Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. a. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : le succès « le lancer est réussi » a pour probabilité 0,6. On répète cette épreuve 5 fois de façon identique et indépendante (c’est le modèle choisi), et \(X\) compte le nombre de succès. Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}6\).
b. \(P(X \geq\, 4)=P(X=4)+P(X=5)=\dbinom{5}{4}\times 0{,}6^4\times 0{,}4+0{,}6^5=5\times 0{,}1296\times 0{,}4+0{,}07776=0{,}2592+0{,}07776=0{,}33696\).
Donc \(P(X \geq\, 4) \approx 0{,}34\) : sur une série de cinq lancers francs, la joueuse en réussit au moins quatre dans environ 34 % des cas.
2. a. L’évènement « \(Y \geq\, 1\) » est le contraire de « \(Y=0\) » (aucun lancer réussi). Or \(P(Y=0)=\dbinom{n}{0}\times 0{,}6^0\times 0{,}4^n=0{,}4^n\). Donc \(P(Y \geq\, 1)=1-0{,}4^n\).
b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1-0{,}4^n \gt 0{,}9999\) :
\[1-0{,}4^n \gt 0{,}9999 \iff 0{,}4^n \lt 0{,}0001 \iff n\ln(0{,}4) \lt \ln(0{,}0001) \iff n \gt \dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)}.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante, d’où la deuxième équivalence ; pour la troisième, on divise par \(\ln(0{,}4) \lt 0\), ce qui change le sens de l’inégalité. Comme \(\dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)} \approx 10{,}05\), la probabilité de réussir au moins un lancer dépasse 0,999 9 à partir de \(n=11\) lancers.
c. La variable p contient \(P(Y \geq\, 1)\) pour la valeur courante de n (au départ \(n=1\) et \(1-0{,}4=0{,}6\)). Tant que cette probabilité ne dépasse pas 0,999 9, on ajoute un lancer et on recalcule la probabilité ; on renvoie ensuite le nombre de lancers.
def basket ():
p = 0.6
n = 1
while p <= 0.9999 :
n = n + 1
p = 1 - 0.4**n
return n
L’appel basket() renvoie 11, ce qui confirme le résultat de la question précédente.
Partie B
1. On construit l’arbre : \(G_1\) (probabilité 0,5) puis \(G_2\) avec probabilité 0,7 ; \(\overline{G_1}\) (probabilité 0,5) puis \(G_2\) avec probabilité 0,4. Les évènements \(G_1\) et \(\overline{G_1}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
\[P(G_2)=P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(\overline{G_1})\times P_{\overline{G_1}}(G_2)=0{,}5\times 0{,}7+0{,}5\times 0{,}4=0{,}35+0{,}2=0{,}55.\]
Donc \(P(G_2)=0{,}55\).
2. a. Pour \(n \geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(p_n \leq\, p_{n+1}\) ».
Initialisation. \(p_1=0{,}5\) et \(p_2=0{,}55\), donc \(p_1 \leq\, p_2\) : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \geq\, 1\) tel que \(p_n \leq\, p_{n+1}\). En multipliant par \(0{,}3 \gt 0\), l’ordre est conservé : \(0{,}3p_n \leq\, 0{,}3p_{n+1}\). En ajoutant 0,4 : \(0{,}3p_n+0{,}4 \leq\, 0{,}3p_{n+1}+0{,}4\), c’est-à-dire \(p_{n+1} \leq\, p_{n+2}\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc pour tout \(n \geq\, 1\), \(p_n \leq\, p_{n+1}\) : la suite \((p_n)\) est croissante.
b. Chaque \(p_n\) est une probabilité, donc \(0 \leq\, p_n \leq\, 1\) : la suite \((p_n)\) est majorée par 1.
c. La suite \((p_n)\) est croissante (question a) et majorée par 1 (question b). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((p_n)\) est convergente.
3. \(\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571\). Cela signifie qu’après un grand nombre de lancers, la probabilité que ce joueur réussisse un lancer franc se stabilise autour de \(\dfrac{4}{7}\) : à long terme, il réussit environ 57 % de ses lancers francs.
Exercice 2 :
1. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x \to -\infty}(3x-1)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\) (car \(-x\) tend vers \(+\infty\)). Par produit, \(\lim\limits_{x \to -\infty}(3x-1)\text{e}^{-x}=-\infty\), puis en ajoutant 2 : \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\).
