Corrigé du bac S de maths 2019 aux centres étrangers

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités, questionnaire à choix multiples, 4 points

Un hôtel propose des séjours de surf. Pour chaque question, une seule réponse est exacte ; on justifie ici chacune d’elles.

1. On sait que 25 % des clients font du surf. On interroge 80 clients au hasard ; on cherche la probabilité qu’exactement 20 d’entre eux fassent du surf.

Interroger un client est une épreuve de Bernoulli dont le succès « le client fait du surf » a pour probabilité \(p=0{,}25\). Les 80 clients étant choisis au hasard, on assimile les interrogations à 80 répétitions indépendantes de cette épreuve. La variable \(X\) comptant les surfeurs suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(80\,;\,0{,}25)\) et

\[P(X=20)=\binom\,{80}{20}\times 0{,}25^{20}\times 0{,}75^{60}\approx 0{,}103.\]

La bonne réponse est la réponse d).

2. Une variable aléatoire \(X\) suit une loi normale d’espérance \(\mu=150\) et l’on sait que \(P(X\geq\, 200)=0{,}025\). On cherche \(P(X\geq\, 100)\).

La courbe de densité d’une loi normale est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=\mu\). Comme \(100=150-50\) et \(200=150+50\), on a \(P(X\leq\, 100)=P(X\geq\, 200)=0{,}025\). La loi étant continue, \(P(X=100)=0\), d’où

\[P(X\geq\, 100)=1-P(X\lt 100)=1-P(X\leq\, 100)=1-0{,}025=0{,}975.\]

La bonne réponse est la réponse d).

3. La durée \(T\) (en années) suit une loi exponentielle d’espérance 5 ; on cherche \(P(T\geq\, 5)\).

Pour une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), on a \(E(T)=\frac{1}{\lambda}\), donc \(\lambda=\frac{1}{5}=0{,}2\). Alors

\[P(T\geq\, 5)=\mathrm{e}^{-5\lambda}=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368.\]

La bonne réponse est la réponse c).

4. On veut estimer la proportion de clients satisfaits par un intervalle de confiance au niveau 95 % d’amplitude \(0{,}04\) : quelle taille \(n\) d’échantillon faut-il ?

Si \(f\) est la fréquence observée sur un échantillon de taille \(n\), l’intervalle de confiance au niveau 95 % est \([f-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\frac{1}{\sqrt{n}}]\), dont l’amplitude vaut \(\frac{2}{\sqrt{n}}\). On résout :

\[\frac{2}{\sqrt{n}}=0{,}04\iff \sqrt{n}=\frac{2}{0{,}04}=50\iff n=2500.\]

La bonne réponse est la réponse b) : il faut interroger 2 500 clients.

Exercice 2 :

Suites, intégrales et récurrence, 6 points

On étudie la suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_1\) et, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(u_{n+1}=(n+1)u_n-1\).

Partie A

1. On calcule \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\) lorsque \(u_1=0\) :

• \(u_2=(1+1)u_1-1=2\times 0-1=-1\) ;
• \(u_3=(2+1)u_2-1=3\times (-1)-1=-4\) ;
• \(u_4=(3+1)u_3-1=4\times (-4)-1=-17\).

2. Il faut compléter l’algorithme pour qu’en sortie la variable \(U\) contienne \(u_{13}\). Au début du tour de boucle où \(N\) vaut \(n\), \(U\) contient \(u_n\) ; il faut donc la remplacer par \(u_{n+1}=(n+1)u_n-1\). La boucle s’écrit :

Pour N allant de 1 à 12
    U ← (N + 1) × U − 1
Fin Pour

3. D’après les valeurs fournies par l’algorithme : si \(u_1=0{,}7\), la suite semble tendre vers \(-\infty\) (on trouve \(u_{13}\approx -1{,}1\times 10^{8}\)) ; si \(u_1=0{,}8\), elle semble tendre vers \(+\infty\) (\(u_{13}\approx 5{,}1\times 10^{8}\)).

Partie B

Pour tout entier \(n\geq\, 1\), on pose \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x\), et on note \(f\) la fonction définie sur \([0\,;1]\) par \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{1-x}\).

1. On vérifie que \(F:x\mapsto (-1-x)\,\mathrm{e}^{1-x}\) est une primitive de \(f\) sur \([0\,;1]\).

\(F\) est un produit de fonctions dérivables. Avec \(u(x)=-1-x\), \(u^{\prime}(x)=-1\), et \(v(x)=\mathrm{e}^{1-x}\), \(v^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{1-x}\) :

\[F^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{1-x}+(-1-x)\times (-\mathrm{e}^{1-x})=(-1+1+x)\,\mathrm{e}^{1-x}=x\,\mathrm{e}^{1-x}=f(x).\]

\(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;1]\).

