Triangles et quadrilatères : corrigé des exercicesde maths en 6ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (quadrilatères 6e corrigé)

1. Reproduction de la figure.

1. Tracer une droite et y placer, dans cet ordre, les points A, E, F et D tels que AE = 17 mm, EF = 31 mm et FD = 15 mm (donc AD = 17 + 31 + 15 = 63 mm).
2. Avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à (AD) passant par E et y placer le point B tel que EB = 23 mm.
3. Tracer la perpendiculaire à (AD) passant par F, du même côté que B, et y placer le point C tel que FC = 15 mm.
4. Tracer les segments [AB], [BF], [BC] et [CD].

2. D’après la figure, la droite (BE) est perpendiculaire à (AD) et la droite (CF) est aussi perpendiculaire à (AD).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc les droites (BE) et (CF) sont parallèles.

Exercice 2 :

1. On trace un segment [RS] de longueur 6 cm.

2. Tous les points cherchés sont à 6 cm de S : ils se trouvent donc sur le cercle de centre S et de rayon 6 cm, que l’on trace au compas.

• A et B sont à 1 cm de R : on trace le cercle de centre R et de rayon 1 cm. Il coupe le cercle de centre S en deux points, que l’on nomme A et B.
• On recommence avec les cercles de centre R et de rayons 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm et 11 cm : ils coupent chacun le cercle de centre S en deux points, qui sont C et D, puis E et F, G et H, I et J, K et L.

Dans chaque paire, les deux points sont symétriques par rapport à la droite (RS) : l’un est au-dessus de (RS), l’autre au-dessous.

3. On trace les 12 triangles RSA, RSB, RSC, RSD, RSE, RSF, RSG, RSH, RSI, RSJ, RSK et RSL.

4. Codage des longueurs égales :

• SR = SA = SB = SC = SD = SE = SF = SG = SH = SI = SJ = SK = SL = 6 cm : tous ces segments reçoivent le même codage ;
• RA = RB, RC = RD, RE = RF, RG = RH, RI = RJ et RK = RL : chaque paire reçoit un codage différent.

Remarque : chaque triangle a deux côtés de 6 cm (par exemple [SR] et [SA]), donc les 12 triangles sont isocèles en S.

Exercice 3 (quadrilatères 6e corrigé)

On part du segment [AB] de 60 mm, puis on avance de point en point : au rapporteur on construit l’angle, à la règle on reporte la longueur.

1. En B, construire l’angle \(\widehat{ABC}=137^{\circ}\) et placer C sur le nouveau côté tel que BC = 44 mm.
2. En C, construire l’angle \(\widehat{BCD}=174^{\circ}\) et placer D tel que CD = 49 mm.
3. En D, construire l’angle \(\widehat{CDE}=128^{\circ}\) et placer E tel que DE = 41 mm.
4. En E, construire l’angle \(\widehat{DEF}=106^{\circ}\) et placer F tel que EF = 68 mm.
5. En F, construire l’angle \(\widehat{EFG}=102^{\circ}\) et placer G tel que FG = 49 mm.
6. Tracer enfin le segment [GD], qui ferme le quadrilatère DEFG.

Chaque angle doit être ouvert du même côté que sur le modèle. On obtient la Grande Ourse : ses sept étoiles sont les points A, B, C, D, E, F et G, et le quadrilatère DEFG forme la « casserole ».

Exercice 4 :

a. Programme de construction :

1. Tracer un segment [AC] de 7 cm et placer le point B sur [AC] tel que AB = 3 cm (on a alors BC = 4 cm).
2. Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par A et placer sur cette droite le point D tel que AD = 4 cm.
3. Tracer la perpendiculaire à (AC) passant par C, du même côté que D.
4. Tracer le segment [BD], puis la perpendiculaire à (BD) passant par B : elle coupe la perpendiculaire tracée en C au point E.
5. Tracer les segments [BE] et [CE].

b. On suit ce programme avec la règle graduée et l’équerre. Sur une figure précise, on mesure CE = 3 cm et BD = BE = 5 cm : les triangles ABD et CEB ont les mêmes dimensions (le dessin de l’énoncé n’est pas tout à fait à l’échelle).

