Corrigé du contrôle de maths 2de : modéliser une situation par une fonction

Exercice 1 : Un carré inscrit dans un carré (5 points)

1. Le point \(M\) est sur le segment \([AB]\), qui mesure \(10\text{ cm}\), donc \(0 \leq\, x \leq\, 10\).
   L’ensemble de définition de \(f\) est \([0 \,;\, 10]\).
2. Le point \(Q\) est sur \([DA]\) avec \(DQ = x\), donc \(AQ = AD – DQ = 10 – x\).
   Le triangle \(AMQ\) est rectangle en \(A\), car \(\widehat{DAB}\) est un angle droit du carré. Son aire est donc :
   \(\dfrac{AM \times AQ}{2} = \dfrac{x(10 – x)}{2}\).
   L’aire du triangle \(AMQ\) est \(\dfrac{x(10 – x)}{2}\text{ cm}^2\).
3. De la même façon, les triangles \(BNM\), \(CPN\) et \(DQP\) sont rectangles. Leurs côtés de l’angle droit mesurent \(x\) et \(10 – x\) : ils ont donc la même aire que \(AMQ\). Ainsi, l’aire de \(MNPQ\) est celle du grand carré moins celle des quatre triangles :
   \(f(x) = 100 – 4 \times \dfrac{x(10 – x)}{2}\)
   \(f(x) = 100 – 2x(10 – x)\)
   \(f(x) = 100 – 20x + 2x^2\)
   Donc \(f(x) = 2x^2 – 20x + 100\).
4. \(f(3) = 2 \times 3^2 – 20 \times 3 + 100 = 18 – 60 + 100 = 58\).
   Lorsque \(AM = 3\text{ cm}\), l’aire du carré \(MNPQ\) est de \(58\text{ cm}^2\).

Questions e et f : lectures graphiques

5. On trace d’abord la droite horizontale d’ordonnée 68 : elle coupe \(\mathcal{C}_f\) aux points d’abscisses 2 et 8. De plus, la courbe est en dessous de cette droite entre ces deux abscisses. Vérification : \(f(2) = 8 – 40 + 100 = 68\) et \(f(8) = 128 – 160 + 100 = 68\).
   \(S = [2 \,;\, 8]\) : l’aire de \(MNPQ\) est inférieure ou égale à \(68\text{ cm}^2\) lorsque \(x\) est compris entre \(2\text{ cm}\) et \(8\text{ cm}\).
6. Le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées \((5 \,;\, 50)\).
   L’aire minimale de \(MNPQ\) est \(50\text{ cm}^2\), obtenue pour \(x = 5\) (milieux des côtés). Comme \(40 < 50\), l’aire ne peut donc pas être égale à \(40\text{ cm}^2\).

Erreur fréquente : écrire \(AQ = x\). En effet, c’est \(DQ\) qui vaut \(x\) ; il faut donc soustraire pour obtenir \(AQ = 10 – x\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,5 pour \(AQ = 10 – x\), 0,5 pour l’aire ; c) 1 point : 0,5 pour les quatre triangles de même aire, 0,5 pour le développement ; d) 0,5 point (calcul et phrase) ; e) 1 point : 0,5 pour l’intervalle, 0,5 pour la phrase ; f) 1 point : 0,5 pour le minimum et \(x = 5\), 0,5 pour la réponse justifiée sur \(40\text{ cm}^2\).