2. On en déduit la valeur de \(I_1\) :

\[I_1=\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=F(1)-F(0)=(-2)\,\mathrm{e}^{0}-(-1)\,\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}-2.\]

\(I_1=\mathrm{e}-2\approx 0{,}718\).

3. On admet que, pour tout \(n\geq\, 1\), \(I_{n+1}=(n+1)I_n-1\) (relation qui s’obtient par une intégration par parties). Avec \(n=1\) :

\[I_2=2I_1-1=2(\mathrm{e}-2)-1=2\mathrm{e}-5.\]

\(I_2=2\mathrm{e}-5\approx 0{,}437\).

4. a. On montre que pour tout \(x\in[0\,;1]\) et tout \(n\geq\, 1\), \(0\leq\, x^n\,\mathrm{e}^{1-x}\leq\, x^n\,\mathrm{e}\).

Pour \(x\in[0\,;1]\), on a \(0\leq\, 1-x\leq\, 1\). La fonction exponentielle étant croissante sur \(\mathbb{R}\), \(\mathrm{e}^{0}\leq\, \mathrm{e}^{1-x}\leq\, \mathrm{e}^{1}\), soit \(1\leq\, \mathrm{e}^{1-x}\leq\, \mathrm{e}\). Comme \(x^n\geq\, 0\), multiplier par \(x^n\) conserve le sens des inégalités : \(x^n\leq\, x^n\,\mathrm{e}^{1-x}\leq\, x^n\,\mathrm{e}\), et puisque \(x^n\geq\, 0\) :

\[0\leq\, x^n\,\mathrm{e}^{1-x}\leq\, x^n\,\mathrm{e}.\]

b. On calcule \(\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}\,\mathrm{d}x\). Par linéarité :

\[\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1=\frac{\mathrm{e}}{n+1}.\]

c. Les bornes étant dans le bon ordre (\(0\leq\, 1\)), on intègre l’encadrement du 4.a sur \([0\,;1]\) (positivité et croissance de l’intégrale) :

\[0\leq\, I_n\leq\, \frac{\mathrm{e}}{n+1}\quad\text{pour tout } n\geq\, 1.\]

d. Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}}{n+1}=0\), le théorème des gendarmes donne \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0\).

Partie C

1. On démontre par récurrence que, pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_n=n!\,(u_1-\mathrm{e}+2)+I_n\).

• Initialisation : pour \(n=1\), \(1!\,(u_1-\mathrm{e}+2)+I_1=u_1-\mathrm{e}+2+\mathrm{e}-2=u_1\). La propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : supposons \(u_n=n!\,(u_1-\mathrm{e}+2)+I_n\) pour un entier \(n\geq\, 1\). Alors
  \[u_{n+1}=(n+1)u_n-1=(n+1)\times n!\,(u_1-\mathrm{e}+2)+(n+1)I_n-1=(n+1)!\,(u_1-\mathrm{e}+2)+I_{n+1},\]
  en utilisant \((n+1)\times n!=(n+1)!\) et la relation admise \(I_{n+1}=(n+1)I_n-1\). La propriété est vraie au rang \(n+1\).

Par récurrence, pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_n=n!\,(u_1-\mathrm{e}+2)+I_n\).

2. a. Cas \(u_1=0{,}7\). On a \(u_1-\mathrm{e}+2=2{,}7-\mathrm{e}\approx -0{,}018\lt 0\). On admet que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n!=+\infty\) ; donc \(n!\,(u_1-\mathrm{e}+2)\) tend vers \(-\infty\). Comme \(I_n\) tend vers 0 (partie B), par somme :

si \(u_1=0{,}7\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\), ce qui confirme la conjecture de la partie A.

b. Cas \(u_1=0{,}8\). Cette fois \(u_1-\mathrm{e}+2=2{,}8-\mathrm{e}\approx 0{,}082\gt 0\), donc \(n!\,(u_1-\mathrm{e}+2)\) tend vers \(+\infty\) et, par le même raisonnement, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

Remarque : le comportement de la suite dépend du signe de \(u_1-(\mathrm{e}-2)\) ; pour \(u_1=\mathrm{e}-2\), on aurait \(u_n=I_n\), qui tend vers 0.

Exercice 3 :

Nombres complexes, 5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). À tout nombre complexe \(z\) non nul, on associe les points \(A\), \(N\) et \(P\) d’affixes respectives \(1\), \(z^2\) et \(\frac{1}{z}\). On cherche pour quels \(z\) ces trois points sont alignés.