Exercice 5 (quadrilatères 6e corrigé)

a. Tracer [AB] de 3 cm, construire au rapporteur l’angle \(\widehat{BAC}=100^{\circ}\), puis placer C sur le côté de l’angle tel que AC = 5 cm. Tracer [BC].

b. Placer M sur [AB] à 1 cm de A.

c. et d. Tracer la parallèle à (BC) passant par M (elle coupe (AC) en N), la perpendiculaire à (BC) passant par M (elle coupe (BC) en Q), puis la parallèle à (MQ) passant par N (elle coupe (BC) en P).

e. On sait que (MN) // (BC) et que (MQ) \(\perp\) (BC).

Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Donc (MQ) et (MN) sont perpendiculaires.

f. On sait que (NP) // (MQ) et que (MQ) \(\perp\) (BC). Avec la même propriété, (NP) \(\perp\) (BC). Comme P et Q sont tous les deux sur (BC), la droite (PQ) est la droite (BC).

Donc (NP) et (PQ) sont perpendiculaires.

g. Le quadrilatère MNPQ a un angle droit en M (question e), en P (question f) et en Q (car (MQ) \(\perp\) (BC)). Or un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle.

Donc MNPQ est un rectangle. Ce n’est pas un carré : on mesure MN ≈ 2,1 cm et MQ ≈ 1,6 cm.

Exercice 6 :

a., b. et c. Tracer l’angle droit en A avec l’équerre, placer B et C (AB = 5 cm, AC = 8 cm), puis construire au rapporteur la demi-droite qui fait un angle de 30° avec [AB) : elle coupe [BC] en E. Enfin, prolonger la droite (EA) au-delà de A et placer F à 3 cm de A, du côté opposé à E.

d. Calcul des angles :

• Le triangle est rectangle en A, donc \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\). Le point E est entre B et C, donc \(\widehat{CAE}=90^{\circ}-30^{\circ}\), soit \(\widehat{CAE}=60^{\circ}\).
• Les points E, A et F sont alignés et A est entre E et F, donc \(\widehat{EAF}\) est un angle plat : \(\widehat{EAF}=180^{\circ}\). Ainsi \(\widehat{CAF}=180^{\circ}-60^{\circ}\), soit \(\widehat{CAF}=120^{\circ}\).
• De même, \(\widehat{FAB}=180^{\circ}-\widehat{BAE}=180^{\circ}-30^{\circ}\), soit \(\widehat{FAB}=150^{\circ}\).

Vérification : autour du point A, \(120^{\circ}+90^{\circ}+150^{\circ}=360^{\circ}\).

Exercice 7 (quadrilatères 6e corrigé)

1. ABC isocèle en A : AC = AB = 5 cm. Tracer [BC] de 4 cm, puis deux arcs de cercle de rayon 5 cm, l’un de centre B, l’autre de centre C ; ils se coupent en A.
2. DEF isocèle en E : ED = EF = 6 cm. Tracer [EF] de 6 cm, construire au rapporteur l’angle \(\widehat{DEF}=130^{\circ}\) de sommet E, puis placer D sur le côté de l’angle à 6 cm de E.
3. GHI équilatéral : tracer [GH] de 4 cm, puis deux arcs de rayon 4 cm, de centres G et H ; ils se coupent en I.
4. JKL rectangle en L : tracer [JL] de 5 cm, tracer avec l’équerre la perpendiculaire à (JL) en L et y placer K à 6 cm de L.
5. PQR rectangle isocèle en Q : QP = QR = 4 cm. Tracer [QR] de 4 cm, la perpendiculaire à (QR) en Q, et placer P à 4 cm de Q.

Exercice 8 :

a. Les côtés [AC] et [BC] sont perpendiculaires : l’angle en C est droit. ABC est un triangle rectangle en C.

b. MN = NP, donc le triangle est isocèle en N ; de plus (MN) \(\perp\) (NP), donc l’angle en N est droit. MNP est un triangle rectangle isocèle en N.

c. Isocèle en E : EF = EG. Isocèle en F : FE = FG. Donc EF = EG = FG : les trois côtés ont la même longueur. EFG est un triangle équilatéral.

Exercice 9 (quadrilatères 6e corrigé)

a. et b. On trace un triangle ABC puis, avec la règle et l’équerre (ou deux équerres qui glissent), les trois parallèles (d), (d’) et (d ») demandées. On obtient un grand triangle EFG.

c. On remarque que les trois droites (EC), (BF) et (AG) se coupent en un même point : on dit qu’elles sont concourantes.

