Corrigé du bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 1)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse b.

On dérive le produit \(x \times \text{e}^{-2x}\), en se rappelant que la dérivée de \(\text{e}^{-2x}\) est \(-2\text{e}^{-2x}\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{-2x} + x \times (-2\text{e}^{-2x}) = (1 – 2x)\text{e}^{-2x}.\]

On recommence avec \(u(x) = 1 – 2x\) (\(u^{\prime} = -2\)) et \(v(x) = \text{e}^{-2x}\) :

\[f^{\prime\prime}(x) = -2\text{e}^{-2x} + (1 – 2x)(-2\text{e}^{-2x}) = (-2 – 2 + 4x)\text{e}^{-2x} = 4(x – 1)\text{e}^{-2x}.\]

La proposition a est \(f^{\prime}(x)\), pas \(f^{\prime\prime}(x)\) : c’est un piège. La bonne réponse est b.

2. Réponse c.

On choisit 3 spécialités parmi 12, sans ordre et sans répétition : c’est un nombre de combinaisons.

\[\binom\,{12}{3} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1320}{6} = 220.\]

1 320 compterait les choix ordonnés (arrangements) et 1 728 \(= 12^3\) les listes avec répétition. Réponse c : 220.

3. Réponse b.

Le sens de variation de \(f\) se lit sur le signe de \(f^{\prime}\) : la courbe de \(f^{\prime}\) est sous l’axe des abscisses sur \([0~;~2]\), au-dessus sur \([2~;~5]\), puis de nouveau en dessous sur \([5~;~7]\).

Donc \(f\) est décroissante sur \([0~;~2]\), croissante sur \([2~;~5]\), décroissante sur \([5~;~7]\) : c’est le tableau b. Les tableaux a et d confondent le maximum de \(f^{\prime}\) (vers 3,25) ou son annulation avec les variations de \(f\).

4. Réponse b.

Notons \(A\) et \(B\) les évènements « la puce a le défaut A » et « la puce a le défaut B ». On a \(P(A) = 0{,}028\), \(P(B) = 0{,}022\) et, puisque 95,4 % des puces n’ont aucun défaut, \(P(A \cup B) = 1 – 0{,}954 = 0{,}046\).

La formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\) donne :

\[P(A \cap B) = 0{,}028 + 0{,}022 – 0{,}046 = 0{,}004.\]

Réponse b : 0,004.

5. Réponse b.

D’après le tableau, \(f\) est croissante sur \(]-\infty~;~-1]\) puis décroissante sur \([-1~;~+\infty[\). Une fonction dérivable croissante sur un intervalle a une dérivée positive sur cet intervalle : \(f^{\prime}\) est positive sur \(]-\infty~;~-1]\). Les autres propositions sont contredites par l’une des deux phases de variation.

Exercice 2 :

Partie A

1. Arbre pondéré

L’énoncé donne \(P(R) = 0{,}17\) et \(P_R(J) = 0{,}32\) (32 % des utilisateurs réguliers ont entre 18 et 24 ans). On en déduit \(P(\overline{R}) = 0{,}83\) et \(P_R(\overline{J}) = 0{,}68\). Les probabilités conditionnelles sachant \(\overline{R}\) ne sont pas données à ce stade : on les calcule à la question 4. L’arbre porte les pondérations suivantes :

2. Calcul de \(P(R \cap J)\)

On suit la branche \(R\) puis \(J\) : \(P(R \cap J) = P(R) \times P_R(J) = 0{,}17 \times 0{,}32 = 0{,}0544\), soit environ 0,054.

3. Calcul de \(P(\overline{R} \cap J)\)

Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(J) = P(R \cap J) + P(\overline{R} \cap J), \quad \text{donc} \quad P(\overline{R} \cap J) = 0{,}11 – 0{,}0544 = 0{,}0556.\]

Arrondie à \(10^{-3}\), cette probabilité vaut bien 0,056.

4. Proportion de jeunes parmi les non-utilisateurs réguliers

On cherche la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{R}}(J)\) :

\[P_{\overline{R}}(J) = \dfrac{P(\overline{R} \cap J)}{P(\overline{R})} = \dfrac{0{,}0556}{0{,}83} \approx 0{,}067.\]

Environ 6,7 % des utilisateurs non réguliers des transports en commun ont entre 18 et 24 ans.