2. En \(+\infty\), le produit \((3x-1)\text{e}^{-x}\) est une forme indéterminée ; on développe : \(f(x)=3\,\dfrac{x}{\text{e}^x}-\text{e}^{-x}+2\).
Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\), et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{-x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2\).
Graphiquement, la droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).
3. a. On dérive le produit \(u(x)=3x-1\), \(u^{\prime}(x)=3\), \(v(x)=\text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\) ; la constante 2 a une dérivée nulle :
\[f^{\prime}(x)=3\text{e}^{-x}+(3x-1)\times (-\text{e}^{-x})=(3-3x+1)\,\text{e}^{-x}=(4-3x)\,\text{e}^{-x}.\]
On a bien \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\).
b. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(4-3x\) : positif pour \(x \lt \dfrac{4}{3}\), nul en \(\dfrac{4}{3}\), négatif pour \(x \gt \dfrac{4}{3}\). On calcule \(f(\dfrac{4}{3})=(4-1)\text{e}^{-\frac{4}{3}}+2=2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \approx 2{,}79\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac{4}{3}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}}\) | \(\searrow\) | 2 |
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty ; \dfrac{4}{3}]\) et strictement décroissante sur \([\dfrac{4}{3} ; +\infty[\).
4. a. On sépare \(\mathbb{R}\) en deux intervalles.
- Sur \([\dfrac{4}{3} ; +\infty[\), \(f\) décroît vers 2 sans l’atteindre, donc \(f(x) \gt 2 \gt 0\) : l’équation \(f(x)=0\) n’y a aucune solution.
- Sur \(]-\infty ; \dfrac{4}{3}]\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, de \(-\infty\) à \(2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) assure que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur cet intervalle.
En conclusion, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
b. À la calculatrice : \(f(0)=-1+2=1 \gt 0\) ; \(f(-0{,}21) \approx -0{,}011 \lt 0\) et \(f(-0{,}20) \approx 0{,}046 \gt 0\). Donc \(-0{,}21 \lt \alpha \lt -0{,}20\) et un affinement donne \(\alpha \approx -0{,}208\), d’où \(\alpha \approx -0{,}21\) à \(10^{-2}\) près.
c. D’après ce qui précède, \(f\) est strictement négative avant \(\alpha\), nulle en \(\alpha\) et strictement positive après (sur \([\alpha ; \dfrac{4}{3}]\) par croissance, puis car \(f \gt 2\) au-delà de \(\dfrac{4}{3}\)).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
d. Comme \(\alpha \lt 0\), la fonction \(f\) est positive sur \([0 ; 2]\) ; l’aire cherchée, en unités d’aire, est donc \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)\).
\[F(2)=(-6-2)\text{e}^{-2}+4=4-8\text{e}^{-2} \quad \text{et} \quad F(0)=(0-2)\times 1+0=-2.\]
\[\mathcal{A}=4-8\text{e}^{-2}-(-2)=6-8\text{e}^{-2} \approx 4{,}92.\]
L’aire du domaine vaut \(6-8\text{e}^{-2}\) unités d’aire, soit environ 4,92 u.a.
5. Étudions la convexité de \(f\). En dérivant \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\) comme un produit :
\[f^{\prime\prime}(x)=-3\text{e}^{-x}+(4-3x)\times (-\text{e}^{-x})=(3x-7)\,\text{e}^{-x}.\]
Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) pour \(x \leq\, \dfrac{7}{3}\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty ; \dfrac{7}{3}]\). Sur cet intervalle, la courbe est au-dessous de ses tangentes, en particulier de sa tangente au point d’abscisse 0 (qui appartient à l’intervalle), d’équation \(y=4x+1\). Donc pour tout \(x \leq\, \dfrac{7}{3}\), \(f(x) \leq\, 4x+1\).
Pour \(x \geq\, \dfrac{7}{3}\) : d’après le tableau de variations, \(f(x) \leq\, 2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \lt 3\) pour tout réel \(x\), alors que \(4x+1 \geq\, 4\times \dfrac{7}{3}+1=\dfrac{31}{3} \gt 3\). Donc là aussi \(f(x) \lt 4x+1\).
