Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. Les pointillés sont des probabilités conditionnelles qu’on lit directement dans les estimations de l’entraîneur. Si l’athlète a franchi la haie le jour \(n\), il la franchit le lendemain dans 90 % des cas : \(P_{R_n}(R_{n+1})=0{,}9\), et donc \(P_{R_n}(\overline{R_{n+1}})=1-0{,}9=0{,}1\). S’il a échoué le jour \(n\), il échoue encore dans 70 % des cas : \(P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})=0{,}7\), donc \(P_{\overline{R_n}}(R_{n+1})=0{,}3\).
| Branche | \(R_n\to R_{n+1}\) | \(R_n\to\overline{R_{n+1}}\) | \(\overline{R_n}\to R_{n+1}\) | \(\overline{R_n}\to\overline{R_{n+1}}\) |
|---|---|---|---|---|
| Probabilité | 0,9 | 0,1 | 0,3 | 0,7 |
2. Deux chemins de l’arbre mènent à \(R_{n+1}\) : celui qui passe par \(R_n\) et celui qui passe par \(\overline{R_n}\). Comme \(R_n\) et \(\overline{R_n}\) forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne :
\[p_{n+1}=P(R_n\cap R_{n+1})+P(\overline{R_n}\cap R_{n+1})=p_n\times 0{,}9+(1-p_n)\times 0{,}3.\]
En développant : \(p_{n+1}=0{,}9p_n+0{,}3-0{,}3p_n\), c’est-à-dire \(p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3\) pour tout entier naturel \(n\).
3. a. Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(u_{n+1}\) à l’aide de \(u_n\) en utilisant \(p_n=u_n+0{,}75\) :
\[u_{n+1}=p_{n+1}-0{,}75=0{,}6p_n+0{,}3-0{,}75=0{,}6p_n-0{,}45=0{,}6(u_n+0{,}75)-0{,}45=0{,}6u_n.\]
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par 0,6 : \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}6\), de premier terme \(u_0=p_0-0{,}75=0{,}6-0{,}75=-0{,}15\).
b. Le terme général d’une suite géométrique est \(u_n=u_0\times q^n\), donc \(u_n=-0{,}15\times 0{,}6^n\). Comme \(p_n=u_n+0{,}75\), on obtient pour tout entier naturel \(n\) : \(p_n=0{,}75-0{,}15\times 0{,}6^n\).
c. Puisque \(-1\lt 0{,}6\lt 1\), on sait que \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}6^n=0\). Par produit, \(0{,}15\times 0{,}6^n\) tend vers 0, puis par somme \(p_n\) tend vers 0,75. La suite \((p_n)\) est donc convergente, de limite \(\ell=0{,}75\).
d. À long terme, la probabilité que l’athlète franchisse la haie lors d’une séance se stabilise autour de 0,75 : après un grand nombre de séances, il réussit son saut environ trois fois sur quatre.
Partie B
1. Le passage de chaque haie est une épreuve de Bernoulli dont le succès, « l’athlète franchit la haie », a la probabilité 0,75. La course comporte 10 haies et les sauts sont indépendants : on répète 10 fois, de façon identique et indépendante, cette épreuve. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}75\).
2. Franchir les 10 haies correspond à \(X=10\) :
\[P(X=10)=\binom\,{10}{10}\times 0{,}75^{10}\times 0{,}25^{0}=0{,}75^{10}\approx0{,}0563.\]
La probabilité que l’athlète franchisse toutes les haies est environ 0,056.
3. \(P(X\geq\,9)=P(X=9)+P(X=10)\). On calcule \(P(X=9)=\binom\,{10}{9}\times 0{,}75^{9}\times 0{,}25=10\times 0{,}75^9\times 0{,}25\approx0{,}1877\). Donc \(P(X\geq\,9)\approx0{,}1877+0{,}0563\), soit \(P(X\geq\,9)\approx0{,}244\).
