Voici le corrigé du contrôle de maths de 5ème sur le thème : angles alternes-internes et parallélisme.
Cette correction rédige chaque réponse comme en classe : les données de la figure, la propriété (ou sa réciproque) écrite en entier, puis la conclusion. Tu y verras la différence entre les deux usages : calculer un angle quand on sait que les droites sont parallèles, et prouver le parallélisme à partir de deux angles égaux.
Le cas où les angles sont différents est traité avec soin : il permet d’affirmer que les droites ne sont pas parallèles. Le barème précise les points de justification, souvent aussi nombreux que ceux du résultat.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 5ème : angles alternes-internes et parallélisme.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Nommer des paires d’angles | 4 points |
| Exercice 2 : Deux droites parallèles et une sécante | 5 points |
| Exercice 3 : Parallèles ou pas ? | 4 points |
| Exercice 4 : La figure en Z | 3 points |
| Exercice 5 : Le portail du jardin | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Nommer des paires d’angles (4 points)
Les angles « internes » sont ceux situés entre \((d_1)\) et \((d_2)\) : ce sont les angles 3, 4, 5 et 6.
- Deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites et de part et d’autre de la sécante. Les paires sont : 3 et 5 ; 4 et 6.
- Deux angles correspondants sont du même côté de la sécante et occupent la même position par rapport à chacune des deux droites (tous les deux au-dessus, ou tous les deux en dessous). L’angle 6 est correspondant à l’angle 2 ; l’angle 3 est correspondant à l’angle 7.
- Les côtés de l’angle 6 prolongent ceux de l’angle 8. L’angle opposé par le sommet à l’angle 8 est l’angle 6.
- 1 et 5 : angles correspondants ; 4 et 6 : angles alternes-internes ; 2 et 4 : angles opposés par le sommet.
Erreur fréquente : croire que l’on ne peut pas parler d’angles alternes-internes si les droites ne sont pas parallèles. Les noms dépendent seulement de la position des angles ; ici, ces angles n’ont simplement pas la même mesure.
Barème : a) 0,5 point par paire ; b) 0,5 point par réponse ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point par paire.
Exercice 2 : Deux droites parallèles et une sécante (5 points)
- Les angles \(\widehat{AEF}\) et \(\widehat{GEB}\) sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure. \(\widehat{AEF} = 62^\circ\).
- Les angles \(\widehat{GEB}\) et \(\widehat{EFD}\) sont correspondants, formés par les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) et la sécante (GH).
Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants qu’elles forment ont la même mesure.
Comme \((d_1) // (d_2)\), \(\widehat{EFD} = 62^\circ\).
(On peut aussi utiliser les angles alternes-internes \(\widehat{AEF}\) et \(\widehat{EFD}\).) - Les points C, F et D sont alignés, donc \(\widehat{CFE}\) et \(\widehat{EFD}\) sont supplémentaires :
\(\widehat{CFE} = 180^\circ – 62^\circ = 118^\circ\)
\(\widehat{CFE} = 118^\circ\).
- Première façon : les points A, E et B sont alignés, donc \(\widehat{BEF} = 180^\circ – \widehat{AEF} = 180^\circ – 62^\circ = 118^\circ\).
Deuxième façon : \(\widehat{BEF}\) et \(\widehat{CFE}\) sont alternes-internes, formés par les droites parallèles \((d_1)\) et \((d_2)\) et la sécante (GH) ; ils ont donc la même mesure, \(118^\circ\).
\(\widehat{BEF} = 118^\circ\).
Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour 62° ; b) 0,5 point pour la nature des angles, 0,5 point pour la propriété avec le parallélisme, 0,5 point pour 62° ; c) 0,5 point pour l’alignement, 0,5 point pour 118° ; d) 1 point pour une première méthode justifiée, 0,5 point pour la seconde.
Exercice 3 : Parallèles ou pas ? (4 points)
- Les points x, M et y sont sur une même droite, donc \(\widehat{xMN}\) et \(\widehat{yMN}\) sont supplémentaires :
\(\widehat{xMN} = 180^\circ – 132^\circ = 48^\circ\)
Les angles \(\widehat{xMN}\) et \(\widehat{MNt}\) sont alternes-internes, formés par les droites (xy) et (zt) et la sécante (uv), et ils ont la même mesure \(48^\circ\).
Propriété : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Les droites (xy) et (zt) sont parallèles. - L’angle de \(107^\circ\) et l’angle situé en haut à droite de P sont adjacents et forment un angle plat, donc cet angle mesure \(180^\circ – 107^\circ = 73^\circ\).
Cet angle de \(73^\circ\) et l’angle de \(75^\circ\) en Q sont correspondants (même position, en haut à droite de la sécante).
Si les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) étaient parallèles, ces angles correspondants auraient la même mesure. Or \(73^\circ \neq 75^\circ\).
Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) ne sont pas parallèles, même si elles en ont l’air sur le dessin.
Erreur fréquente : conclure « parallèles » à l’œil dans la figure 2. Un écart de \(2^\circ\) ne se voit pas, mais il suffit pour que les droites se coupent.
Barème : a) 0,5 point pour 48°, 0,5 point pour la nature des angles, 0,5 point pour la propriété réciproque, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour 73°, 0,5 point pour la nature des angles, 1 point pour le raisonnement et la conclusion.
Exercice 4 : La figure en Z (3 points)
- Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{BCD}\) sont alternes-internes, formés par les droites (AB) et (CD) et la sécante (BC). Comme (AB) // (CD), ils ont la même mesure. \(\widehat{BCD} = 38^\circ\).
- Les points B, C et F sont alignés, donc \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{DCF}\) sont adjacents et supplémentaires :
\(\widehat{DCF} = 180^\circ – 38^\circ = 142^\circ\)
\(\widehat{DCF} = 142^\circ\).
Barème : a) 0,5 point pour la nature des angles, 0,5 point pour la propriété avec le parallélisme, 0,5 point pour 38° ; b) 0,5 point pour l’alignement, 1 point pour 142°.
Exercice 5 : Le portail du jardin (4 points)
- On sait que \((AB) \perp (AD)\) et \((DC) \perp (AD)\).
Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Donc (AB) // (DC). - Les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ACD}\) sont alternes-internes, formés par les droites (AB) et (DC) et la sécante (AC). Comme (AB) // (DC), ils ont la même mesure. \(\widehat{ACD} = 34^\circ\).
- L’angle \(\widehat{DAB}\) est droit et la demi-droite [AC) est à l’intérieur de cet angle :
\(\widehat{DAC} = 90^\circ – 34^\circ = 56^\circ\)
\(\widehat{DAC} = 56^\circ\).
- Les droites (AC) et (BF) sont coupées par la sécante (DF). Les angles \(\widehat{ACD}\) et \(\widehat{BFC}\) sont correspondants (au-dessus de la sécante, à gauche de chaque point d’intersection) et ils mesurent tous les deux \(34^\circ\).
Propriété : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Les renforts (AC) et (BF) sont parallèles.
Barème : a) 0,5 point pour les deux perpendicularités, 0,5 point pour la propriété ; b) 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour 34° ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour la nature des angles, 0,5 point pour la propriété réciproque, 0,5 point pour la conclusion.
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Après le corrigé du contrôle : angles alternes-internes et parallélisme
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