Partie B

1. Loi de \(X\)

Interroger une personne est une épreuve de Bernoulli : le succès « la personne utilise régulièrement les transports en commun » a pour probabilité \(p = 0{,}17\). Le recensement est assimilé à un tirage avec remise, donc les 50 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 50\) et \(p = 0{,}17\).

2. Calcul de \(P(X = 5)\)

\[P(X = 5) = \binom\,{50}{5} \times 0{,}17^5 \times 0{,}83^{45} \approx 0{,}069.\]

Il y a environ 6,9 % de chances que, parmi les 50 personnes interrogées, exactement 5 utilisent régulièrement les transports en commun.

3. L’affirmation du recenseur

« Moins de 13 personnes » correspond à l’évènement \((X \leq\, 12)\). À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) : \(P(X \leq\, 12) \approx 0{,}929\).

Cette probabilité est inférieure à 0,95 : l’affirmation est fausse. (Il faudrait aller jusqu’à 13 personnes incluses : \(P(X \leq\, 13) \approx 0{,}964\).)

4. Nombre moyen

L’espérance d’une loi binomiale vaut \(E(X) = np = 50 \times 0{,}17 = 8{,}5\). En moyenne, 8,5 personnes sur 50 utilisent régulièrement les transports en commun.

Exercice 3 :

Partie A

1. Calcul de \(a_1\)

85 % des 200 télétravailleurs de mai continuent, et 450 nouveaux s’ajoutent : \(a_1 = 0{,}85 \times 200 + 450 = 170 + 450 = 620\). \(a_1 = 620\).

2. Relation de récurrence

Le mois \(n+1\), les télétravailleurs sont ceux du mois \(n\) qui continuent, soit 85 % de \(a_n\), c’est-à-dire \(0{,}85a_n\), auxquels s’ajoutent 450 nouveaux. Donc \(a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450\) pour tout entier naturel \(n\).

3. a. La suite \((v_n)\) est géométrique

Pour tout entier naturel \(n\), en utilisant \(a_n = v_n + 3000\) :

\[v_{n+1} = a_{n+1} – 3000 = 0{,}85a_n + 450 – 3000 = 0{,}85a_n – 2550 = 0{,}85(a_n – 3000) = 0{,}85\,v_n,\]

car \(0{,}85 \times 3000 = 2550\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,85, de premier terme \(v_0 = 200 – 3000 = -2800\).

3. b. Expression de \(v_n\)

Pour une suite géométrique, \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = -2800 \times 0{,}85^n\).

3. c. Expression de \(a_n\)

Comme \(a_n = v_n + 3000\), on obtient pour tout entier naturel \(n\) : \(a_n = -2800 \times 0{,}85^n + 3000\).

4. Seuil de 2 500 télétravailleurs

On résout \(a_n \gt 2500\) :

\[-2800 \times 0{,}85^n + 3000 \gt 2500 \iff -2800 \times 0{,}85^n \gt -500 \iff 0{,}85^n \lt \dfrac{500}{2800} = \dfrac{5}{28}.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc \(n \ln(0{,}85) \lt \ln(\dfrac{5}{28})\). Comme \(\ln(0{,}85) \lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l’inégalité :

\[n \gt \dfrac{\ln(\frac{5}{28})}{\ln(0{,}85)} \approx 10{,}6.\]

Le plus petit entier qui convient est 11. Vérification : \(a_{10} \approx 2449\) et \(a_{11} \approx 2531\). Le nombre de télétravailleurs dépasse 2 500 au bout de 11 mois, c’est-à-dire en avril 2021.

Partie B

1. Sens de variation de \(f\)

\(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur \(x + 2\) ne s’annule pas sur \([0~;~+\infty[\). Avec \((\dfrac{u}{v})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{5(x + 2) – (5x + 4) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{6}{(x + 2)^2}.\]

Pour tout \(x \geq\, 0\), \(f^{\prime}(x) \gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

2. a. Récurrence

Notons \(P(n)\) la propriété « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4\) ».

Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(u_1 = \dfrac{5 + 4}{1 + 2} = 3\). On a bien \(0 \leq\, 1 \leq\, 3 \leq\, 4\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité : supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4\). Tous ces nombres sont dans \([0~;~+\infty[\), où \(f\) est croissante, donc l’ordre est conservé :

\[f(0) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(4), \quad \text{soit} \quad 2 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 4,\]

car \(f(0) = \dfrac{4}{2} = 2\) et \(f(4) = \dfrac{24}{6} = 4\). Comme \(2 \geq\, 0\), on obtient \(0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4\).

2. b. Convergence

L’inégalité \(u_n \leq\, u_{n+1}\) montre que la suite est croissante, et \(u_n \leq\, 4\) qu’elle est majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.

3. Limite et interprétation

Comme \(0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\dfrac{1}{2})^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 3 \times (\dfrac{1}{2})^n = 0\). La suite \((4 – u_n)\) est encadrée par 0 et une suite qui tend vers 0 : d’après le théorème des gendarmes, elle tend vers 0. Donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\).

Dans le modèle, \(u_n\) compte des milliers de collaborateurs : à long terme, le nombre de collaborateurs satisfaits par le télétravail se stabilise autour de 4 000.

Exercice A :

1. Triangle ABC rectangle en A

On calcule \(\vec{\text{AB}}(1~;~0~;~2)\) et \(\vec{\text{AC}}(-2~;~5~;~1)\), puis leur produit scalaire :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 1 \times (-2) + 0 \times 5 + 2 \times 1 = 0.\]

Les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en A.

2. a. Vecteur orthogonal au plan (ABC)

\(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre) : ils dirigent le plan (ABC).

\(\vec{n} \cdot \vec{\text{AB}} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + (-1) \times 2 = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times (-2) + 1 \times 5 + (-1) \times 1 = 0\).

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est orthogonal au plan (ABC).

2. b. Équation cartésienne

Le plan (ABC) a une équation de la forme \(2x + y – z + d = 0\). Il contient A(2 ; −1 ; 0) : \(4 – 1 – 0 + d = 0\), donc \(d = -3\). Une équation de (ABC) est \(2x + y – z – 3 = 0\).

2. c. Les points ne sont pas coplanaires

Avec les coordonnées de S : \(2 \times 0 + 1 – 4 – 3 = -6 \neq 0\). Le point S n’appartient pas au plan (ABC), donc A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3. a. Représentation paramétrique de \((d)\)

La droite \((d)\) est orthogonale au plan (ABC), elle est donc dirigée par \(\vec{n}\), et elle passe par S(0 ; 1 ; 4) :

\[(d) : \{\begin{array}{l} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 4 – t \end{array}. \qquad t \in \mathbb{R}.\]

3. b. Coordonnées de H

H est sur \((d)\) et dans le plan (ABC). On remplace dans l’équation du plan :

\[2(2t) + (1 + t) – (4 – t) – 3 = 0 \iff 6t – 6 = 0 \iff t = 1.\]

Pour \(t = 1\) : \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = 3\). On obtient bien H(2 ; 2 ; 3).

4. Volume du tétraèdre SABC

On prend pour base le triangle ABC, rectangle en A : \(\text{AB} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}\) et \(\text{AC} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30}\), donc son aire vaut \(\dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{30}}{2} = \dfrac{\sqrt{150}}{2} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2}\).

La hauteur est SH, car H est le pied de la perpendiculaire au plan (ABC) issue de S : \(\vec{\text{SH}}(2~;~1~;~-1)\), donc \(\text{SH} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\).

\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{6} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5 \times 6}{2} = 5.\]

Le volume du tétraèdre SABC est 5 unités de volume.

5. a. Longueur SA

\(\vec{\text{SA}}(2~;~-2~;~-4)\), donc \(\text{SA} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\). SA \(= 2\sqrt{6} \approx 4{,}90\).