Partie A : étude d’exemples

1. a. Pour \(z=\mathrm{i}\) : \(z^2=\mathrm{i}^2=-1\) et \(\frac{1}{z}=\frac{1}{\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}\times \mathrm{i}}=-\mathrm{i}\).

b. On a donc \(A(1\,;0)\), \(N(-1\,;0)\) et \(P(0\,;-1)\). \(A\) et \(N\) sont sur l’axe des abscisses, mais pas \(P\) : les points \(A\), \(N\) et \(P\) ne sont pas alignés.

2. On résout dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2+z+1=0\). Son discriminant est \(\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3\lt 0\) ; elle admet deux solutions complexes conjuguées :

\[z_1=\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}.\]

3. a. Pour \(z=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\) : comme \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), on a \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\). Alors

\[z^2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}\qquad\text{et}\qquad \frac{1}{z}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=z^2,\]

soit \(z^2=\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\).

b. Les points \(N\) et \(P\) sont confondus ; trois points dont deux sont confondus sont toujours alignés : \(A\), \(N\) et \(P\) sont alignés.

Partie B : étude du cas général

1. Pour \(z\neq 0\), on développe :

\[(z^2+z+1)(1-\frac{1}{z})=z^2-z+z-1+1-\frac{1}{z}=z^2-\frac{1}{z}.\]

2. On en déduit que les vecteurs \(\vec{PN}\) et \(\vec{PA}\) sont colinéaires si et seulement si \(z^2+z+1\) est réel.

Les affixes de ces vecteurs sont \(z_{\vec{PN}}=z^2-\frac{1}{z}\) et \(z_{\vec{PA}}=1-\frac{1}{z}\). D’après la question 1 :

\[z_{\vec{PN}}=(z^2+z+1)\times z_{\vec{PA}}.\]

• Si \(z=1\), alors \(\vec{PA}=\vec{0}\) : les vecteurs sont colinéaires, et \(z^2+z+1=3\) est bien réel.
• Si \(z\neq 1\), \(\vec{PA}\neq\vec{0}\). Si \(z^2+z+1=k\) est réel, alors \(\vec{PN}=k\,\vec{PA}\) et les vecteurs sont colinéaires. Réciproquement, s’ils sont colinéaires, il existe un réel \(k\) tel que \(z_{\vec{PN}}=k\,z_{\vec{PA}}\) ; en comparant avec l’égalité ci-dessus et en divisant par \(z_{\vec{PA}}\neq 0\), on obtient \(z^2+z+1=k\in\mathbb{R}\).

Les vecteurs \(\vec{PN}\) et \(\vec{PA}\) sont colinéaires si et seulement si \(z^2+z+1\) est un réel.

3. On écrit \(z=x+\mathrm{i}y\) avec \(x\), \(y\) réels :

\[z^2+z+1=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy+x+\mathrm{i}y+1=(x^2-y^2+x+1)+\mathrm{i}\,(2xy+y).\]

La partie imaginaire de \(z^2+z+1\) est donc \(2xy+y=y(2x+1)\).

4. a. Les points \(A\), \(N\), \(P\) sont alignés si et seulement si \(\vec{PN}\) et \(\vec{PA}\) sont colinéaires, c’est-à-dire (question 2) si et seulement si \(z^2+z+1\) est réel, c’est-à-dire (question 3) :

\[y(2x+1)=0\iff y=0\ \text{ ou }\ x=-\frac{1}{2}.\]

Comme \(z\) doit être non nul, l’ensemble cherché est la réunion de la droite d’équation \(x=-\frac{1}{2}\) et de l’axe des abscisses privé du point \(O\). On retrouve les exemples de la partie A : \(z=\mathrm{i}\) n’en fait pas partie, alors que \(z=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\) est sur la droite \(x=-\frac{1}{2}\).

b. Représentation de cet ensemble (en rouge ; le point \(O\) est exclu) :

Exercice 4 :

Géométrie dans l’espace, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité, 5 points

\(ABCDEFGH\) est un cube d’arête 6. On se place dans le repère \((A\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) avec \(\vec{i}=\frac{1}{6}\vec{AB}\), \(\vec{j}=\frac{1}{6}\vec{AD}\), \(\vec{k}=\frac{1}{6}\vec{AE}\). Les points \(P\), \(Q\), \(R\) sont définis par \(\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AB}\), \(\vec{AQ}=\frac{1}{3}\vec{AE}\), \(\vec{HR}=\frac{1}{3}\vec{HE}\), et \(\Omega\) est le centre du cube.

1. a. Coordonnées des points.

