Corrigé du contrôle de maths 3ème : moyenne, médiane et étendue d'une série

Sommaire

Voici le corrigé du contrôle de maths de 3ème sur le thème : moyenne, médiane et étendue d’une série.

Cette correction pose chaque calcul comme au brevet. Pour la moyenne pondérée, on multiplie chaque valeur par son effectif avant de diviser par l’effectif total. Pour la médiane, on range les valeurs, on cherche le rang du milieu, puis on utilise les effectifs cumulés quand la série est donnée dans un tableau.

Chaque médiane est ensuite traduite en une phrase du type « au moins la moitié des élèves… ». Le dernier exercice montre que deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : l’étendue mesure la dispersion. Le barème accompagne chaque exercice.

L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 3ème : moyenne, médiane et étendue d’une série.

Barème du contrôle

Exercice	Points
Exercice 1 : Le temps de trajet	4 points
Exercice 2 : Les points d’un basketteur	4 points
Exercice 3 : Les pointures d’une classe	5 points
Exercice 4 : Les livres des vacances	4 points
Exercice 5 : Deux archers	3 points
Total	20 points

Exercice 1 : Le temps de trajet (4 points)

\(\frac{12 + 25 + 8 + 15 + 30 + 10 + 18 + 22 + 13}{9} = \frac{153}{9} = 17\)
La durée moyenne du trajet est de 17 minutes.
On range les valeurs dans l’ordre croissant :
8 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18 ; 22 ; 25 ; 30
L’effectif est 9, un nombre impair : \(\frac{9 + 1}{2} = 5\), la médiane est la 5^e valeur. La médiane est 15 minutes.
\(30 – 8 = 22\). L’étendue est de 22 minutes.

Erreur fréquente : prendre la valeur du milieu de la série non rangée (ici 30, la 5^e valeur de la liste de départ). Il faut toujours ranger les valeurs d’abord.

Barème : a) 0,5 point pour la somme 153, 0,5 point pour la division par 9, 0,5 point pour 17 min ; b) 0,5 point pour la série rangée, 0,5 point pour le rang, 0,5 point pour 15 min ; c) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour 22 min avec l’unité.

Exercice 2 : Les points d’un basketteur (4 points)

\(\frac{14 + 8 + 21 + 17 + 9 + 12 + 26 + 15 + 11 + 17}{10} = \frac{150}{10} = 15\)
Théo marque en moyenne 15 points par match.
Série rangée : 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 ; 17 ; 17 ; 21 ; 26
L’effectif est 10, un nombre pair : la médiane est la moyenne des 5^e et 6^e valeurs.
\(\frac{14 + 15}{2} = 14{,}5\). La médiane est \(14{,}5\) points.
Lors d’au moins la moitié des matchs, Théo a marqué 14 points ou moins, et lors d’au moins la moitié des matchs, il a marqué 15 points ou plus. (On accepte : « la moitié des matchs à moins de \(14{,}5\) points, l’autre moitié à plus de \(14{,}5\) points ».)
Pour une moyenne de 16 sur 11 matchs, il faut un total de \(16 \times 11 = 176\) points. Il en a déjà 150 : \(176 – 150 = 26\). Théo doit marquer 26 points au 11^e match.

Barème : a) 0,5 point pour la somme 150, 0,5 point pour 15 ; b) 0,5 point pour la série rangée, 0,5 point pour la méthode (5^e et 6^e valeurs), 0,5 point pour \(14{,}5\) ; c) 1 point pour une phrase correcte en contexte ; d) 0,5 point pour 26 points justifié.

Exercice 3 : Les pointures d’une classe (5 points)

La fréquence d’une pointure est son effectif divisé par l’effectif total 25, multiplié par 100. Par exemple, pour la pointure 38 : \(\frac{6}{25} \times 100 = 24\,\%\).