Exercice 2 :
1. On lit un vecteur normal dans les coefficients de chaque équation : \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}_1\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}_2\). S’ils étaient colinéaires, on aurait \(\vec{n_2}=\lambda\vec{n_1}\) ; la première coordonnée impose \(\lambda=2\), mais alors la deuxième donnerait \(14=2\times 2=4\), ce qui est faux. Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, donc les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) ne sont pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.
2. Il suffit de montrer que tout point de \(\mathcal{D}\) appartient aux deux plans : \(\mathcal{D}\) sera alors contenue dans leur intersection, qui est une droite, donc égale à elle. Prenons le point de paramètre \(t\), de coordonnées \((1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)\).
Dans l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \(5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t)=5+10t-2t+12-8t=17\). L’égalité est vraie pour tout \(t\).
Dans l’équation de \(\mathcal{P}_2\) : \(10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t)=10+20t-14t+9-6t=19\). L’égalité est vraie pour tout \(t\).
La droite \(\mathcal{D}\) est donc incluse dans \(\mathcal{P}_1\) et dans \(\mathcal{P}_2\) ; comme ces plans sont sécants, \(\mathcal{D}\) est leur droite d’intersection.
3. a. On remplace les coordonnées de A dans l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \(5\times 1+2\times (-1)+4\times (-1)=5-2-4=-1\). Or \(-1\neq17\), donc A n’appartient pas à \(\mathcal{P}_1\).
b. La droite \(\mathcal{D}\) est contenue dans \(\mathcal{P}_1\) (question 2). Si A était sur \(\mathcal{D}\), il serait donc dans \(\mathcal{P}_1\), ce qui contredit la question a. Donc A n’appartient pas à \(\mathcal{D}\). (On peut aussi le voir directement : \(1+2t=1\) impose \(t=0\), mais alors \(y=0\neq-1\).)
4. a. Le repère est orthonormé, donc \(\text{A}M^2=(x_M-x_\text{A})^2+(y_M-y_\text{A})^2+(z_M-z_\text{A})^2\). Avec \(M(1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)\) et \(\text{A}(1\,;\,-1\,;\,-1)\) :
\[f(t)=(2t)^2+(1-t)^2+(4-2t)^2=4t^2+(1-2t+t^2)+(16-16t+4t^2)=9t^2-18t+17.\]
On a bien \(f(t)=9t^2-18t+17\) pour tout réel \(t\).
b. Une distance étant positive, \(\text{A}M\) est minimale exactement quand \(\text{A}M^2=f(t)\) l’est. La fonction \(f\) est un trinôme du second degré de coefficient dominant \(9\gt0\) : elle admet un minimum atteint en \(t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{18}{18}=1\). On peut aussi écrire \(f(t)=9(t-1)^2+8\), qui est minimal pour \(t=1\), avec \(f(1)=8\).
Pour \(t=1\), le point \(M\) a pour coordonnées \((1+2\,;\,-1\,;\,3-2)\) : la distance \(\text{A}M\) est minimale pour \(M(3\,;\,-1\,;\,1)\), et elle vaut alors \(\sqrt8=2\sqrt2\).
5. On a \(\vec{\text{AH}}\begin{pmatrix}3-1\\-1+1\\1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}\), et la représentation paramétrique fournit un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) : \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\). Dans le repère orthonormé :
\[\vec{\text{AH}}\cdot\vec{u}=2\times 2+0\times (-1)+2\times (-2)=4+0-4=0.\]
Les droites (AH) et \(\mathcal{D}\) sont donc orthogonales. De plus, H est le point de \(\mathcal{D}\) de paramètre \(t=1\) : il appartient aux deux droites, qui sont donc sécantes en H. Deux droites orthogonales et sécantes sont perpendiculaires : (AH) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\) en H. H est ainsi le projeté orthogonal de A sur \(\mathcal{D}\).
