L’essentiel : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses côtés opposés ont la même longueur, ses angles opposés la même mesure, et ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est son centre de symétrie. Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.
I. Définition et vocabulaire :
1. Rappels :
Un quadrilatère est une figure géométrique à 4 côtés.
Remarque :
Attention à l’ordre des lettres. Les quadrilatères ABCD et ABDC sont différents.
2. Le parallélogramme :
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés deux à deux parallèles.
ABCD est un parallélogramme : (AB)//(DC) et (AD)//(BC)
II. Propriétés : lien avec la symétrie centrale .
Dans un parallélogramme, le point d’intersection O des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
Remarque :
On dit alors que ABCD est un parallélogramme de centre O.
III. Conséquences
1. Les diagonales :
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Démonstration :
O est le centre de symétrie donc par définition 0 est le milieu de [AC] et de [BD].
2. Les côtés :
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur.
Démonstration :
Par symétrie par rapport à O, [AB] est l’image de [CD] et [AD] est l’image de [BC].
La symétrie centrale conserve les longueurs donc AB = CD et BC = AD.
3. Les angles :
Les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux deux à deux.
Démonstration :
La symétrie centrale conserve les angles et comme un parallélogramme a pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales alors les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure.
IV. Les parallélogrammes particuliers :
1.Le rectangle
- Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un rectangle.
2.Le losange
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange.
- Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs égaux alors c’est un losange.
Remarque :
Le losange possède deux axes de symétrie : ses diagonales.
3.Le carré
Si un parallélogramme est à la fois un rectangle et un losange alors c’est un carré.
V.Bilan sur le parallélogramme :
