Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. L’énoncé donne \(P(V)=0{,}6\), donc \(P(\overline{V})=0{,}4\), et \(P_V(L)=0{,}2\), donc \(P_V(\overline{L})=0{,}8\). La probabilité \(P_{\overline{V}}(L)\) n’est pas connue au départ : notons-la \(x\) ; on trouvera \(x=0{,}75\) à la question 4. L’arbre pondéré complet est :
- branche \(V\) : \(0{,}6\), puis de \(V\) vers \(L\) : \(0{,}2\) et de \(V\) vers \(\overline{L}\) : \(0{,}8\) ;
- branche \(\overline{V}\) : \(0{,}4\), puis de \(\overline{V}\) vers \(L\) : \(x=0{,}75\) et de \(\overline{V}\) vers \(\overline{L}\) : \(1-x=0{,}25\).
La donnée « 42 % des clients prennent l’option PILOTE » ne se place pas sur une branche : c’est la probabilité totale \(P(L)=0{,}42\).
2. On suit le chemin \(V\) puis \(\overline{L}\) : \(P(V\cap\overline{L})=P(V)\times P_V(\overline{L})=0{,}6\times 0{,}8\), donc \(P(V\cap\overline{L})=0{,}48\).
3. Les évènements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales, \(P(L)=P(V\cap L)+P(\overline{V}\cap L)\). Or \(P(V\cap L)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12\) et \(P(L)=0{,}42\), donc \(P(\overline{V}\cap L)=0{,}42-0{,}12\), soit \(P(\overline{V}\cap L)=0{,}30\). Choisir un bateau à moteur, c’est réaliser \(\overline{V}\) : c’est bien la probabilité demandée.
4. Par définition d’une probabilité conditionnelle : \(P_{\overline{V}}(L)=\dfrac{P(\overline{V}\cap L)}{P(\overline{V})}=\dfrac{0{,}30}{0{,}4}\), donc \(P_{\overline{V}}(L)=0{,}75\). Trois clients sur quatre qui louent un bateau à moteur prennent un pilote.
5. On cherche \(P_L(V)=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}42}=\dfrac{2}{7}\), soit \(P_L(V)\approx0{,}29\).
Partie B
1. L’énoncé donne \(P_L(A)=0{,}005\) et \(P_{\overline{L}}(A)=0{,}12\), avec \(P(L)=0{,}42\) et \(P(\overline{L})=0{,}58\). Donc \(P(L\cap A)=P(L)\times P_L(A)=0{,}42\times 0{,}005\), soit \(P(L\cap A)=0{,}0021\), et \(P(\overline{L}\cap A)=P(\overline{L})\times P_{\overline{L}}(A)=0{,}58\times 0{,}12\), soit \(P(\overline{L}\cap A)=0{,}0696\).
2. Par la formule des probabilités totales (partition \(L\), \(\overline{L}\)) : \(P(A)=0{,}0021+0{,}0696=0{,}0717\). Sur 1 000 bateaux loués, le nombre moyen d’avaries est \(1\,000\times 0{,}0717=71{,}7\). L’entreprise peut donc s’attendre à environ 72 avaries.
Partie C
1. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=40\) et \(p=0{,}42\).
2. On cherche \(P(X\geq\,15)=1-P(X\leq\,14)\). La calculatrice donne \(P(X\leq\,14)\approx0{,}2321\), donc \(P(X\geq\,15)\approx0{,}768\).
Exercice 2 :
1. a. Avec \(n=0\) : \(u_1=5u_0-4\times 0-3=15-0-3\), donc \(u_1=12\).
b. Avec \(n=1\) : \(u_2=5u_1-4\times 1-3=60-4-3\), donc \(u_2=53\).
c. La calculatrice donne \(u_3=254\), \(u_4=1\,255\), \(u_5=6\,256\)… Les termes augmentent de plus en plus vite : on conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante et tend vers \(+\infty\).
2. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n\geq\, n+1\) ».
Initialisation. \(u_0=3\) et \(0+1=1\) : on a bien \(3\geq\,1\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n\geq\, n+1\). En multipliant par 5 (positif) : \(5u_n\geq\,5n+5\). En retranchant \(4n+3\) : \(5u_n-4n-3\geq\,5n+5-4n-3\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\geq\, n+2=(n+1)+1\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\, n+1\).
b. On a \(\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\) et \(u_n\geq\, n+1\) pour tout \(n\). D’après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).