Explication : AEBC a ses côtés opposés parallèles ((AE) // (BC) et (EB) // (AC)), c’est un parallélogramme ; ses diagonales [EC] et [AB] se coupent en leur milieu, donc (EC) passe par le milieu de [AB]. De même, ABCF et ABGC sont des parallélogrammes, donc (BF) passe par le milieu de [AC] et (AG) par le milieu de [BC]. On remarque aussi que A, B et C sont les milieux des côtés [EF], [EG] et [FG] du grand triangle.

Exercice 10 :

Le codage indique : AB = BC, CD = DE = CE = 6 cm et un angle droit en B entre [BC] et [BD].

1. Tracer le triangle équilatéral CDE de côté 6 cm : segment [CD] de 6 cm, puis deux arcs de rayon 6 cm de centres C et D, qui se coupent en E.
2. De l’autre côté de (CD) par rapport à E, construire au rapporteur l’angle \(\widehat{BCD}=30^{\circ}\) : on obtient une demi-droite d’origine C.
3. Avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à cette demi-droite passant par D : elle la coupe en B, et l’angle en B est droit.
4. Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 3 cm, puis un arc de centre B avec l’écartement BC : ils se coupent en A (du côté opposé à D). On a bien AB = BC et AC = 3 cm.
5. Tracer les segments [AB], [AC], [BD] et [BC].

Remarque : \(\widehat{BCE}=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}\), c’est pourquoi [CE] paraît perpendiculaire à [BC] sur le dessin. On mesure BC ≈ 5,2 cm.

Exercice 11 (quadrilatères 6e corrigé)

a. Triangle EFG (EF = 5,5 cm, EG = 3 cm, FG = 7,5 cm) :

1. Tracer le plus grand côté [FG] de 7,5 cm.
2. Tracer un arc de cercle de centre F et de rayon 5,5 cm.
3. Tracer un arc de cercle de centre G et de rayon 3 cm : il coupe le premier arc en E.
4. Tracer [EF] et [EG].

b. Triangle KLM (KM = 8 cm, KL = 10 cm, ML = 3 cm) : tracer [KL] de 10 cm, puis un arc de centre K de rayon 8 cm et un arc de centre L de rayon 3 cm ; leur point d’intersection est M. Tracer [KM] et [LM].

Les deux constructions sont possibles car, à chaque fois, la somme des deux petits côtés est plus grande que le grand côté : 5,5 + 3 = 8,5 > 7,5 et 8 + 3 = 11 > 10.

Exercice 12 :

1. Tracer le segment [RS] de 2,5 cm.
2. Avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à (RS) passant par R (l’angle en R est droit).
3. Tracer un arc de cercle de centre S et de rayon 6,5 cm : il coupe la perpendiculaire en T.
4. Tracer [ST].

On obtient le triangle RST rectangle en R ; en mesurant, on trouve RT = 6 cm.

Exercice 13 (quadrilatères 6e corrigé)

Le parallélogramme s’appelle MNOP : ses côtés sont [MN], [NO], [OP], [PM] et [PN] est une diagonale.

1. Construire d’abord le triangle MNP : [MN] de 8 cm, arc de centre M de rayon 5 cm et arc de centre N de rayon 10 cm ; ils se coupent en P.
2. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : NO = MP = 5 cm et PO = MN = 8 cm.
3. Tracer un arc de centre N de rayon 5 cm et un arc de centre P de rayon 8 cm, du côté opposé à M : ils se coupent en O.
4. Tracer [NO] et [PO].

On obtient le parallélogramme MNOP.

Exercice 14 :

a. Dans un parallélogramme, les sommets se lisent dans l’ordre où l’on en fait le tour. Sur le dessin de Sacha, on tourne dans l’ordre D, E, M, N : son quadrilatère s’appelle DEMN. Dans un parallélogramme nommé DENM, les côtés seraient [DE], [EN], [NM] et [MD], et [EM] serait une diagonale ; or sur le dessin de Sacha, [EM] est un côté.

Donc c’est Léo qui a raison : Sacha a construit le parallélogramme DEMN, pas DENM.

b. Pour que DENM soit un parallélogramme, il faut (DE) // (MN) et (EN) // (DM), avec MN = DE. Sur le quadrillage, pour aller de D à E on se déplace de 6 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le bas : on fait le même déplacement à partir de M pour placer N.

