassé 48 m.
Pour espérer dépasser 50 m, l’entraîneur a donc intérêt à choisir Maël. En revanche, s’il cherche la régularité, il choisira Inès, dont les lancers sont bien moins dispersés.
Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les deux moyennes, 0,5 pour les deux médianes, 0,5 pour le constat ; b) 1,5 point : 0,25 par quartile, 0,25 par écart interquartile ; c) 1 point : 0,5 par écart type ; d) 1 point : 0,5 par choix justifié.
Exercice 4 : Moyennes de classes (4 points)
- Somme des notes de la seconde A : \(24 \times 11{,}5 = 276\). Somme des notes de la seconde B : \(16 \times 13 = 208\).
\(\overline{x} = \dfrac{276 + 208}{40} = \dfrac{484}{40} = 12{,}1\)
La moyenne des 40 élèves est 12,1. Elle n’est pas égale à \(\dfrac{11{,}5 + 13}{2} = 12{,}25\), car les deux classes n’ont pas le même effectif. En effet, la seconde A, plus nombreuse, pèse davantage dans la moyenne.
- Pour avoir 12 de moyenne sur 5 devoirs, il faut un total de \(5 \times 12 = 60\) points. Or elle a déjà \(9 + 14 + 12 + 11 = 46\) points.
\(60 – 46 = 14\)
Léa doit donc obtenir 14 au cinquième devoir.
- Ajouter 1 à chaque note ajoute 1 à la moyenne. Cependant, cela ne change pas les écarts entre les notes et la moyenne.
Nouvelle moyenne : 11,4 ; l’écart type reste égal à 3,2.
- Enfin, diviser toutes les notes par 2 divise la moyenne et les écarts à la moyenne par 2.
Nouvelle moyenne : 5,2 ; nouvel écart type : 1,6.
Erreur fréquente : croire que l’écart type augmente aussi de 1 quand on ajoute 1 point à toutes les copies.
Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les deux sommes, 0,5 pour la moyenne 12,1, 0,5 pour l’explication ; b) 1 point : 0,5 pour le total de 60 points, 0,5 pour la note 14 ; c) 1 point : 0,5 pour la moyenne, 0,5 pour l’écart type justifié ; d) 0,5 point : 0,25 par résultat.
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Après le corrigé du contrôle : moyenne, médiane, écart type et histogrammes
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