• \(\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AB}=\frac{1}{3}\times 6\vec{i}=2\vec{i}\), donc \(P(2\,;0\,;0)\).
• \(\vec{AQ}=\frac{1}{3}\vec{AE}=2\vec{k}\), donc \(Q(0\,;0\,;2)\).
• \(\vec{AR}=\vec{AH}+\vec{HR}=\vec{AE}+\vec{AD}-\frac{1}{3}\vec{AD}=\vec{AE}+\frac{2}{3}\vec{AD}=6\vec{k}+4\vec{j}\) (car \(\vec{HE}=-\vec{AD}\)), donc \(R(0\,;4\,;6)\).
• \(\Omega\) est le milieu de la grande diagonale \([AG]\) avec \(G(6\,;6\,;6)\), donc \(\Omega(3\,;3\,;3)\).

b. On cherche \(b\) et \(c\) pour que \(\vec{n}(1\,;b\,;c)\) soit normal au plan \((PQR)\).

On a \(\vec{PQ}(-2\,;0\,;2)\) et \(\vec{QR}(0\,;4\,;4)\), non colinéaires (la première coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre) : ce sont deux vecteurs directeurs du plan. \(\vec{n}\) est normal à \((PQR)\) si et seulement s’il est orthogonal à ces deux vecteurs :

\[\begin{cases}\vec{PQ}\cdot\vec{n}=-2+2c=0\\ \vec{QR}\cdot\vec{n}=4b+4c=0\end{cases}\iff\begin{cases}c=1\\ b=-1.\end{cases}\]

Le vecteur \(\vec{n}(1\,;-1\,;1)\) est normal au plan \((PQR)\).

c. Une équation cartésienne de \((PQR)\) est donc de la forme \(x-y+z+d=0\). Le point \(P(2\,;0\,;0)\) appartient au plan : \(2+d=0\), d’où \(d=-2\).

Une équation de \((PQR)\) est \(x-y+z-2=0\). (Vérification : \(Q\) donne \(0-0+2-2=0\) et \(R\) donne \(0-4+6-2=0\).)

2. a. La droite \(\Delta\) passe par \(\Omega\) et est orthogonale au plan \((PQR)\) : \(\vec{n}(1\,;-1\,;1)\) en est un vecteur directeur. Une représentation paramétrique de \(\Delta\) est

\[\begin{cases}x=3+t\\ y=3-t\\ z=3+t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. On vérifie que \(\Delta\) coupe \((PQR)\) au point \(I(\frac{8}{3}\,;\frac{10}{3}\,;\frac{8}{3})\). Un point de \(\Delta\) de paramètre \(t\) est dans le plan si et seulement si

\[(3+t)-(3-t)+(3+t)-2=0\iff 3t+1=0\iff t=-\frac{1}{3}.\]

Pour \(t=-\frac{1}{3}\), on obtient \(x=\frac{8}{3}\), \(y=\frac{10}{3}\), \(z=\frac{8}{3}\) : le point d’intersection est bien \(I(\frac{8}{3}\,;\frac{10}{3}\,;\frac{8}{3})\).

c. La distance du point \(\Omega\) au plan \((PQR)\) est la distance \(\Omega I\), puisque \(I\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur ce plan :

\[\Omega I=\sqrt{(\frac{8}{3}-3)^2+(\frac{10}{3}-3)^2+(\frac{8}{3}-3)^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\]

La distance de \(\Omega\) au plan \((PQR)\) vaut \(\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577\).

3. On considère les points \(J(6\,;4\,;0)\) et \(K(6\,;6\,;2)\).

a. \(6-4+0-2=0\) : les coordonnées de \(J\) vérifient l’équation de \((PQR)\), donc \(J\in(PQR)\). (De même \(6-6+2-2=0\), donc \(K\in(PQR)\).)

b. \(\vec{JK}(0\,;2\,;2)\) et \(\vec{QR}(0\,;4\,;4)\) : on a \(\vec{QR}=2\,\vec{JK}\), donc ces vecteurs sont colinéaires et les droites \((JK)\) et \((QR)\) sont parallèles.

c. Construction de la section du cube par le plan \((PQR)\).

• Face \(ABCD\) (\(z=0\)) : le plan la coupe selon le segment \([PJ]\), \(J\) étant sur l’arête \([BC]\).
• Face \(BCGF\) (\(x=6\)) : segment \([JK]\), \(K\) étant sur \([CG]\) ; il est parallèle à \([QR]\), trace du plan sur la face opposée \(ADHE\), conformément au théorème : un plan coupe deux faces parallèles selon deux droites parallèles.
• Face \(EFGH\) (\(z=6\)) : la trace est parallèle à \((PJ)\) et passe par \(R\) ; elle coupe \([GH]\) en \(L(2\,;6\,;6)\) (on vérifie \(2-6+6-2=0\)).
• Face \(DCGH\) (\(y=6\)) : segment \([KL]\), parallèle à \([PQ]\) situé dans la face opposée \(ABFE\).
• Faces \(ADHE\) et \(ABFE\) : segments \([RQ]\) et \([QP]\).

La section est l’hexagone \(PJKLRQ\), dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.