3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)-1=5u_n-4n-3-n-2=5u_n-5n-5=5(u_n-n-1)=5v_n.\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison 5, et son premier terme est \(v_0=u_0-0-1=2\).
b. D’après le cours, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0\times 5^n=2\times 5^n\).
c. De \(v_n=u_n-n-1\), on tire \(u_n=v_n+n+1\), donc \(u_n=2\times 5^n+n+1\) pour tout entier naturel \(n\).
d. Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}+(n+2)-2\times 5^n-(n+1)=2\times 5^n(5-1)+1=8\times 5^n+1\). Ce nombre est strictement positif, donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante, ce qui confirme la conjecture.
4. a. La boucle doit tourner tant que le seuil n’est pas atteint, c’est-à-dire tant que \(u\lt10^7\). Dans la boucle, u doit recevoir le terme suivant, calculé avec la valeur de n avant son incrémentation (c’est bien l’ordre des instructions du programme) :
def suite() :
u = 3
n = 0
while u < 10**7 :
u = 5*u - 4*n - 3
n = n + 1
return n
b. D’après la formule \(u_n=2\times 5^n+n+1\) : \(u_9=2\times 1\,953\,125+10=3\,906\,260\lt10^7\) et \(u_{10}=2\times 9\,765\,625+11=19\,531\,261\geq\,10^7\). La suite étant croissante, le plus petit rang cherché est 10 : la fonction renvoie 10.
Exercice 3 :
1. Réponse a. Il suffit de dériver chaque proposition. Pour \(F(x)=1+x\text{e}^x\), la dérivée du produit \(x\text{e}^x\) est \(1\times \text{e}^x+x\text{e}^x\), donc \(F^{\prime}(x)=(1+x)\text{e}^x=f(x)\). (Pour b, on trouverait \((2+x)\text{e}^x\), pour c, \((3+x)\text{e}^x\) : ce ne sont pas des primitives de \(f\).)
2. Réponse a. Les vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (premières coordonnées opposées, deuxièmes égales), donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues. On cherche un point commun : \(2+r=1-s\) et \(1+r=-1+s\) donnent \(r+s=-1\) et \(r-s=-2\), d’où \(r=-\dfrac32\) et \(s=\dfrac12\). La troisième équation, \(-r=2-s\), donne \(\dfrac32=\dfrac32\) : elle est vérifiée. Les droites sont sécantes, au point \((\dfrac12\,;\,-\dfrac12\,;\,\dfrac32)\).
3. Réponse b. Un vecteur normal à \((P)\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\vec{w}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Comme \(\vec{n}\cdot\vec{w}=2-1-1=0\), la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans). Le point \((2\,;\,4\,;\,1)\) de \((\Delta)\) vérifie \(2\times 2-4+1-1=0\) : il est dans \((P)\). Donc \((\Delta)\) est incluse dans \((P)\).
4. Réponse c. Les vecteurs normaux \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée est la même mais pas la première), donc les plans sont sécants. De plus \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2-2+1=1\neq0\) : les plans ne sont pas perpendiculaires. Ils sont sécants et non perpendiculaires.
5. Réponse d. On a \(\vec{\text{EF}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EG}}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\), donc \(\text{EF}=\sqrt{1+4+4}=3\), \(\text{EG}=\sqrt{9+0+16}=5\) et \(\vec{\text{EF}}\cdot\vec{\text{EG}}=-3+0+8=5\). Comme \(\vec{\text{EF}}\cdot\vec{\text{EG}}=\text{EF}\times \text{EG}\times \cos\alpha\), on obtient \(\cos\alpha=\dfrac{5}{15}=\dfrac13\), d’où \(\alpha\approx70{,}5^\circ\approx71^\circ\).
Exercice 4 :
1. a. On a \(\lim\limits_{x\to0}(5x^2+2x)=0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}x^2\ln(x)=0\). Par somme, \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}f(x)=0\).
b. En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ». On factorise par \(x^2\) : \(f(x)=x^2(5+\dfrac2x-2\ln(x))\). Or \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac2x=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), donc la parenthèse tend vers \(-\infty\), et \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
2. La dérivée de \(x^2\ln(x)\) s’obtient avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) : \(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac1x=2x\ln(x)+x\). Donc \(f^{\prime}(x)=10x+2-2(2x\ln(x)+x)=10x+2-4x\ln(x)-2x\), soit \(f^{\prime}(x)=8x+2-4x\ln(x)\).
3. a. On dérive \(f^{\prime}\) : la dérivée de \(4x\ln(x)\) est \(4\ln(x)+4x\times \dfrac1x=4\ln(x)+4\). Donc \(f^{\prime\prime}(x)=8-4\ln(x)-4=4-4\ln(x)\), soit \(f^{\prime\prime}(x)=4(1-\ln(x))\).
b. La courbe est au-dessus de ses tangentes sur les intervalles où \(f\) est convexe, c’est-à-dire où \(f^{\prime\prime}(x)\geq\,0\). Or \(4(1-\ln(x))\geq\,0\iff\ln(x)\leq\,1\iff x\leq\,\text{e}\) (la fonction \(\ln\) est strictement croissante). Le plus grand intervalle cherché est \(]0\,;\,\text{e}]\).
c. D’après la question précédente, \(f^{\prime\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,\text{e}[\) et \(f^{\prime\prime}(x)\lt0\) sur \(]\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(f^{\prime}\) est croissante puis décroissante, avec un maximum \(f^{\prime}(\text{e})=8\text{e}+2-4\text{e}\ln(\text{e})=4\text{e}+2\approx12{,}87\).
| \(x\) | 0 | \(\text{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f^{\prime}\) | 2 | ↗ | \(4\text{e}+2\) | ↘ | \(-\infty\) |
4. a. Sur \(]0\,;\,\text{e}]\) : \(f^{\prime}\) est strictement croissante et sa limite en 0 vaut 2, donc \(f^{\prime}(x)\gt2\gt0\) : l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(f^{\prime}\) est continue (car dérivable), strictement décroissante, avec \(f^{\prime}(\text{e})=4\text{e}+2\gt0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=-\infty\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.
Au total, l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,+\infty[\). À la calculatrice, \(f^{\prime}(7{,}87)\approx0{,}015\gt0\) et \(f^{\prime}(7{,}88)\approx-0{,}028\lt0\), donc \(7{,}87\lt\alpha\lt7{,}88\).
b. D’après ce qui précède, \(f^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f^{\prime}(\alpha)=0\) et \(f^{\prime}(x)\lt0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\) (car \(f^{\prime}\) décroît après \(\alpha\) sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\)). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\alpha]\) et strictement décroissante sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) :
| \(x\) | 0 | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | 0 | ↗ | \(f(\alpha)\) | ↘ | \(-\infty\) |
5. a. On a \(f^{\prime}(\alpha)=0\), c’est-à-dire \(8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha)=0\), donc \(4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2\). Comme \(\alpha\neq0\), on divise par \(4\alpha\) : \(\ln(\alpha)=\dfrac{8\alpha+2}{4\alpha}\), puis en simplifiant par 2, \(\ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\).
On remplace alors \(\ln(\alpha)\) dans l’expression de \(f(\alpha)\) :
\[f(\alpha)=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}=5\alpha^2+2\alpha-\alpha(4\alpha+1)=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha.\]
Donc \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\).
b. D’après le tableau de variations, le maximum de \(f\) est \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\). La fonction \(x\mapsto x^2+x\) est croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). L’encadrement \(7{,}87\lt\alpha\lt7{,}88\) donne \(69{,}806\lt f(\alpha)\lt69{,}975\), d’amplitude un peu supérieure à \(10^{-1}\). On l’affine à la calculatrice : \(f^{\prime}(7{,}873)\approx0{,}002\gt0\) et \(f^{\prime}(7{,}874)\approx-0{,}002\lt0\), donc \(7{,}873\lt\alpha\lt7{,}874\), d’où \(7{,}873^2+7{,}873\lt f(\alpha)\lt7{,}874^2+7{,}874\), soit \(69{,}857\lt f(\alpha)\lt69{,}874\).
On obtient ainsi l’encadrement d’amplitude \(10^{-1}\) : \(69{,}8\lt\max f\lt69{,}9\) (le maximum vaut environ 69,87).
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