Conclusion : pour tout réel \(x\), \((3x-1)\text{e}^{-x}+2 \leq\, 4x+1\) ; la courbe \(\mathcal{C}_f\) est entièrement située sous sa tangente au point d’abscisse 0.
Exercice 3 :
Affirmation 1 : fausse.
La fonction \(f(x)=(x-2)\text{e}^x\) est dérivable et \(f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^x+(x-2)\text{e}^x=(x-1)\text{e}^x\). Alors :
\[f^{\prime}(x)-2f(x)=(x-1)\text{e}^x-2(x-2)\text{e}^x=(x-1-2x+4)\,\text{e}^x=(3-x)\,\text{e}^x.\]
Pour \(x=0\), on obtient 3 alors que le second membre \((x-3)\text{e}^x\) vaut \(-3\). Les deux expressions ne sont pas égales pour tout \(x\), donc \(f\) n’est pas solution de (E).
Affirmation 2 : fausse.
On pose \(u(x)=2x+1\), \(u^{\prime}(x)=2\), \(v^{\prime}(x)=\cos(x)\), \(v(x)=\sin(x)\), fonctions dérivables à dérivées continues sur \([0 ; \pi]\) :
\[\int_0^{\pi}(2x+1)\cos(x)\,\mathrm{d}x=\Big[(2x+1)\sin(x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x.\]
Le crochet vaut \((2\pi+1)\sin(\pi)-1\times \sin(0)=0\). Et \(\displaystyle\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-2\cos(x)\Big]_0^{\pi}=2-(-2)=4\).
Donc l’intégrale vaut \(0-4=-4\), et non \(-4\pi\).
Affirmation 3 : vraie.
Sur \(]7 ; +\infty[\), les deux logarithmes sont bien définis : \(4x-8 \gt 20 \gt 0\), et \(2x^2-6x-56=2(x-7)(x+4) \gt 0\) (les deux facteurs sont positifs). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), l’inéquation équivaut à :
\[2x^2-6x-56 \geq\, 4x-8 \iff 2x^2-10x-48 \geq\, 0 \iff x^2-5x-24 \geq\, 0.\]
Le discriminant vaut \(25+96=121=11^2\), d’où les racines \(\dfrac{5-11}{2}=-3\) et \(\dfrac{5+11}{2}=8\) : \(x^2-5x-24=(x+3)(x-8)\). Ce trinôme (coefficient dominant positif) est positif à l’extérieur des racines, c’est-à-dire pour \(x \leq\, -3\) ou \(x \geq\, 8\). Sur \(]7 ; +\infty[\), l’ensemble des solutions est donc bien \([8 ; +\infty[\).
Affirmation 4 : vraie.
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=\dfrac{2}{u_{n+1}}=2\times \dfrac{5u_n+3}{3u_n}=\dfrac{10u_n}{3u_n}+\dfrac{6}{3u_n}=\dfrac{10}{3}+\dfrac{2}{u_n}=v_n+\dfrac{10}{3}.\]
La suite \((v_n)\) est donc arithmétique, de raison \(\dfrac{10}{3}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{2}{1}=2\).
Affirmation 5 : vraie.
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 », de probabilité \(\dfrac{1}{6}\) ; les 3 600 lancers sont indépendants. Le nombre \(X\) d’apparitions du 6 suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(3600 ; \dfrac{1}{6})\), avec :
\[\text{E}(X)=3600\times \dfrac{1}{6}=600 \quad \text{et} \quad V(X)=3600\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{5}{6}=500.\]
« \(450 \lt X \lt 750\) » équivaut à \(|X-600| \lt 150\), évènement contraire de \(|X-600| \geq\, 150\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :
\[P(|X-600| \geq\, 150) \leq\, \dfrac{500}{150^2}=\dfrac{500}{22500}=\dfrac{1}{45}.\]
Donc \(P(450 \lt X \lt 750) \geq\, 1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45} \approx 0{,}978\), qui est supérieur à 0,97. La probabilité est bien minorée par 0,97.
Exercice 4 :
Partie A
1. On calcule \(\vec{RS}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{RT}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \(\vec{RT}=\lambda\vec{RS}\) ; la première coordonnée imposerait \(2{,}5=0\times \lambda=0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc R, S et T ne sont pas alignés.
2. a. Dans le repère orthonormé :
\[\vec{n}\cdot\vec{RS}=-10\times 0+4\times 3+3\times (-4)=0+12-12=0\]
\[\vec{n}\cdot\vec{RT}=-10\times 2{,}5+4\times 7+3\times (-1)=-25+28-3=0\]
\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (RST) : c’est un vecteur normal au plan (RST).
b. Une équation de (RST) est de la forme \(-10x+4y+3z+d=0\). Comme R\((1 ; 0 ; 6)\) appartient au plan : \(-10+0+18+d=0\), donc \(d=-8\).
Une équation cartésienne de (RST) est \(-10x+4y+3z-8=0\).
3. a. Avec les coordonnées de A : \(-10\times (-2{,}5)+4\times 8+3\times 4{,}5-8=25+32+13{,}5-8=62{,}5 \neq 0\). Le point A n’appartient pas au plan (RST).
b. La droite \(d_1\) est orthogonale à (RST), elle est donc dirigée par \(\vec{n}\) ; elle passe par A. Une représentation paramétrique de \(d_1\) est :
\[\begin{cases} x=-2{,}5-10t \\ y=8+4t \\ z=4{,}5+3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
c. H est l’intersection de \(d_1\) et du plan (RST). On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :
\[-10(-2{,}5-10t)+4(8+4t)+3(4{,}5+3t)-8=0 \iff 62{,}5+125t=0 \iff t=-0{,}5.\]
Pour \(t=-0{,}5\) : \(x=-2{,}5+5=2{,}5\), \(y=8-2=6\), \(z=4{,}5-1{,}5=3\). On retrouve bien H\((2{,}5 ; 6 ; 3)\).
4. a. \(\vec{SR}\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{ST}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\), donc \(\vec{SR}\cdot\vec{ST}=0\times 2{,}5+(-3)\times 4+4\times 3=0\).
Les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites (SR) et (ST) sont perpendiculaires en S : le triangle RST est rectangle en S.
b. On calcule les longueurs utiles (en cm) :
\[\text{SR}=\sqrt{0+9+16}=5, \quad \text{ST}=\sqrt{6{,}25+16+9}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}.\]
L’aire de la base RST (triangle rectangle en S) est \(\dfrac{\text{SR}\times \text{ST}}{2}=\dfrac{1}{2}\times 5\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{25\sqrt{5}}{4}\) cm².
La hauteur associée est la distance de A au plan (RST), c’est-à-dire AH, avec \(\vec{HA}\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) : \(\text{AH}=\sqrt{25+4+2{,}25}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\) cm.
\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25\sqrt{5}}{4}\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{125\times 5}{8}=\dfrac{625}{24}.\]
Le volume du tétraèdre ARST vaut bien \(\dfrac{625}{24}\) cm³ (environ 26 cm³).
Partie B
1. Pour un point M de \(d_2\) de paramètre \(s\) : \(\vec{AM}\begin{pmatrix} -4{,}5+s+2{,}5 \\ 4-4s-8 \\ 5{,}5-2s-4{,}5 \end{pmatrix}\), soit \(\vec{AM}\begin{pmatrix} s-2 \\ -4-4s \\ 1-2s \end{pmatrix}\).
\[\text{AM}^2=(s-2)^2+(-4-4s)^2+(1-2s)^2=(s^2-4s+4)+(16s^2+32s+16)+(4s^2-4s+1).\]
En regroupant : \(\text{AM}^2=21s^2+24s+21\).
2. Une distance étant positive, AM est minimale lorsque \(\text{AM}^2\) l’est. Le trinôme \(21s^2+24s+21\) a un coefficient dominant positif : il atteint son minimum en \(s=-\dfrac{24}{2\times 21}=-\dfrac{4}{7}\).
Pour \(s=-\dfrac{4}{7}\) :
\[x=-4{,}5-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{71}{14}, \quad y=4+\dfrac{16}{7}=\dfrac{44}{7}, \quad z=5{,}5+\dfrac{8}{7}=\dfrac{93}{14}.\]
La distance AM est minimale pour M\((-\dfrac{71}{14} ; \dfrac{44}{7} ; \dfrac{93}{14})\). On peut contrôler : \(\text{AM}^2=21\times \dfrac{16}{49}-\dfrac{96}{7}+21=\dfrac{99}{7}\), donc la distance minimale vaut \(\sqrt{\dfrac{99}{7}} \approx 3{,}76\) cm.
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