Exercice 2 : Le bénéfice d’un atelier de lampes (5 points)

1. \(C(20) = 20^2 + 10 \times 20 + 400 = 400 + 200 + 400 = 1\,000\).
   Recette : \(20 \times 60 = 1\,200\).
   Bénéfice : \(1\,200 – 1\,000 = 200\).
   Pour 20 lampes, le coût est de \(1\,000\) €, la recette de \(1\,200\) € et le bénéfice de \(200\) €.
2. Chaque lampe rapporte \(60\) €, donc \(R(x) = 60x\).
   \(B(x) = R(x) – C(x) = 60x – (x^2 + 10x + 400) = 60x – x^2 – 10x – 400\).
   \(B(x) = -x^2 + 50x – 400\).
3. La courbe coupe l’axe des abscisses en 10 et en 40. De plus, elle est au-dessus de cet axe entre ces deux valeurs. Vérification : \(B(10) = -100 + 500 – 400 = 0\) et \(B(40) = -1\,600 + 2\,000 – 400 = 0\).
   \(S = [10 \,;\, 40]\) : l’atelier ne perd pas d’argent s’il fabrique entre 10 et 40 lampes.
4. La droite d’ordonnée 200 coupe la courbe aux points d’abscisses 20 et 30 ; la courbe est donc au-dessus entre les deux. Vérification : \(B(20) = 200\) (question a) et \(B(30) = -900 + 1\,500 – 400 = 200\).
   \(S = [20 \,;\, 30]\) : le bénéfice est d’au moins \(200\) € lorsque l’atelier fabrique entre 20 et 30 lampes.
5. Le sommet de la courbe a pour coordonnées \((25 \,;\, 225)\).
   Vérification : \(B(25) = -25^2 + 50 \times 25 – 400 = -625 + 1\,250 – 400 = 225\).
   Le bénéfice maximal est de \(225\) €, obtenu pour 25 lampes.

Erreur fréquente : oublier les parenthèses autour de \(C(x)\) dans \(R(x) – C(x)\). On obtient alors \(+10x + 400\) au lieu de \(-10x – 400\).

Barème : a) 1 point : 0,5 pour le coût, 0,5 pour la recette et le bénéfice ; b) 1 point : 0,25 pour \(R(x)\), 0,75 pour le calcul de \(B(x)\) avec les parenthèses ; c) 1 point : 0,5 pour l’intervalle, 0,5 pour la phrase ; d) 1 point, même répartition ; e) 1 point : 0,5 pour la lecture, 0,5 pour la vérification.

Exercice 3 : La boîte sans couvercle (5 points)

1. Il faut d’abord \(x > 0\) pour découper un carré. Ensuite, sur un côté de \(30\text{ cm}\), on enlève deux fois \(x\). Or le fond doit garder une longueur strictement positive, donc \(30 – 2x > 0\), soit \(x < 15\).
   Donc \(x \in \,]0 \,;\, 15[\).
2. Après pliage, le fond de la boîte est un carré de côté \(30 – 2x\). De plus, la hauteur de la boîte est \(x\).
   Volume d’un pavé droit : aire de la base \(\times \) hauteur.
   \(V(x) = (30 – 2x)^2 \times x = x(30 – 2x)^2\).
3. Par exemple, \(V(1) = 1 \times 28^2 = 784\) et \(V(8) = 8 \times 14^2 = 8 \times 196 = 1\,568\).
   

   \(x\)	1	2	3	4	5	6	8	10	12	14
   \(V(x)\)	784	1 352	1 728	1 936	2 000	1 944	1 568	1 000	432	56

Questions d et e : volume maximal et volume d’un litre

4. Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées \((5 \,;\, 2\,000)\), ce que confirme le tableau.
   Le volume maximal est de \(2\,000\text{ cm}^3\), soit 2 litres, obtenu en découpant des carrés de \(5\text{ cm}\) de côté.
5. La droite d’ordonnée \(1\,000\) coupe la courbe en deux points. L’un a pour abscisse 10 (en effet \(V(10) = 1\,000\)), l’autre a une abscisse comprise entre 1 et 2. À la calculatrice :
   \(V(1{,}3) = 1{,}3 \times 27{,}4^2 \approx 976\), inférieur à \(1\,000\) ;
   \(V(1{,}35) = 1{,}35 \times 27{,}3^2 \approx 1\,006\), supérieur à \(1\,000\).
   La borne cherchée est donc entre \(1{,}3\) et \(1{,}35\) : arrondie au dixième, elle vaut \(1{,}3\). Enfin, la courbe est au-dessus de la droite entre ces deux abscisses.
   \(S \approx [1{,}3 \,;\, 10]\) : la boîte contient au moins un litre lorsque le côté des carrés découpés est compris entre environ \(1{,}3\text{ cm}\) et \(10\text{ cm}\).