Exercice 15 (quadrilatères 6e corrigé)

ABCD est un carré de côté 4,3 cm et BEGF est un carré de côté 2,6 cm (ses quatre côtés mesurent 2,6 cm).

• Les points A, B et F sont alignés et B est entre A et F : AF = AB + BF = 4,3 + 2,6, donc AF = 6,9 cm.
• Le point E est sur le côté [BC] : CE = CB − BE = 4,3 − 2,6, donc CE = 1,7 cm.

Exercice 16 :

On considère le triangle ABC ci-dessous :

1. Quels sont ses sommets ? A,B,C et O,I,J.
2. Quels sont ses côtés? [OI],[OJ],[IJ],[BC],[BA],[AC].
3. Quel est le côté opposé au sommet B? [AC]
4. Quel est le sommet opposé au côté [AB] ?C

Exercice 17 (quadrilatères 6e corrigé)

Reproduire cette figure dans le quadrillage vierge.

A vous de la reproduire….

Exercice 18 :

Numéroter chaque image dans l’ordre de la construction du triangle puis décrire

chaque étape de cette construction.

1. On trace le segment [AB] de 6 cm.
2. On trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
3. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 3 cm : il coupe le premier arc au point C.
4. On trace les segments [AC] et [BC] : le triangle ABC est construit.

Exercice 19 (quadrilatères 6e corrigé)

Les dessins suivants sont tracés à main levée.

Construire chaque triangle en vraie grandeur.

c. Triangle ABC : tracer [AC] de 5,8 cm, puis un arc de centre A de rayon 5,3 cm et un arc de centre C de rayon 2,8 cm ; ils se coupent en B.

Exercice 20 :

Construire les triangles suivants :

1. Trace un triangle tel que AB = 7 cm; BC = 5 cm et CA = 6 cm.

2.Trace un triangle DEF tel que DE = 6,2 cm; EF = 4,8 cm et DF = 9,1 cm.

3. Triangle GHI : tracer [GH] de 7,5 cm, puis un arc de centre G de rayon 5,6 cm et un arc de centre H de rayon 5,1 cm ; ils se coupent en I.

4. Triangle JKL : tracer [JK] de 5,8 cm, puis un arc de centre J de rayon 4 cm et un arc de centre K de rayon 5 cm ; ils se coupent en L.

Exercice 21 (quadrilatères 6e corrigé)

Classer les triangles suivants dans le tableau :

quelconque	isocèle	rectangle	équilatéral
12	1 ; 3 ; 6 ; 8	2 ; 9 ; 10 ; 11	4 ; 5 ; 7

Remarques : le triangle 11 a deux côtés codés égaux et un angle droit, il est donc rectangle isocèle ; un triangle équilatéral (4, 5, 7) est aussi isocèle. Le triangle 7 est équilatéral car ses trois angles sont égaux, le triangle 8 est isocèle car deux de ses angles sont égaux.

Exercice 22 :

Reproduire chaque triangle ci-dessous en respectant les dimensions et les codages indiqués.

A vous de les reproduire…

Méthode : a. ABC est isocèle en B (BA = BC = 5,3 cm) : tracer [AC] de 2,8 cm puis deux arcs de rayon 5,3 cm de centres A et C. b. DEF est isocèle en E (ED = EF = 4,5 cm) : tracer [DF] de 7 cm puis deux arcs de rayon 4,5 cm de centres D et F. c. GHI est équilatéral de côté 5,5 cm : tracer [GH] puis deux arcs de rayon 5,5 cm.

Exercice 23 (quadrilatères 6e corrigé)

Reproduire chaque quadrilatère ci-dessous, en respectant les dimensions et codages indiqués.

A vous de les reproduire…

Méthode : a. ABCD a ses quatre côtés de même longueur : c’est un losange de côté 3,5 cm ; tracer la diagonale [BD] de 4 cm, puis A et C avec des arcs de rayon 3,5 cm de centres B et D. b. EFGH a quatre angles droits et quatre côtés égaux : c’est un carré de côté 4,4 cm. c. IJKL a quatre angles droits : c’est un rectangle de 4,8 cm sur 4,3 cm. d. MNOP est un rectangle : tracer [PO] de 6 cm, la perpendiculaire en O, puis placer N à 7 cm de P avec le compas ; M complète le rectangle.