Exercice 3 :
Partie A
1. On utilise le lien entre le signe d’une dérivée et les variations de la fonction.
La courbe \(\mathcal{C}_2\) est strictement positive. Si elle représentait la dérivée d’une des deux autres fonctions, cette fonction serait strictement croissante ; or ni \(\mathcal{C}_1\) ni \(\mathcal{C}_3\) ne sont croissantes sur tout l’intervalle (elles montent puis redescendent). \(\mathcal{C}_2\) n’est donc la dérivée de personne : c’est la courbe de \(f\).
La fonction \(f\) est strictement croissante, donc sa dérivée \(f^{\prime}\) est positive : parmi les deux courbes restantes, seule \(\mathcal{C}_3\) est positive partout (\(\mathcal{C}_1\) devient négative après 4). Donc \(\mathcal{C}_3\) représente \(f^{\prime}\), et il reste \(\mathcal{C}_1\) pour \(f^{\prime\prime}\).
Vérification : \(\mathcal{C}_3\) est croissante sur \([0\,;\,4]\) puis décroissante sur \([4\,;\,8]\), ce qui correspond bien à \(\mathcal{C}_1\) positive avant 4 et négative après 4.
On a donc la chaîne « \(\mathcal{C}_2\) se dérive en \(\mathcal{C}_3\), qui se dérive en \(\mathcal{C}_1\) », d’où : \(\mathcal{C}_2\) représente \(f\), \(\mathcal{C}_3\) représente \(f^{\prime}\) et \(\mathcal{C}_1\) représente \(f^{\prime\prime}\).
2. Le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_2\) (courbe de \(f\)) au point d’abscisse 4 est le nombre dérivé \(f^{\prime}(4)\). On le lit sur \(\mathcal{C}_3\), courbe de \(f^{\prime}\) : son sommet a pour ordonnée 3 en \(x=4\). Le coefficient directeur cherché vaut donc environ 3.
3. Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c’est-à-dire où elle passe de convexe à concave ou inversement. En observant \(\mathcal{C}_1\) :
- entre 2 et 3 environ, la courbe monte de plus en plus vite (convexe), puis elle s’infléchit avant son sommet : un premier changement de courbure a lieu vers \(x\approx3{,}2\) ;
- elle est ensuite concave autour de son maximum, puis convexe autour de son minimum : le changement se produit là où elle coupe l’axe des abscisses, en \(x=4\) ;
- après son minimum, elle remonte vers 0 en passant de convexe à concave vers \(x\approx4{,}8\).
Les points d’inflexion de \(\mathcal{C}_1\) ont pour abscisses environ 3,2 ; 4 et 4,8 (le graphique permet d’annoncer « environ 3, 4 et 5 »).
Partie B
1. Limite en \(+\infty\). Comme \(k\gt0\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-kx)=-\infty\), et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\) ; par composition, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-kx}=0\). Le dénominateur tend vers 1, donc par quotient \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=4\).
Limite en \(-\infty\). Comme \(k\gt0\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}(-kx)=+\infty\), et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\) ; par composition, \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-kx}=+\infty\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\) et le numérateur vaut 4, donc \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0\).
La courbe de \(g\) admet ainsi deux asymptotes horizontales, d’équations \(y=0\) et \(y=4\).
2. On écrit \(g=\dfrac{4}{v}\) avec \(v(x)=1+\text{e}^{-kx}\), qui est dérivable et strictement positive sur \(\mathbb{R}\), et \(v^{\prime}(x)=-k\text{e}^{-kx}\) (dérivée de \(\text{e}^{ax}\) : \(a\text{e}^{ax}\)). Avec \((\dfrac1v)^{\prime}=-\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\) :
\[g^{\prime}(x)=4\times \dfrac{k\text{e}^{-kx}}{(1+\text{e}^{-kx})^2}.\]
En \(x=0\) : \(\text{e}^0=1\), donc \(g^{\prime}(0)=\dfrac{4k}{(1+1)^2}=\dfrac{4k}{4}\), et ainsi \(g^{\prime}(0)=k\).
