Corrigé du contrôle de maths 4ème : volumes des pyramides et des cônes

Exercice 1 : Reconnaître les solides (3 points)

1. • Solide 1 : pyramide à base carrée. En effet, sa base est un carré et ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent au sommet.
   • Solide 2 : cône de révolution, car sa base est un disque.
   • Solide 3 : prisme droit à base triangulaire (deux bases triangulaires identiques et parallèles, faces latérales rectangulaires).
   • Solide 4 : pyramide à base triangulaire (quatre faces triangulaires).
2. Pour la pyramide \(SABCD\), le sommet est \(S\) et la base est le carré \(ABCD\). Ensuite, les arêtes latérales sont \([SA]\), \([SB]\), \([SC]\) et \([SD]\). Enfin, la hauteur est le segment \([SH]\), perpendiculaire à la base, qui joint le sommet au centre \(H\) du carré.

Erreur fréquente : confondre le solide 3 avec une pyramide. En effet, un prisme a deux bases, alors qu’une pyramide n’en a qu’une et un sommet.

Barème : a) 0,5 point par solide correctement nommé (la forme de la base est exigée pour les solides 1, 3 et 4) ; b) 0,25 point pour chacun des quatre éléments.

Exercice 2 : Volume de deux pyramides (4 points)

1. D’abord, la base est un rectangle : \(\text{Aire} = 6 \times 5 = 30\text{ cm}^2\).
   Ensuite, on applique la formule du volume d’une pyramide.
   \(V_1 = \dfrac{30 \times 8}{3} = \dfrac{240}{3} = 80\).
   Le volume de la pyramide 1 est \(80\text{ cm}^3\).
2. Ici, la base est un triangle rectangle en \(F\) : \(\text{Aire} = \dfrac{EF \times FG}{2} = \dfrac{9 \times 4}{2} = 18\text{ cm}^2\).
   De plus, la hauteur est \(TF = 10\text{ cm}\), donc \(V_2 = \dfrac{18 \times 10}{3} = \dfrac{180}{3} = 60\).
   Le volume de la pyramide 2 est \(60\text{ cm}^3\).
3. L’aire de la base est \(3 \times 3 = 9\text{ cm}^2\). Alors on cherche \(h\) tel que \(\dfrac{9 \times h}{3} = 36\). Cela revient à \(3 \times h = 36\), donc \(h = 36 : 3 = 12\).
   Enfin, vérification : \(\dfrac{9 \times 12}{3} = \dfrac{108}{3} = 36\).
   La hauteur de cette pyramide est \(12\text{ cm}\).

Erreur fréquente : oublier de diviser l’aire du triangle de base par 2, puis le produit par 3. En effet, il y a bien deux divisions dans la question b).

Barème : a) 0,5 point pour l’aire de la base, 0,5 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; b) 0,5 point pour l’aire du triangle, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; c) 0,5 point pour l’équation ou le raisonnement, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : Volume de deux cônes (4 points)

1. On garde d’abord la valeur exacte avec \(\pi\).
   \(V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 7}{3} = \dfrac{\pi \times 9 \times 7}{3} = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi\).
   Puis on arrondit : \(21\pi \approx 65{,}97\).
   Le volume exact est \(21\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(66\text{ cm}^3\).
2. Le diamètre mesure \(10\text{ cm}\), donc le rayon mesure \(10 : 2 = 5\text{ cm}\).
   Ensuite, on applique la formule du volume d’un cône.
   \(V = \dfrac{\pi \times 5^2 \times 12}{3} = \dfrac{\pi \times 25 \times 12}{3} = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi \approx 314{,}16\).
   Le volume de ce cône est environ \(314{,}2\text{ cm}^3\).
3. D’abord, volume du cylindre : \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 3^2 \times 7 = 63\pi\text{ cm}^3\).
   Ensuite, trois cônes : \(3 \times 21\pi = 63\pi\text{ cm}^3\).
   Les deux volumes sont donc égaux. En effet, le cône a le même rayon et la même hauteur que le cylindre. Ainsi, son volume est le tiers de celui du cylindre. Mathis a raison.

Erreur fréquente : utiliser le diamètre à la place du rayon dans la question b). Cela donne alors un volume quatre fois trop grand.

Barème : a) 0,5 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; b) 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’arrondi au dixième ; c) 0,5 point pour le volume du cylindre, 0,5 point pour la comparaison et la conclusion.

Exercice 4 : Conversions et tente pyramidale (3 points)

1. On utilise \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\) et \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L}\).
   \(2\,500\text{ cm}^3 = 2{,}5\text{ L}\) ; \(0{,}75\text{ L} = 750\text{ cm}^3\) ; \(3\text{ m}^3 = 3\,000\text{ L}\).
2. D’abord, aire de la base : \(2 \times 2 = 4\text{ m}^2\).
   Puis, volume de la tente : \(V = \dfrac{4 \times 1{,}5}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\text{ m}^3\).
   Enfin, \(2\text{ m}^3 = 2\,000\text{ L}\) et \(2\,000 < 2\,500\).
   Le chauffage convient pour cette tente, dont le volume est de \(2\,000\) litres.

Barème : a) 0,5 point par conversion ; b) 0,5 point pour le volume en \(\text{m}^3\), 0,5 point pour la conversion en litres, 0,5 point pour la comparaison et la conclusion.

Exercice 5 : Problème : le glacier et ses cornets (6 points)

1. \(V_{\text{cornet}} = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 10}{3} = \dfrac{90\pi}{3} = 30\pi \approx 94{,}25\).
   Un cornet contient \(30\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(94{,}2\text{ cm}^3\) de glace.
2. \(V_{\text{bac}} = 30 \times 20 \times 10 = 6\,000\text{ cm}^3\).
   Or \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\), donc \(6\,000\text{ cm}^3 = 6\text{ L}\).
   Le bac contient \(6\,000\text{ cm}^3\), soit \(6\) litres de glace.
3. On divise le volume du bac par celui d’un cornet : \(6\,000 : (30\pi) \approx 63{,}66\).
   Cependant, le glacier ne peut remplir que des cornets entiers. Il en remplit donc 63 et il reste un peu de glace. Ce reste ne suffit pas pour un 64e cornet (\(64 \times 30\pi \approx 6\,032\text{ cm}^3\), plus que \(6\,000\text{ cm}^3\)).
   Le glacier peut remplir 63 cornets pleins.
4. Chaque cornet rapporte 2,50 €, donc on calcule \(63 \times 2{,}50 = 157{,}50\).
   S’il vend les 63 cornets, sa recette est de \(157{,}50\) €.

Erreur fréquente : arrondir 63,66 à 64. En effet, on ne peut pas remplir un cornet de plus avec la glace restante. Il faut donc arrondir à l’unité inférieure.

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; b) 1 point pour le volume en \(\text{cm}^3\), 0,5 point pour la conversion ; c) 0,5 point pour la division, 0,5 point pour l’arrondi par défaut justifié, 0,5 point pour la phrase-réponse ; d) 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la phrase-réponse avec l’unité.

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Après le corrigé du contrôle : volumes des pyramides et des cônes

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