Corrigé du contrôle de maths 3ème : statistiques et probabilités

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(\dfrac{8 + 12 + 15 + 9 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11\) : la moyenne est \(11\).
2. La série est rangée et compte 6 valeurs : la médiane est entre la 3e et la 4e valeur, \(\dfrac{8 + 12}{2} = 10\) : la médiane est \(10\).
3. \(22 – 4 = 18\) : l’étendue est \(18\).
4. Il y a 3 faces paires (2, 4, 6) sur 6 : \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
5. Il y a 5 boules bleues sur 8 boules : \(\dfrac{5}{8}\).
6. \(1 – 0{,}35 = 0{,}65\) : \(0{,}65\).
7. \(\dfrac{12}{48} = 0{,}25\) : \(25\,\%\).
8. Non : une probabilité est toujours comprise entre \(0\) et \(1\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte, soit 8 × 0,5 = 4 points.

Exercice 2 : Le temps de trajet des élèves (4 points)

1. \(3 + 6 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25\). 25 élèves ont répondu.
2. Moyenne pondérée par les effectifs :
   \(\dfrac{5 \times 3 + 10 \times 6 + 15 \times 8 + 20 \times 5 + 25 \times 2 + 30 \times 1}{25}\)
   \(= \dfrac{15 + 60 + 120 + 100 + 50 + 30}{25} = \dfrac{375}{25} = 15\).
   Le temps de trajet moyen est de \(15\) minutes.
3. L’effectif total est \(25\), nombre impair : la médiane est la 13e valeur de la série rangée, car \(\dfrac{25 + 1}{2} = 13\).
   Effectifs cumulés : 3 élèves jusqu’à 5 min, \(3 + 6 = 9\) jusqu’à 10 min, \(9 + 8 = 17\) jusqu’à 15 min. La 13e valeur est donc \(15\).
   Le temps de trajet médian est de \(15\) minutes.
4. \(30 – 5 = 25\). L’étendue est de \(25\) minutes.
5. \(5 + 2 + 1 = 8\) élèves mettent au moins 20 minutes, et \(\dfrac{8}{25} = 0{,}32\).
   \(32\,\%\) des élèves mettent au moins 20 minutes.

Erreur fréquente : calculer la moyenne des six valeurs \(5\), \(10\), \(15\), \(20\), \(25\), \(30\) sans tenir compte des effectifs, ce qui donne \(17{,}5\) au lieu de \(15\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour les produits valeur × effectif, 0,5 point pour la division par 25, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la position (13e valeur), 0,5 point pour la médiane justifiée ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point.

Exercice 3 : Deux tirages avec remise (4 points)

1. À chaque tirage, il y a 2 jetons rouges sur 3, donc \(P(R) = \dfrac{2}{3}\) et \(P(V) = \dfrac{1}{3}\). Comme le jeton est remis, les probabilités sont les mêmes au second tirage.

   

2. On multiplie les probabilités le long du chemin : \(P(R\,;R) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\).
   La probabilité de tirer deux jetons rouges est \(\dfrac{4}{9}\).
3. Les issues favorables sont \((R\,;V)\) et \((V\,;R)\) :
   \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9}\).
   La probabilité que les jetons soient de couleurs différentes est \(\dfrac{4}{9}\).
4. « Au moins un jeton vert » est l’événement contraire de « deux jetons rouges » :
   \(1 – \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\).
   La probabilité de tirer au moins un jeton vert est \(\dfrac{5}{9}\).

Erreur fréquente : additionner les probabilités le long d’un chemin (\(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\)) au lieu de les multiplier.

Barème : a) 0,5 point pour la structure de l’arbre, 1 point pour les probabilités sur les branches ; b) 0,5 point pour la multiplication, 0,5 point pour \(\frac{4}{9}\) ; c) 0,5 point pour les deux issues, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point.