5. b. Angle \(\widehat{\text{ASB}}\)

On calcule le produit scalaire de deux façons. Avec les coordonnées, \(\vec{\text{SA}}(2~;~-2~;~-4)\) et \(\vec{\text{SB}}(3~;~-2~;~-2)\) :

\[\vec{\text{SA}} \cdot \vec{\text{SB}} = 6 + 4 + 8 = 18.\]

Avec les normes : \(\vec{\text{SA}} \cdot \vec{\text{SB}} = \text{SA} \times \text{SB} \times \cos\widehat{\text{ASB}} = 2\sqrt{6} \times \sqrt{17} \times \cos\widehat{\text{ASB}}\). Donc :

\[\cos\widehat{\text{ASB}} = \dfrac{18}{2\sqrt{6} \times \sqrt{17}} = \dfrac{9}{\sqrt{102}} \approx 0{,}8911.\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{ASB}} \approx 27{,}0°\) au dixième de degré (26,98° avant arrondi).

Exercice B :

Partie A

1. Calcul de \(g^{\prime}(x)\)

La dérivée de \(\text{e}^{kx}\) est \(k\,\text{e}^{kx}\) ; ici \(k = -\dfrac{1}{3}\). Donc :

\[g^{\prime}(x) = 2 \times (-\dfrac{1}{3})\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}.\]

2. Sens de variation de \(g\)

On factorise : \(g^{\prime}(x) = \dfrac{2}{3}(1 – \text{e}^{-\frac{1}{3}x})\). Or \(1 – \text{e}^{-\frac{1}{3}x} \geq\, 0 \iff \text{e}^{-\frac{1}{3}x} \leq\, 1 \iff -\dfrac{1}{3}x \leq\, 0 \iff x \geq\, 0\), par croissance de l’exponentielle.

Donc \(g^{\prime}(x) \leq\, 0\) sur \(]-\infty~;~0]\) et \(g^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([0~;~+\infty[\), avec \(g^{\prime}(0) = 0\). \(g\) est décroissante sur \(]-\infty~;~0]\) et croissante sur \([0~;~+\infty[\).

3. Signe de \(g(x)\)

D’après les variations, \(g\) admet un minimum en 0, qui vaut \(g(0) = 2\text{e}^0 + 0 – 2 = 0\). Donc \(g(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\), et \(g(x) = 0\) seulement pour \(x = 0\) (les variations sont strictes de part et d’autre de 0, car \(g^{\prime}\) ne s’annule qu’en 0).

Partie B

1. Résolution de \((E)\)

\(3y^{\prime} + y = 0 \iff y^{\prime} = -\dfrac{1}{3}y\). Les solutions de l’équation \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\). Ici, les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

2. Solution passant par M(0 ; 2)

On veut \(C\text{e}^0 = 2\), donc \(C = 2\). La solution cherchée est \(x \mapsto 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), c’est-à-dire la fonction \(f\) de la question suivante.

3. a. Tangente en M

\(f(0) = 2\) et \(f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), donc \(f^{\prime}(0) = -\dfrac{2}{3}\). La tangente en M a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\), soit \(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\).

3. b. Position de la courbe par rapport à la tangente

On étudie le signe de la différence :

\[f(x) – (-\dfrac{2}{3}x + 2) = 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x – 2 = g(x).\]

D’après la partie A, \(g(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\), avec égalité seulement en 0. Donc la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente \((\Delta_0)\) sur \(\mathbb{R}\), et ne la touche qu’au point M.

Partie C

1. Intersection de \((\Delta_a)\) avec l’axe des abscisses

La tangente au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\), c’est-à-dire :

\[y = -\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x – a) + 2\text{e}^{-\frac{1}{3}a}.\]

Elle coupe l’axe des abscisses quand \(y = 0\). En divisant par \(\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}a}\), qui n’est jamais nul :

\[-(x – a) + 3 = 0 \iff x = a + 3.\]

La tangente \((\Delta_a)\) coupe donc l’axe des abscisses au point P d’abscisse \(a + 3\).

2. Construction de \((\Delta_{-2})\)

On place sur la courbe \(\mathcal{C}_f\) le point B d’abscisse \(-2\) (son ordonnée est \(2\text{e}^{\frac{2}{3}} \approx 3{,}9\)). D’après la question précédente, la tangente en B coupe l’axe des abscisses au point P d’abscisse \(-2 + 3 = 1\), c’est-à-dire P(1 ; 0). Il suffit de placer P et de tracer la droite (BP) : c’est la tangente \((\Delta_{-2})\). Cette construction marche pour tout point de la courbe : on se décale de 3 unités vers la droite sur l’axe des abscisses.

Retour à l’énoncé : Bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé.