Exercice 1 :
1. Sur le schéma, l’angle \(\widehat{CAE}\) est droit, donc \((AC) \perp (AB)\). De même, l’angle \(\widehat{EBD}\) est droit, donc \((BD) \perp (AB)\).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
2. Les points C, E, D et A, E, B sont alignés, et les droites (AC) et (BD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{EA}{EB} = \frac{EC}{ED} = \frac{AC}{BD} \quad \text{soit} \quad \frac{20}{5} = \frac{AC}{1}.\]
Donc \(AC = \dfrac{20 \times 1}{5} = 4\). La largeur de la rivière est AC = 4 pas.
3. Convertissons en mètres avec 1 pas = 0,65 m : \(AE = 20 \times 0{,}65 = 13\) m et \(AC = 4 \times 0{,}65 = 2{,}6\) m.
Le triangle ACE est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[CE^2 = AE^2 + AC^2 = 13^2 + 2{,}6^2 = 169 + 6{,}76 = 175{,}76.\]
Donc \(CE = \sqrt{175{,}76} \approx 13{,}257\) m, soit CE ≈ 13,3 m au décimètre près.
4. a. Le bâton parcourt environ 13,3 m en 5 s :
\[v = \frac{d}{t} = \frac{13{,}3}{5} = 2{,}66 \text{ m/s}.\]
La vitesse du bâton est d’environ 2,66 m/s.
b. En une heure (3 600 s), le bâton parcourrait \(2{,}66 \times 3\,600 = 9\,576\) m, soit 9,576 km. Sa vitesse est donc d’environ 9,58 km/h, qui est inférieure à 10 km/h. L’affirmation est vraie.
Exercice 2 :
1. Les flèches qui relient B à B′, A à A′ et E à E′ sont parallèles, de même sens et de même longueur : la figure 2 est l’image de la figure 1 par une translation. Réponse A.
2. On cherche l’abscisse du point de la droite d’ordonnée 2 : ce point a pour abscisse 1, donc \(g(1) = 2\). L’antécédent de 2 par \(g\) est 1. Réponse B.
3. \(f(2) = 3 \times 2^2 – 7 = 12 – 7 = 5\), donc A est fausse. \(f(3) = 3 \times 3^2 – 7 = 27 – 7 = 20\), donc B est vraie. La présence de \(x^2\) montre que \(f\) n’est pas affine. Réponse B.
4. Rangeons les 13 valeurs dans l’ordre croissant : 3,41 ; 3,7 ; 4,01 ; 4,28 ; 4,3 ; 4,62 ; 4,91 ; 5,15 ; 5,25 ; 5,42 ; 5,82 ; 6,07 ; 6,11.
L’effectif est impair, la médiane est la 7e valeur : 4,91 m. Réponse B.
5. Les triangles sont semblables et \(\dfrac{6{,}3}{2{,}1} = \dfrac{7{,}2}{2{,}4} = \dfrac{7{,}5}{2{,}5} = 3\) : les longueurs sont multipliées par 3. Les aires sont alors multipliées par \(3^2 = 9\). Réponse C.
Exercice 3 :
1. a. Dans la proposition 1, 9 n’est pas premier ; dans la proposition 2, 21 n’est pas premier. Seule la proposition 3 ne contient que des facteurs premiers et \(2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 252\). C’est la proposition 3.
b. \(156 = 2 \times 78 = 2 \times 2 \times 39 = 2 \times 2 \times 3 \times 13\), donc \(156 = 2^2 \times 3 \times 13\).
2. a. Le nombre de paquets doit être un diviseur commun de 252 et de 156. On a \(252 = 36 \times 7\), mais \(156 = 36 \times 4 + 12\) : 36 ne divise pas 156. Elle ne peut pas faire 36 paquets.
b. Le nombre maximum de paquets est le plus grand diviseur commun de 252 et 156. D’après les décompositions, les facteurs communs sont \(2^2\) et \(3\) : \(\text{PGCD}(252 ; 156) = 2^2 \times 3 = 12\). Elle peut réaliser au maximum 12 paquets.
c. \(252 : 12 = 21\) et \(156 : 12 = 13\). Chaque paquet contient 21 cartes « feu » et 13 cartes « terre ».
3. Il y a \(252 + 156 = 408\) cartes en tout, toutes ayant la même chance d’être tirées (équiprobabilité). La probabilité de tirer une carte « terre » est :
\[p = \frac{156}{408} = \frac{13 \times 12}{34 \times 12} = \frac{13}{34} \approx 0{,}38.\]
La probabilité cherchée est \(\dfrac{13}{34}\).
Exercice 4 :
1. L’aire d’un carré de côté \(x\) est \(x \times x\), soit \(x^2\).
2. L’aire du rectangle est le produit de ses dimensions. On développe par double distributivité :
\[(x – 3)(x + 7) = x^2 + 7x – 3x – 21 = x^2 + 4x – 21.\]
L’aire du rectangle est bien \(x^2 + 4x – 21\).
3. La ligne 4 place \(x^2\) dans R ; il faut ensuite ajouter \(4x\) puis \(-21\), et enfin afficher R :
- ligne 5 : ajouter 4 * x à R ;
- ligne 6 : ajouter −21 à R ;
- ligne 7 : dire regrouper « L’aire du rectangle est » et R pendant 2 secondes.
4. Pour \(x = 8\) : \(R = 8^2 + 4 \times 8 – 21 = 64 + 32 – 21 = 75\).
Vérification : \((8 – 3)(8 + 7) = 5 \times 15 = 75\). Le programme affiche « L’aire du rectangle est 75 ».
5. On résout l’équation aire du rectangle = aire du carré :
\[x^2 + 4x – 21 = x^2 \iff 4x – 21 = 0 \iff 4x = 21 \iff x = \frac{21}{4} = 5{,}25.\]
Cette valeur est bien strictement supérieure à 3. Il faut choisir \(x = 5{,}25\).
Vérification : \(5{,}25^2 = 27{,}5625\) et \((5{,}25 – 3)(5{,}25 + 7) = 2{,}25 \times 12{,}25 = 27{,}5625\).
Exercice 5 :
1. Une journée compte \(24 \times 60 \times 60 = 86\,400\) secondes. Comme il tombe une goutte par seconde, il tombe bien 86 400 gouttes en une journée.
2. En une semaine : \(7 \times 86\,400 = 604\,800\) gouttes. Comme 20 gouttes correspondent à 1 ml :
\[604\,800 : 20 = 30\,240 \text{ ml} = 30{,}24 \text{ L}.\]
Il tombe 30,24 litres d’eau en une semaine.
3. Le rayon intérieur vaut \(40 : 2 = 20\) cm, soit 2 dm, et la hauteur 15 cm, soit 1,5 dm. Donc :
\[V = \pi \times 2^2 \times 1{,}5 = 6\pi \approx 18{,}8496 \text{ dm}^3.\]
Comme \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\), la vasque a un volume de 18,85 litres au centilitre près.
4. En une semaine, il tombe 30,24 L d’eau, et \(30{,}24 > 18{,}85\). L’eau va donc déborder de la vasque.
5. Le pourcentage d’évolution entre 2004 et 2018 est :
\[\frac{148 – 165}{165} \times 100 = \frac{-17}{165} \times 100 \approx -10{,}3.\]
La consommation quotidienne d’eau par habitant a diminué d’environ 10 % entre 2004 et 2018.