3. La courbe de \(g\) admet un point d’inflexion d’abscisse 0 si \(g^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe en 0. D’après le logiciel :
\[g^{\prime\prime}(x)=-4\text{e}^{kx}(\text{e}^{kx}-1)\dfrac{k^2}{(\text{e}^{kx}+1)^3}.\]
Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{kx}\gt0\), \(k^2\gt0\) et \((\text{e}^{kx}+1)^3\gt0\). Le signe de \(g^{\prime\prime}(x)\) est donc celui de \(-(\text{e}^{kx}-1)=1-\text{e}^{kx}\).
Or, la fonction exponentielle étant strictement croissante et \(k\gt0\) : \(1-\text{e}^{kx}\gt0\iff\text{e}^{kx}\lt\text{e}^0\iff kx\lt0\iff x\lt0\). Ainsi \(g^{\prime\prime}(x)\gt0\) sur \(]-\infty\,;\,0[\), \(g^{\prime\prime}(0)=0\) et \(g^{\prime\prime}(x)\lt0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
La fonction \(g\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,0]\) puis concave sur \([0\,;\,+\infty[\) : la courbe de \(g\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0, le point \((0\,;\,2)\) puisque \(g(0)=\dfrac42=2\).
Exercice 4 :
1. Vrai. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(|(-1)^n|=1\) et \(n+1\geq\,1\), donc \(|u_n|=\dfrac{1}{n+1}\leq\,1\). Autrement dit \(-1\leq\, u_n\leq\,1\) pour tout \(n\) : la suite est minorée par \(-1\) et majorée par 1, elle est bornée.
2. Faux. Un contre-exemple suffit : la suite définie par \(v_n=(-1)^n\) est bornée, puisque \(-1\leq\, v_n\leq\,1\), mais elle prend alternativement les valeurs 1 et \(-1\) et ne se rapproche d’aucun nombre : elle est bornée sans être convergente.
3. Faux. Contre-exemple : la suite définie par \(w_n=-\dfrac{1}{n+1}\). Comme \(n+1\) augmente, \(\dfrac{1}{n+1}\) diminue, donc \(w_n\) augmente : la suite est croissante. Pourtant elle est majorée par 0 et converge vers 0 ; elle ne tend pas vers \(+\infty\).
4. Faux. Le trinôme \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\) est strictement positif, donc \(f\) est bien définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Avec \(f=\ln(w)\) et \(w(x)=x^2+2x+2\), on a \(f^{\prime}(x)=\dfrac{w^{\prime}(x)}{w(x)}=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}\). En dérivant ce quotient :
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2+2x+2)-(2x+2)^2}{(x^2+2x+2)^2}=\dfrac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{(x^2+2x+2)^2}=\dfrac{-2x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}.\]
Le dénominateur est strictement positif, donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-2x(x+2)\), trinôme de coefficient dominant négatif et de racines \(-2\) et 0 : il est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | 0 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) |
La fonction \(f\) n’est convexe que sur \([-2\,;\,0]\). Par exemple \(f^{\prime\prime}(-3)=\dfrac{-6}{25}\lt0\) : \(f\) est concave sur \([-3\,;\,-2]\). \(f\) n’est donc pas convexe sur \([-3\,;\,1]\).
5. Vrai. La fonction garde dans M la plus grande valeur rencontrée : M part de L[0], puis la boucle parcourt tous les éléments et remplace M dès qu’elle en trouve un strictement plus grand. Elle renvoie donc le maximum de la liste. Avec la liste proposée, M vaut 2, puis 3 (car \(3\gt2\)), puis 7 (car \(7\gt3\)) ; aucun des éléments suivants (0, 6, 3, 2, 0, 5) ne dépasse 7. L’appel renvoie bien 7.
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