Exercice 24 : étoile de Pompéi.

A vous de reproduire cette figure …

Tracer d’abord l’hexagone régulier du centre puis poursuivre la construction sachant

que les polygones sont des carrés, des losanges et des triangles équilatéraux.

Exercice 25 (quadrilatères 6e corrigé)

Ce sont les mêmes triangles que dans l’exercice 11.

a. Triangle EFG : tracer [FG] de 7,5 cm, puis un arc de centre F de rayon 5,5 cm et un arc de centre G de rayon 3 cm ; ils se coupent en E.

b. Triangle KLM : tracer [KL] de 10 cm, puis un arc de centre K de rayon 8 cm et un arc de centre L de rayon 3 cm ; ils se coupent en M.

On termine en traçant les deux côtés manquants de chaque triangle.

Exercice 26 :

Tracer [RS] de 2,5 cm, puis la perpendiculaire à (RS) en R à l’équerre. Un arc de centre S et de rayon 6,5 cm coupe cette perpendiculaire en T. On obtient le triangle RST rectangle en R, et on mesure RT = 6 cm.

Exercice 27 :

Le triangle ABC a pour côtés AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. En le lisant dans le sens des aiguilles d’une montre, on lit toujours les lettres dans le même ordre circulaire.

• Pour Jenny, cet ordre est B, A, C : elle peut lire BAC, ACB ou CBA.
• Si l’on construit le triangle « retourné » (symétrique du premier, A étant placé de l’autre côté de [BC]), l’ordre dans le sens des aiguilles d’une montre devient C, A, B : on lit CAB, qui est un mot anglais (« taxi »).

Donc oui, c’est possible : Jenny et Morgan ont construit deux triangles symétriques l’un de l’autre.

Construction : tracer [BC] de 10 cm, puis un arc de centre B de rayon 6 cm et un arc de centre C de rayon 8 cm. Les arcs se coupent en deux points, un de chaque côté de (BC) : l’un donne le triangle de Jenny, l’autre celui de Morgan. On constate que l’angle en A est droit.

Exercice 28 :

Dans le parallélogramme DEFG, les côtés sont [DE], [EF], [FG] et [GD], et [DF] est une diagonale.

1. Construire le triangle DEF : [DF] de 7 cm, arc de centre D de rayon 5 cm et arc de centre F de rayon 4 cm ; ils se coupent en E.
2. Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur : FG = DE = 5 cm et DG = EF = 4 cm.
3. Tracer un arc de centre F de rayon 5 cm et un arc de centre D de rayon 4 cm, de l’autre côté de (DF) : ils se coupent en G.
4. Tracer [FG] et [GD].

On obtient le parallélogramme DEFG.

Exercice 29 :

C’est le même parallélogramme que dans l’exercice 13 : MN = 8 cm, MP = 5 cm et la diagonale PN = 10 cm.

1. Construire le triangle MNP avec la règle et le compas (côtés 8 cm, 5 cm et 10 cm).
2. Placer O à 5 cm de N et à 8 cm de P (côtés opposés de même longueur), du côté opposé à M.
3. Tracer [NO] et [PO] : on obtient le parallélogramme MNOP.

Exercice 30 :

• a. AB = 2,5 cm, AC = 6 cm et BC = 4,5 cm : les trois longueurs sont différentes, donc ABC n’est ni isocèle ni équilatéral.
• b. MN = NP = 3 cm et MP = 2 cm : deux côtés seulement sont égaux, donc MNP est isocèle en N (il n’est pas équilatéral).
• c. RS = 10 cm, RT = 9,5 cm et ST = 9 cm : les trois longueurs sont différentes, donc RST n’est ni isocèle ni équilatéral.

Exercice 31 :

C’est la même figure que dans l’exercice 15 : ABCD est un carré de côté 4,3 cm et BEGF un carré de côté 2,6 cm.

• A, B et F sont alignés dans cet ordre : AF = AB + BF = 4,3 + 2,6, donc AF = 6,9 cm.
• E est sur [BC] : CE = CB − BE = 4,3 − 2,6, donc CE = 1,7 cm.

Bien travailler avec quadrilatères 6e corrigé

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur quadrilatères 6e corrigé vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Quadrilatère sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec volumes et géométrie dans l’espace : corrigé des exercices en 6ème en PDF.