Exercice 4 : Deux cents lancers de dé (4 points)

1. \(\dfrac{36}{200} = 0{,}18\). La fréquence de la face 3 est \(0{,}18\), soit \(18\,\%\).
2. Faces paires : \(34 + 31 + 34 = 99\) lancers, et \(\dfrac{99}{200} = 0{,}495\).
   La fréquence d’un nombre pair est \(0{,}495\), soit \(49{,}5\,\%\).
3. Si le dé est équilibré, \(P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). La fréquence observée \(0{,}495\) est très proche de la probabilité \(0{,}5\).
4. Pour un dé équilibré, chaque face a une probabilité de \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\), soit environ \(33\) apparitions sur 200 lancers. Les fréquences observées vont de \(\dfrac{30}{200} = 0{,}15\) à \(\dfrac{36}{200} = 0{,}18\) : ces écarts sont normaux, car le hasard fait fluctuer les résultats. 200 lancers ne suffisent pas à dire que le dé est truqué ; les fréquences restent proches de \(\dfrac{1}{6}\), et elles s’en rapprocheraient encore en faisant beaucoup plus de lancers.
5. \(\dfrac{1 \times 30 + 2 \times 34 + 3 \times 36 + 4 \times 31 + 5 \times 35 + 6 \times 34}{200}\)
   \(= \dfrac{30 + 68 + 108 + 124 + 175 + 204}{200} = \dfrac{709}{200} = 3{,}545\).
   La moyenne des résultats est \(3{,}545\).

Erreur fréquente : confondre fréquence et probabilité. La fréquence est observée et change d’une série de lancers à l’autre ; la probabilité est une valeur théorique fixe.

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour l’effectif 99, 0,5 point pour la fréquence ; c) 0,5 point pour la probabilité et la comparaison ; d) 0,5 point pour la référence à \(\frac{1}{6}\), 0,5 point pour l’argument de fluctuation ; e) 0,5 point pour la moyenne pondérée posée, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 5 : Les jeux de la kermesse (4 points)

1. Tableau des sommes des deux dés (dé 1 en ligne, dé 2 en colonne) :
   

   +	1	2	3	4	5	6
   1	2	3	4	5	6	7
   2	3	4	5	6	7	8
   3	4	5	6	7	8	9
   4	5	6	7	8	9	10
   5	6	7	8	9	10	11
   6	7	8	9	10	11	12

   Les 36 issues sont équiprobables et 6 d’entre elles donnent une somme de 7 : \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
   La probabilité de gagner au jeu des dés est \(\dfrac{1}{6}\).

2. Les multiples de 4 entre 1 et 10 sont 4 et 8 : \(\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\).
   Or \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\) et \(0{,}2 > 0{,}167\).
   La probabilité de gagner à la roue est \(\dfrac{1}{5}\) : il vaut mieux jouer à la roue.
3. \(\dfrac{27}{150} = 0{,}18\), proche de \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). Oui, ce résultat est cohérent : la fréquence observée est proche de la probabilité.
4. Sur 200 parties, on peut s’attendre à environ \(200 \times \dfrac{1}{5} = 40\) gagnants.
   Recettes : \(200 \times 2 = 400\) € ; coût des lots : \(40 \times 5 = 200\) €.
   L’association peut espérer un bénéfice d’environ \(400 – 200 = 200\) €.

Erreur fréquente : croire qu’il y a 11 sommes possibles (de 2 à 12) toutes équiprobables, et répondre \(\frac{1}{11}\). Les sommes n’ont pas toutes la même probabilité : il faut compter les 36 couples.

Barème : a) 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour le dénombrement des 6 issues, 0,5 point pour \(\frac{1}{6}\) ; b) 0,5 point pour \(\frac{1}{5}\), 0,5 point pour la comparaison et le choix ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour les 40 gagnants attendus, 0,5 point pour le bénéfice.

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Après le corrigé du contrôle : statistiques et probabilités

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