Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. On écrit \(f(x)=x\,\text{e}^{-x}\) : c’est un produit \(uv\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\).
\[f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^{-x}+x\times (-\text{e}^{-x})=(1-x)\,\text{e}^{-x}.\]
Réponse c.
2. On lit le signe de \(f^{\prime\prime}\) sur le graphique : \(f^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) sur \([-3\,;\,-1]\) et \(f^{\prime\prime}(x)\leq\, 0\) sur \([-1\,;\,1]\), avec \(f^{\prime\prime}(-1)=0\). Or \(f^{\prime\prime}\) est la dérivée de \(f^{\prime}\) : la fonction \(f^{\prime}\) est donc croissante sur \([-3\,;\,-1]\) puis décroissante sur \([-1\,;\,1]\). Elle atteint son maximum en \(x=-1\).
Les autres propositions sont fausses : sur \([-1\,;\,1]\), \(f^{\prime\prime}\leq\, 0\) donc \(f\) est concave et non convexe (a) ; sur \([-2\,;\,-1]\), \(f^{\prime\prime}\geq\, 0\) donc \(f\) n’est pas concave sur \([-2\,;\,0]\) (b) et \(f^{\prime}\) y croît (c).
Réponse d.
3. Il suffit de dériver la proposition c, qui est de la forme \(-\dfrac{1}{2}uv\) avec \(u(x)=x^2+1\) et \(v(x)=\text{e}^{-x^2}\), donc \(u^{\prime}(x)=2x\) et \(v^{\prime}(x)=-2x\,\text{e}^{-x^2}\) :
\[F^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2}[2x\,\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)(-2x)\text{e}^{-x^2}]=-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-x^2}(2x-2x^3-2x)=x^3\text{e}^{-x^2}=f(x).\]
Pour vérifier qu’aucune autre ne convient : la dérivée de b vaut \((-x^3+\dfrac{1}{2}x^5)\text{e}^{-x^2}\), celle de a vaut \(\dfrac{1}{6}(2x^4-3x^2+2x)\text{e}^{-x^2}\) et celle de d vaut \((4x^5-14x^3+6x)\text{e}^{-x^2}\) : aucune n’est égale à \(f(x)\).
Réponse c.
4. On a une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(\text{e}^x\) au numérateur et au dénominateur : pour \(x\gt 0\),
\[\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}=\dfrac{\text{e}^x(1+\text{e}^{-x})}{\text{e}^x(1-\text{e}^{-x})}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}.\]
Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\), le quotient tend vers \(\dfrac{1+0}{1-0}=1\). Réponse b.
5. La fonction \(f\) est de la forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=2x+1\) et \(u^{\prime}(x)=2\). Une primitive de \(u^{\prime}\text{e}^u\) est \(\text{e}^u\), donc une primitive de \(f=\dfrac{1}{2}u^{\prime}\text{e}^u\) est \(x\longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}+k\), \(k\in\mathbb{R}\).
La condition \(F(0)=1\) donne \(\dfrac{1}{2}\text{e}+k=1\), soit \(k=1-\dfrac{1}{2}\text{e}\). Ainsi \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\text{e}+1\). Réponse c.
6. Sur le graphique, la courbe de \(f\) « tourne vers le bas » (elle est sous ses tangentes) entre \(-2\) et 1, puis « tourne vers le haut » entre 1 et 4 : \(f\) est concave sur \([-2\,;\,1]\) et convexe sur \([1\,;\,4]\), avec un point d’inflexion d’abscisse 1. On cherche donc une fonction \(f^{\prime\prime}\) négative sur \([-2\,;\,1]\), positive sur \([1\,;\,4]\) et qui s’annule en 1.
La courbe b a le signe contraire ; les courbes c et d représentent des fonctions positives sur une grande partie de \([-2\,;\,1]\). Seule la droite a (négative avant 1, nulle en 1, positive après) convient. Réponse a.
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | c | d | c | b | c | a |
Exercice 2 :
1. Limite en 0. D’après la croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0+1=\) 1.
Limite en \(+\infty\). On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\) \(+\infty\).
2. a. Le terme \(x\ln(x)\) est le produit de \(u(x)=x\) et \(v(x)=\ln(x)\), avec \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). La constante 1 a une dérivée nulle. Donc, pour tout \(x\gt 0\) :
\[f^{\prime}(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1.\]
b. On étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\) : comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
\[1+\ln(x)\gt 0\iff\ln(x)\gt -1\iff x\gt\text{e}^{-1}.\]
Donc \(f^{\prime}\) est négative sur \(]0\,;\,\text{e}^{-1}]\) et positive sur \([\text{e}^{-1}\,;\,+\infty[\) : \(f\) est décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x=\text{e}^{-1}\). Sa valeur est
\[f(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})+1=-\text{e}^{-1}+1=1-\dfrac{1}{\text{e}}\approx 0{,}632.\]
| \(x\) | \(0\) | \(\text{e}^{-1}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| variations de \(f\) | || \(1\) | \(\searrow\) | \(1-\text{e}^{-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
c. Soit \(x\in\,]0\,;\,1[\). D’une part, \(\ln(x)\lt 0\) et \(x\gt 0\), donc \(x\ln(x)\lt 0\) et \(f(x)\lt 1\). D’autre part, le minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(1-\text{e}^{-1}\), qui est strictement positif car \(\text{e}^{-1}\lt 1\) ; donc \(f(x)\geq\, 1-\text{e}^{-1}\gt 0\). Finalement \(0\lt f(x)\lt 1\) pour tout \(x\in\,]0\,;\,1[\).
