Contrôle de maths 3ème : réciproque de Thalès et parallélisme

Exercice 1 : Des droites parallèles (4 points)

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Dans le triangle \(ABC\), le point \(M\) appartient au segment \([AB]\) et le point \(N\) au segment \([AC]\).
On donne : \(AM = 2{,}4\text{ cm}\), \(AB = 6\text{ cm}\), \(AN = 3\text{ cm}\) et \(AC = 7{,}5\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule les quotients \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\). (2 points)
2. Démontre que les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. (1 point)
3. On sait de plus que \(BC = 8\text{ cm}\). Calcule la longueur \(MN\). (1 point)

Exercice 2 : Parallèles ou pas (4 points)

Les droites \((RT)\) et \((SU)\) se coupent en \(O\). Les points \(R\), \(O\), \(T\) sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points \(S\), \(O\), \(U\).
On donne : \(OR = 5\text{ cm}\), \(OT = 7\text{ cm}\), \(OS = 6\text{ cm}\) et \(OU = 8{,}5\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Compare les quotients \(\dfrac{OR}{OT}\) et \(\dfrac{OS}{OU}\). (2 points)
2. Les droites \((RS)\) et \((TU)\) sont-elles parallèles ? Justifie. (1 point)
3. On garde \(OR\), \(OT\) et \(OS\). Quelle longueur faudrait-il pour \(OU\) afin que les droites \((RS)\) et \((TU)\) soient parallèles ? (1 point)

Exercice 3 : Deux triangles à tester (4 points)

1. Le triangle \(KLM\) est tel que \(KL = 3{,}6\text{ cm}\), \(LM = 4{,}8\text{ cm}\) et \(KM = 6\text{ cm}\). Est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet. (2 points)
2. Le triangle \(PQR\) est tel que \(PQ = 5\text{ cm}\), \(QR = 7\text{ cm}\) et \(PR = 8{,}6\text{ cm}\). Est-il rectangle ? (2 points)

Exercice 4 : L’étagère (4 points)

Hugo fixe une étagère \([AB]\) sur un mur vertical. Elle est tenue par un support \([BC]\), avec \(C\) sur le mur, et un renfort \([DE]\) relie le mur au support.
On donne : \(AB = 30\text{ cm}\), \(AC = 40\text{ cm}\), \(BC = 50\text{ cm}\), \(CD = 16\text{ cm}\) et \(CE = 20\text{ cm}\). Les points \(C\), \(D\), \(A\) sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points \(C\), \(E\), \(B\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Démontre que l’étagère est perpendiculaire au mur. (2 points)
2. Démontre que le renfort \((DE)\) est parallèle à l’étagère \((AB)\). (1,5 point)
3. Déduis-en que le renfort est perpendiculaire au mur. (0,5 point)

Exercice 5 : La charpente (4 points)

La ferme d’une charpente est représentée par le triangle \(SAB\) : \(SA = SB = 5\text{ m}\) et \(AB = 8\text{ m}\). Le poinçon \([SH]\) est perpendiculaire à \([AB]\) et \(H\) est le milieu de \([AB]\). Une poutre \([MN]\) est fixée avec \(M\) sur \([SA]\), \(N\) sur \([SB]\), \(SM = 2\text{ m}\) et \(SN = 2\text{ m}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la hauteur \(SH\) de la charpente. (1,5 point)
2. Démontre que la poutre \((MN)\) est parallèle à \((AB)\), donc horizontale. (1,5 point)
3. Calcule la longueur de la poutre \(MN\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : réciproque de Thalès et parallélisme

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