Corrigé du contrôle de maths 3ème : problèmes d’arithmétique et puissances de 10

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(10^3 \times 10^{-5} = 10^{3 + (-5)}\), donc \(10^3 \times 10^{-5} = 10^{-2}\).
2. On place la virgule après le premier chiffre non nul : \(0{,}000\,72 = 7{,}2 \times 0{,}000\,1\). \(0{,}000\,72 = 7{,}2 \times 10^{-4}\).
3. \(3 \times 10^4 + 2 \times 10^2 = 30\,000 + 200\). Le résultat est \(30\,200\).
4. On cherche les produits égaux à 36 : \(1 \times 36\) ; \(2 \times 18\) ; \(3 \times 12\) ; \(4 \times 9\) ; \(6 \times 6\). Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

Barème : 1 point par réponse exacte. En d, 0,5 point s’il manque un seul diviseur.

Exercice 2 : Les bouquets du fleuriste (5 points)

1. \(84 : 6 = 14\) et \(60 : 6 = 10\) : les deux divisions tombent juste. Oui, il peut composer 6 bouquets, de 14 roses et 10 tulipes chacun.
2. \(84 : 8 = 10{,}5\) : 84 n’est pas divisible par 8, on ne peut pas partager les roses équitablement. Non, il ne peut pas composer 8 bouquets.
3. Le nombre de bouquets doit diviser à la fois 84 et 60.
   
   Diviseurs de 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
   
   Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
   
   Les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Il peut composer au maximum 12 bouquets.
4. \(84 : 12 = 7\) et \(60 : 12 = 5\). Chaque bouquet contient 7 roses et 5 tulipes.

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour les deux divisions, 0,5 point pour la conclusion ; b) 1 point : 0,5 point pour \(84 : 8 = 10{,}5\), 0,5 point pour la conclusion ; c) 2 points : 0,5 point par liste, 0,5 point pour les diviseurs communs, 0,5 point pour 12 ; d) 1 point.

Exercice 3 : Le carrelage de la terrasse (4 points)

1. \(4{,}2\) m = 420 cm et 3 m = 300 cm. Les dalles sont posées sans découpe : sur la longueur, un nombre entier de dalles doit faire exactement 420 cm, donc le côté divise 420 ; de même, sur la largeur, le côté divise 300. Le côté d’une dalle est donc un diviseur commun de 420 et de 300.
2. \(420 : 30 = 14\) et \(300 : 30 = 10\) : 30 divise 420 et 300. Oui, elles conviennent, et il en faudrait \(14 \times 10 = 140\).
3. \(420 = 2 \times 210 = 2 \times 2 \times 105 = 2 \times 2 \times 3 \times 35\), donc \(420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7\).
   
   \(300 = 3 \times 100\), donc \(300 = 2^2 \times 3 \times 5^2\).
   
   Le plus grand diviseur commun est le produit des facteurs premiers communs, chacun pris avec son plus petit exposant : \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).
   
   \(420 : 60 = 7\) et \(300 : 60 = 5\), donc il faut \(7 \times 5 = 35\) dalles.

   

   Les plus grandes dalles possibles ont 60 cm de côté, et il en faut 35.

Barème : a) 1 point pour l’explication (conversion et absence de découpe sur les deux côtés) ; b) 1 point : 0,5 point pour la vérification, 0,5 point pour 140 ; c) 2 points : 1 point pour les deux décompositions, 0,5 point pour 60 cm, 0,5 point pour 35 dalles.

Erreur fréquente : oublier de convertir 4,2 m en 420 cm, ou calculer le nombre de dalles en divisant les aires sans vérifier qu’elles tombent juste sur chaque côté.

Exercice 4 : Deux phares dans la nuit (3 points)

1. Les éclairs du phare A ont lieu aux multiples de 12 secondes : 12, 24, 36, 48, etc. Ceux du phare B aux multiples de 18 secondes : 18, 36, 54, etc. Le plus petit multiple commun non nul de 12 et 18 est 36.

   

   Les deux phares émettront de nouveau un éclair ensemble à 21 h 00 min 36 s.

2. Les éclairs simultanés ont lieu toutes les 36 secondes. 10 minutes = 600 s, et \(600 = 36 \times 16 + 24\). Les éclairs simultanés ont donc lieu à 0 s, \(36 \times 1\) s, \(36 \times 2\) s, et ainsi de suite jusqu’à \(36 \times 16 = 576\) s, car \(36 \times 17 = 612\) s dépasse 600 s. Cela fait 16 éclairs communs plus celui de 21 h.
   Les éclairs sont simultanés 17 fois.

Barème : a) 1,5 point : 1 point pour la recherche des multiples, 0,5 point pour l’heure ; b) 1,5 point : 0,5 point pour la conversion en secondes, 0,5 point pour la division par 36, 0,5 point pour 17.

Erreur fréquente : répondre 16 en oubliant l’éclair commun de 21 h 00 min 00 s, que l’énoncé demande de compter.

Exercice 5 : Distances dans l’Univers (4 points)

1. Durée = distance ÷ vitesse :
   \[\frac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500 \text{ s}.\]
   Et \(500 = 8 \times 60 + 20\). La lumière du Soleil met 500 s, soit 8 min 20 s, pour arriver sur Terre.
2. Une année de 365 jours dure \(365 \times 24 \times 3\,600 = 31\,536\,000\) s.
   \[3 \times 10^5 \times 31\,536\,000 = 9\,460\,800\,000\,000 \text{ km} = 9{,}460\,8 \times 10^{12} \text{ km}.\]
   Une année-lumière vaut bien environ \(9{,}46 \times 10^{12}\) km.
3. \(4{,}2 \times 9{,}46 \times 10^{12} = 39{,}732 \times 10^{12} = 3{,}973\,2 \times 10^{13}\).
   Proxima du Centaure est à environ \(3{,}97 \times 10^{13}\) km du Soleil.
4. \(0{,}000\,002 \text{ m} = 2 \times 10^{-6} \text{ m}\). Et 1 cm = \(10^{-2}\) m.
   \[\frac{10^{-2}}{2 \times 10^{-6}} = 0{,}5 \times 10^{4} = 5\,000.\]
   La bactérie mesure \(2 \times 10^{-6}\) m et il en faut \(5\,000\) bout à bout pour former une file de 1 cm.

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour le calcul posé, 0,5 point pour le résultat avec l’unité (en d, 0,5 point pour la notation scientifique, 0,5 point pour 5 000).

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : problèmes d’arithmétique et puissances de 10

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Arithmétique et nombres premiers » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés arithmétique et décomposition en facteurs premiers.

Retrouve tous les contrôles de maths en 3ème classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 3ème sur ce thème

• Contrôle de maths 3ème : nombres premiers et décomposition en facteurs

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 3ePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 3e à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