Les triangles et son cercle circonscrit et l’inégalité triangulaire : cours de maths en 5ème

cours maths 5eme 1
Les triangles avec son cercle circonscrit et l’inégalité triangulaire dans un cours de 5ème où nous verrons comment vérifier si un triangle est construction puis, nous aborderons la notion de cercle circonscrit dont le centre est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle en cinquième.

I. Inégalité triangulaire.

1. Distance entre trois points.

Propriété :

On considère trois points A,B et C. Si le point B n’appartient pas au segment [AC], alors on l’inégalité AC<AB+BC.

Exemple :

Dans la figure ci-dessous, le point B n’appartient pas au segment [AC].

On a l’égalité AC<AB+BC.

AB+BC=2,44+4,12=6,56\,cm et AC=5,27\,cm

on a bien 5,27<6,56.

Triangle

Propriété :

On considère trois points A, B et C.

Si le point B appartient au segment [AC] alors on a l’égalité AC=AB+BC.

Exemple :

Dans la figure ci-dessous, le point B appartient au segment [AC].

Nous avons l’égalité AC=AB+BC.

AB+BC=3,39+1,89=5,27=AC

segment

2. Inégalité triangulaire.

Propriété :

Si A,B et C désignent trois points quelconques alors on a l’inégalité AB \leq\, AC + CB.

Pour les triangles, on a alors la conséquence suivante :

Propriété :

Dans un triangle (non aplati), la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Remarque :

La distance la plus courte est toujours la ligne droite.

Exemple :

Dans le triangle PSG ci-dessous, on a les trois inégalités :

PS<PG+SG

PG<GS+GP

SG<SP+GP

Triangle

II. Construire un triangle.

1. Construire un triangle avec une règle et un compas.

Propriété :

Trois longueurs étant données, si la plus grande longueur est inférieure ou égale à la somme des deux autres, alors on peut construire un triangle dont les côtés mesurent ces trois longueurs.

Dans le cas contraire, le triangle n’est pas constructible.

Méthode :

  1. On compare la plus grande longueur et la somme des deux autres longueurs (application de l’inégalité triangulaire);
  2. On interprète la comparaison;
  3. On conclut;
  4. On construit le triangle.

Construire un triangle

2.Construire un triangle avec une règle et un rapporteur.

Méthode :

Pour construire un triangle connaissant deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés.

Construire un triangle.

Méthode :

Pour construire un triangle connaissant un côté et les deux angles adjacents à ce côté.

Construire un triangle au rapporteur

III. Cercle circonscrit à un triangle.

1. Médiatrices d’un triangle.

Propriété :

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle (non aplati) sont concourantes.

Médiatrices d'un triangle.

2. Cercle circonscrit à un triangle.

Définition et propriété :

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des médiatrices des côtés de ce triangle.

Cercle circonscrit à un triangle.

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