Pointure 36 37 38 39 40 41 42

Effectif 2 4 6 5 4 3 1

Fréquence (en %) 8 16 24 20 16 12 4

Vérification : \(8 + 16 + 24 + 20 + 16 + 12 + 4 = 100\).
\(16\,\% + 12\,\% + 4\,\% = 32\,\%\) (ou \(\frac{4 + 3 + 1}{25} = \frac{8}{25} = 32\,\%\)). \(32\,\%\) des élèves chaussent du 40 ou plus.
On calcule une moyenne pondérée par les effectifs :
\(\frac{36 \times 2 + 37 \times 4 + 38 \times 6 + 39 \times 5 + 40 \times 4 + 41 \times 3 + 42 \times 1}{25}\)
\(= \frac{72 + 148 + 228 + 195 + 160 + 123 + 42}{25} = \frac{968}{25} = 38{,}72\)
La pointure moyenne est \(38{,}72\).
L’effectif est 25, un nombre impair : \(\frac{25 + 1}{2} = 13\), la médiane est la 13^e valeur de la série rangée.
Effectifs cumulés : 2 élèves jusqu’au 36, 6 jusqu’au 37, 12 jusqu’au 38, 17 jusqu’au 39. La 13^e valeur est donc 39.
La pointure médiane est 39 : au moins la moitié des élèves chaussent du 39 ou moins, et au moins la moitié chaussent du 39 ou plus.
\(42 – 36 = 6\). L’étendue est 6.

Erreur fréquente : en c), additionner les sept pointures et diviser par 7, ce qui donne 39. Ce calcul ignore que les pointures ne sont pas portées par le même nombre d’élèves.

Barème : a) 1 point (0,5 point si une ou deux fréquences sont fausses) ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour les produits, 0,5 point pour la division par 25, 0,5 point pour \(38{,}72\) ; d) 0,5 point pour le rang 13, 0,5 point pour 39, 0,5 point pour la phrase ; e) 0,5 point.

Exercice 4 : Les livres des vacances (4 points)

\(3 + 5 + 8 + 6 + 4 + 2 = 28\). 28 élèves ont répondu à l’enquête.
\(\frac{0 \times 3 + 1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 6 + 4 \times 4 + 5 \times 2}{28} = \frac{0 + 5 + 16 + 18 + 16 + 10}{28} = \frac{65}{28} \approx 2{,}32\)
En moyenne, un élève a lu environ \(2{,}3\) livres.
L’effectif est 28, un nombre pair : la médiane est la moyenne des 14^e et 15^e valeurs de la série rangée.
Effectifs cumulés : 3 élèves ont lu 0 livre, 8 élèves ont lu 1 livre ou moins, 16 élèves ont lu 2 livres ou moins. Les 14^e et 15^e valeurs sont donc toutes les deux égales à 2.
La médiane est 2 livres.
\(6 + 4 + 2 = 12\) élèves ont lu au moins 3 livres. \(\frac{12}{28} \times 100 \approx 42{,}86\).
Environ \(42{,}9\,\%\) des élèves ont lu au moins 3 livres.

Erreur fréquente : en b), calculer \(\frac{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}{6} = 2{,}5\). Les hauteurs des barres donnent les effectifs : chaque nombre de livres doit être multiplié par son effectif.

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour les produits, 0,5 point pour la division par 28, 0,5 point pour \(2{,}3\) ; c) 0,5 point pour le rang (14^e et 15^e valeurs), 0,5 point pour 2 ; d) 0,5 point pour 12 élèves, 0,5 point pour \(42{,}9\,\%\).

Exercice 5 : Deux archers (3 points)

Inès : \(\frac{7 + 8 + 8 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8}{8} = \frac{64}{8} = 8\) et étendue \(9 – 7 = 2\).
Paul : \(\frac{10 + 4 + 10 + 9 + 5 + 10 + 6 + 10}{8} = \frac{64}{8} = 8\) et étendue \(10 – 4 = 6\).
Les deux archers ont la même moyenne, 8 points ; l’étendue est 2 pour Inès et 6 pour Paul.
Inès, série rangée : 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9. La médiane est \(\frac{8 + 8}{2} = 8\).
Paul, série rangée : 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10. La médiane est \(\frac{9 + 10}{2} = 9{,}5\).
La médiane est 8 pour Inès et \(9{,}5\) pour Paul.
Les moyennes sont égales, mais l’étendue d’Inès (2) est bien plus petite que celle de Paul (6) : ses scores sont moins dispersés. L’entraîneur doit choisir Inès, l’archère la plus régulière.

Barème : a) 0,5 point par moyenne, 0,5 point pour les deux étendues ; b) 0,5 point par médiane ; c) 0,5 point pour le choix d’Inès justifié par l’étendue.

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Après le corrigé du contrôle : moyenne, médiane et étendue d’une série

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