3. a. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\). Or \(f(1)=1\times \ln(1)+1=1\) et \(f^{\prime}(1)=1+\ln(1)=1\). D’où \(y=1\times (x-1)+1\), c’est-à-dire \((T)\,:\,y=x\).
b. La fonction \(f^{\prime}\,:\,x\mapsto 1+\ln(x)\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). Pour \(x\gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\).
c. Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. En particulier, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \((T)\,:\,y=x\), ce qui se traduit par \(f(x)\geq\, x\) pour tout \(x\gt 0\).
4. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(0\lt u_n\lt 1\) ».
Initialisation. Par hypothèse, \(u_0\in\,]0\,;\,1[\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(0\lt u_n\lt 1\). D’après la question 2. c., l’image par \(f\) d’un réel de \(]0\,;\,1[\) est dans \(]0\,;\,1[\). Donc \(f(u_n)\in\,]0\,;\,1[\), c’est-à-dire \(0\lt u_{n+1}\lt 1\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par le principe de récurrence, \(0\lt u_n\lt 1\) pour tout entier naturel \(n\).
b. Pour tout \(n\), \(u_n\gt 0\), donc l’inégalité de la question 3. c. s’applique à \(x=u_n\) : \(f(u_n)\geq\, u_n\), soit \(u_{n+1}\geq\, u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.
c. La suite \((u_n)\) est croissante (question 4. b.) et majorée par 1 (question 4. a.). D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite finie inférieure ou égale à 1.
Exercice 3 :
1. On calcule les coordonnées de trois vecteurs issus de A :
\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix},\quad\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix},\quad\vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}.\]
Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{AB}}\)), donc A, B, C définissent un plan. Les quatre points sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{\text{AD}}=a\vec{\text{AB}}+b\vec{\text{AC}}\), c’est-à-dire :
\[\{\begin{array}{l}3a+3b=-3\\3a=6\\3a-3b=-3\end{array}.\]
La deuxième équation donne \(a=2\). La première donne alors \(b=-1-a=-3\) et la troisième \(b=a+1=3\) : contradiction. Le système n’a pas de solution, donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2. a. Calculons le produit scalaire \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AC}}=3\times 3+3\times 0+3\times (-3)=9+0-9=0\). Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
b. On a \(\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{AB}}=(-3)\times 3+6\times 3+(-3)\times 3=-9+18-9=0\) et \(\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{AC}}=(-3)\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3)=-9+9=0\).
Le vecteur \(\vec{\text{AD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan. La droite (AD) est donc perpendiculaire au plan (ABC), et elle le coupe en A.
c. On prend ABC comme base ; la hauteur correspondante est AD puisque (AD) est perpendiculaire à (ABC) en A. On calcule les longueurs :
\[\text{AB}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3},\quad\text{AC}=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},\quad\text{AD}=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.\]
Le triangle ABC étant rectangle en A, son aire vaut \(\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\). D’où
\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\times 3\sqrt{6}=\dfrac{9\times 3\times 6}{6}=27.\]
Le volume du tétraèdre ABCD est 27 unités de volume.
3. a. On a \(\vec{\text{BH}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BD}}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}\). L’égalité \(\vec{\text{BH}}=\alpha\vec{\text{BC}}+\beta\vec{\text{BD}}\) équivaut au système :
\[\{\begin{array}{l}-6\beta=-1\\-3\alpha+3\beta=-1\\-6\alpha-6\beta=-4\end{array}.\]
La première ligne donne \(\beta=\dfrac{1}{6}\). La deuxième devient \(-3\alpha+\dfrac{1}{2}=-1\), soit \(\alpha=\dfrac{1}{2}\). On vérifie la troisième : \(-6\times \dfrac{1}{2}-6\times \dfrac{1}{6}=-3-1=-4\). Le système est compatible : \(\vec{\text{BH}}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{BC}}+\dfrac{1}{6}\vec{\text{BD}}\).
b. D’après a., H appartient au plan (BCD) (les vecteurs \(\vec{\text{BC}}\) et \(\vec{\text{BD}}\) ne sont pas colinéaires puisque B, C, D sont trois points d’un tétraèdre). Il reste à montrer que \(\vec{\text{AH}}\) est normal à ce plan. On a \(\vec{\text{AH}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) et :
\[\vec{\text{AH}}\cdot\vec{\text{BC}}=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6)=0,\qquad\vec{\text{AH}}\cdot\vec{\text{BD}}=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6)=0.\]
Le vecteur \(\vec{\text{AH}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), donc (AH) est perpendiculaire à ce plan. Comme H est dans le plan, H est le projeté orthogonal de A sur (BCD).
c. La distance de A au plan (BCD) est la longueur AH : \(\text{AH}=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3\). La distance cherchée vaut 3 unités de longueur.