Barème : a) 0,5 point (les deux conditions) ; b) 1 point : 0,5 pour le côté du fond \(30 – 2x\), 0,5 pour la formule ; c) 1 point (0,25 retiré par erreur, jusqu’à 0) ; d) 1 point : 0,5 pour le volume, 0,5 pour \(x = 5\) ; e) 1,5 point : 0,5 pour la borne 10, 0,5 pour la borne \(1{,}3\) justifiée à la calculatrice, 0,5 pour l’intervalle et la phrase.

Exercice 4 : Le potager contre le mur (5 points)

1. Les deux côtés perpendiculaires au mur utilisent \(2 \times 8 = 16\text{ m}\) de grillage. Il reste donc \(40 – 16 = 24\text{ m}\).
   Aire : \(8 \times 24 = 192\).
   Le côté parallèle au mur mesure \(24\text{ m}\) et l’aire du potager est \(192\text{ m}^2\).
2. Le côté parallèle au mur mesure \(40 – 2x\), donc \(A(x) = x(40 – 2x) = 40x – 2x^2\).
   Il faut ensuite \(x > 0\) et \(40 – 2x > 0\), soit \(x < 20\).
   \(A(x) = 40x – 2x^2\) avec \(x \in \,]0 \,;\, 20[\).
3. On développe d’abord le membre de droite :
   \(-2(x – 5)(x – 15) = -2(x^2 – 15x – 5x + 75) = -2(x^2 – 20x + 75) = -2x^2 + 40x – 150\).
   Et \(A(x) – 150 = 40x – 2x^2 – 150 = -2x^2 + 40x – 150\).
   Les deux expressions sont égales : \(A(x) – 150 = -2(x – 5)(x – 15)\).

Questions d et e : dimensions du potager et aire maximale

4. \(A(x) = 150\) équivaut à \(-2(x – 5)(x – 15) = 0\). Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Ainsi, \(x – 5 = 0\) ou \(x – 15 = 0\), soit \(x = 5\) ou \(x = 15\). Les deux valeurs sont dans \(]0 \,;\, 20[\).
   Si \(x = 5\) : longueur \(40 – 10 = 30\), et \(5 \times 30 = 150\). Si \(x = 15\) : longueur \(40 – 30 = 10\), et \(15 \times 10 = 150\).
   Le potager peut mesurer \(5\text{ m}\) sur \(30\text{ m}\), ou \(15\text{ m}\) sur \(10\text{ m}\).
5. \(2(x – 10)^2 = 2(x^2 – 20x + 100) = 2x^2 – 40x + 200\) et \(200 – A(x) = 200 – 40x + 2x^2\) : les deux expressions sont donc égales.
   Or un carré est positif ou nul, donc \(200 – A(x) \geq\, 0\), c’est-à-dire \(A(x) \leq\, 200\) pour tout \(x\). L’égalité a lieu seulement si \(x – 10 = 0\), soit \(x = 10\). La longueur vaut alors \(40 – 20 = 20\text{ m}\).
   L’aire maximale du potager est \(200\text{ m}^2\), pour un potager de \(10\text{ m}\) de large et \(20\text{ m}\) de long.

Erreur fréquente : à la question d), donner seulement \(x = 5\) et \(x = 15\). Il faut en effet revenir aux dimensions du potager, qui sont la vraie réponse au problème.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la longueur, 0,5 pour l’aire ; b) 1 point : 0,5 pour l’expression, 0,5 pour l’intervalle ; c) 1 point pour le développement complet ; d) 1 point : 0,5 pour les solutions par le produit nul, 0,5 pour les dimensions ; e) 1 point : 0,5 pour l’égalité, 0,5 pour le maximum et les dimensions.

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