Contrôle de maths 5ème : propriétés de la symétrie centrale

Exercice 1 : Vrai ou faux (3 points)

Calculatrice interdite.

Pour chaque affirmation, réponds par « vrai » ou « faux ». Corrige chaque affirmation fausse.

1. Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. (0,5 point)
2. Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite perpendiculaire à la première. (0,5 point)
3. Si A′ est le symétrique de A par rapport à O, alors O est le milieu du segment [AA′]. (0,5 point)
4. Le symétrique d’un angle de \(40^\circ\) par rapport à un point est un angle de \(140^\circ\). (0,5 point)
5. Le symétrique d’un cercle de rayon 3 cm par rapport à un point est un cercle de rayon 6 cm. (0,5 point)
6. Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à un point sont aussi alignés. (0,5 point)

Exercice 2 : Deux triangles symétriques (4,5 points)

Le triangle A′B′C′ est le symétrique du triangle ABC par rapport au point O. On sait que AB = 4,2 cm, BC = 3,5 cm, OA = 2,6 cm, \(\widehat{ABC} = 62^\circ\) et que l’aire du triangle ABC est \(6{,}5\text{ cm}^2\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

Pour chaque question, justifie ta réponse en citant une propriété.

1. Quelle est la longueur A′B′ ? (1 point)
2. Quelle est la longueur B′C′ ? (0,5 point)
3. Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) ? (1 point)
4. Calcule la longueur AA′. (1 point)
5. Quelle est l’aire du triangle A′B′C′ ? (1 point)

Exercice 3 : Le symétrique d’une droite (3,5 points)

La droite (d) passe par les points A et B. Le point O n’est pas sur la droite (d).

1. Reproduis la figure, puis construis la droite (d′), symétrique de la droite (d) par rapport à O. Explique ta méthode. (1 point)
2. Que peut-on dire des droites (d) et (d′) ? Cite la propriété. (1 point)
3. Quel serait le symétrique de la droite (d) par rapport à O si le point O était sur la droite (d) ? Explique. (1 point)
4. Deux droites (d) et (Δ) sont perpendiculaires. Leurs symétriques par rapport à un point O sont (d′) et (Δ′). Les droites (d′) et (Δ′) sont-elles perpendiculaires ? Justifie. (0,5 point)

Exercice 4 : Une figure codée (4 points)

Sur la figure codée ci-dessous, les segments [AC] et [BD] se coupent en O. On sait que AB = 5 cm, AD = 3 cm et \(\widehat{DAB} = 110^\circ\).

1. À l’aide du codage, donne le symétrique du point A et celui du point B par rapport à O. Justifie. (1 point)
2. Déduis-en le symétrique du segment [AB] par rapport à O, puis la longueur CD. (1,5 point)
3. Donne la longueur BC et la mesure de l’angle \(\widehat{BCD}\), en justifiant. (1,5 point)

Exercice 5 : Le logo de Théo (5 points)

Pour dessiner son logo, Théo trace un triangle OAB rectangle en A tel que OA = 4 cm, AB = 3 cm et OB = 5 cm. Il construit ensuite les points A′ et B′, symétriques respectifs des points A et B par rapport au point O, et colorie les triangles OAB et OA′B′.

1. Explique pourquoi les points A, O et A′ sont alignés, puis calcule la longueur AA′. (1 point)
2. Démontre que le triangle OA′B′ est rectangle en A′ et donne les longueurs de ses trois côtés. (1,5 point)
3. Démontre que les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles. (1 point)
4. Calcule l’aire totale du logo, formé des deux triangles coloriés. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : propriétés de la symétrie centrale

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Symétrie centrale et centre de symétrie » en 5ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés symétrie centrale.

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