4. On calcule le volume du même tétraèdre en prenant cette fois BCD comme base : la hauteur associée est AH. Donc \(V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{\text{BCD}}\times \text{AH}\), d’où
\[\mathcal{A}_{\text{BCD}}=\dfrac{3V}{\text{AH}}=\dfrac{3\times 27}{3}=27.\]
L’aire du triangle BCD vaut 27 unités d’aire.
Exercice 4 :
1. a. On note B l’événement « le jeton tiré est blanc » et N l’événement « le jeton tiré est noir ». L’urne contient 5 jetons dont 3 blancs, et le tirage se fait avec remise : à chaque tirage, \(P(\text{B})=\dfrac{3}{5}\) et \(P(\text{N})=\dfrac{2}{5}\), quelle que soit la couleur tirée avant.
b. On perd 9 € lorsque les deux jetons sont blancs. En suivant la branche B puis B :
\[P(\text{B}\cap\text{B})=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0{,}36.\]
La probabilité de perdre 9 € est \(\dfrac{9}{25}\).
2. a. L’urne contient maintenant \(N+3\) jetons, dont 3 blancs et \(N\) noirs. À chaque tirage, \(P(\text{B})=\dfrac{3}{N+3}\) et \(P(\text{N})=\dfrac{N}{N+3}\). Les valeurs possibles du gain sont \(-9\), \(-1\) et \(5\).
- \(P(X=-9)=(\dfrac{3}{N+3})^2=\dfrac{9}{(N+3)^2}\) (deux blancs) ;
- \(P(X=-1)=(\dfrac{N}{N+3})^2=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}\) (deux noirs) ;
- \(P(X=5)=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}+\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\) (blanc puis noir, ou noir puis blanc).
| \(x_i\) | \(-9\) | \(-1\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{9}{(N+3)^2}\) | \(\dfrac{N^2}{(N+3)^2}\) | \(\dfrac{6N}{(N+3)^2}\) |
On vérifie que la somme vaut 1 : \(9+N^2+6N=(N+3)^2\).
b. Le trinôme \(-x^2+30x-81\) a pour discriminant \(\Delta=30^2-4\times (-1)\times (-81)=900-324=576=24^2\). Ses racines sont \(x_1=\dfrac{-30+24}{-2}=3\) et \(x_2=\dfrac{-30-24}{-2}=27\). Son coefficient dominant \(-1\) est négatif, donc le trinôme est strictement positif entre ses racines. L’ensemble des solutions est \(]3\,;\,27[\).
c. Le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance de gain est strictement positive. Or
\[E(X)=-9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}=\dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}.\]
Le dénominateur est strictement positif, donc \(E(X)\gt 0\iff -N^2+30N-81\gt 0\iff N\in\,]3\,;\,27[\) d’après b. Comme \(N\) est un entier, le jeu est favorable au joueur lorsque l’urne contient entre 4 et 26 jetons noirs (bornes comprises).
d. On étudie la fonction \(g\) définie sur \([2\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}\), qui donne \(E(X)\) lorsque \(x=N\). Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\), \(u(x)=-x^2+30x-81\) et \(v(x)=(x+3)^2\) :
\[g^{\prime}(x)=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)(-x^2+30x-81)}{(x+3)^4}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)}{(x+3)^3}.\]
Au numérateur : \(-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162=-36x+252=-36(x-7)\). Donc \(g^{\prime}(x)=\dfrac{-36(x-7)}{(x+3)^3}\) : positive pour \(x\lt 7\), nulle en 7, négative pour \(x\gt 7\). La fonction \(g\) est croissante sur \([2\,;\,7]\) puis décroissante : son maximum est atteint en \(x=7\), qui est un entier.
Le joueur doit demander 7 jetons noirs ; le gain moyen vaut alors \(E(X)=\dfrac{-49+210-81}{100}=0{,}8\) €.
3. Avec \(N=7\), la probabilité qu’un joueur gagne 5 € est \(p=\dfrac{6\times 7}{10^2}=0{,}42\). Soit \(Y\) le nombre de joueurs gagnant 5 € parmi les 10. Les 10 parties sont identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues (gagner 5 € ou non) : \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}42\).
\[P(Y\geq\, 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0{,}42)^{10}=1-0{,}58^{10}\approx 0{,}996.\]
La probabilité qu’au moins un joueur gagne 5 euros est d’environ 0,996.
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