Calcul littéral et simple distributivité : cours de maths en 5ème

Le calcul littéral et la simple distributivité dans un cours de maths en 5ème où nous verrons la définition d’une expression littérale ou algébrique ainsi que la définition de factoriser et développer. Nous effectuerons des test d’égalités et nous verrons les règles de simplification des expressions ainsi que les substitutions dans cette leçon en cinquième.

Un peu d’histoire :

Le calcul littéral (calcul avec des lettres) appelé aussi calcul algébrique, est un puissant outil développé par le mathématicien français François Viète (1540 – 1603) .

Exemples :

formule générale :

  • aire d’un carré de côté c : A=c^2
  • périmètre d’un cercle de rayon R : P=2\times   \pi\times   R

I. Le calcul littéral : vocabulaire et définition.

1. Conventions d’écriture :

Définition :

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par  des lettres. Une même lettre désigne toujours un même nombre dans une expression littérale donnée.

Règle:

Afin d’alléger l’écriture d’une expression littérale, on n’écrit pas le signe x :

  • entre un nombre et une lettre
  • entre deux lettres
  • entre un nombre (ou une lettre) et une parenthèse.
  • entre la fermeture et l’ouverture d’une parenthèse.

Exemples :
Simplifier les écritures suivantes

3\times   a s’écrit 3a

2\times   (5+x)s’écrit 2 (5+x)

(x-3) \times   (7 \times   x+2) s’écrit (x-3) (7x+2)

4\times   x\times   y s’écrit 4 x y

Définition :

Réduire une expression littérale, cela consiste à regrouper les termes « de même nature », afin d’écrire cette expression avec le moins de termes possibles.

Exemple :

Réduire l’expression littérale suivante A=5x+7-2x-4=5x-2x+7-4=3x+3

2. Substitution :

Définition :

Effectuer une substitution dans une expression littérale, c’est remplacer « la lettre » par la valeur numérique fixée.

Exemple :

E=2x-7est une expression littérale dans laquelle un nombre est représenté par la lettre x.

On peut calculer la valeur de cette expression lorsque la lettre prend une valeur donnée.

Par exemple, pour x=5, on a E=2\times   5-7=10-7=3

3. Test d’égalité :

  • Tester >si l’égalité 2 x +4= 13− x est vraie pour x = 3 .

    d’une part, le premier membre vaut 2×3+4 = 6+4=10,

  • d’autre part le second membre vaut 13−3 =10.

Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.

II. Simple distributivité :

1.Développer une expression :

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme une somme de termes

2.Factoriser une expression :

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme un produit de facteurs

Remarque :
La factorisation est donc l’action « inverse » du développement .

3.Propriété de la simple distributivité.

Propriété :

 On considère trois nombres relatifs k,a et b.

Nous avons : k(a+b)=ka+kb

ON FACTORISE

ON DISTRIBUE

Exemples :

Développer ces expressions littérales en utilisant la simple distributivité.

2(3+5x)=2\times  \,3+2\times  \,5x=6+10x

5(3-y)=5\times   3-5\times   y=15-5y

Calculer, en utilisant la simple distributivité, le produit suivant :

A=7\times   98=7(100-2)=7\times   100-7\times   2=700-14=686


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