Corrigé du contrôle de maths 1ère : automatismes de calcul sans calculatrice

Exercice 1 : Questions flash (5 points)

1. \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Donc le résultat est \(\frac{3}{2}\).
2. \(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). Ainsi, le résultat est \(\frac{2}{3}\).
3. \(10^{-2} \times 10^{5} = 10^{-2+5} = 10^{3}\). Le résultat vaut donc \(10^3 = 1\,000\).
4. \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}\). Finalement, \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).
5. \(0{,}2 \times 45 = 9\). \(20\,\%\) de 45 valent donc 9.
6. \(1 – \frac{15}{100} = 0{,}85\). Le coefficient multiplicateur est donc \(0{,}85\).
7. \(3x = 15\), donc \(x = 5\). La solution est 5.
8. \((x + 4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2\). Ainsi, \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\).
9. \(0{,}000\,32 = 3{,}2 \times 10^{-4}\).
10. \(m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \dfrac{11 – 3}{3 – 1} = \dfrac{8}{2} = 4\). Le coefficient directeur est donc 4.

Barème : 0,5 point par réponse exacte, aucune justification exigée. En c, 0,25 point si une seule des deux écritures est donnée. En d, aucun point pour une valeur approchée.

Erreur fréquente : écrire \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{7}{9}\) en ajoutant numérateurs et dénominateurs ; on doit d’abord réduire au même dénominateur.

Exercice 2 : Fractions, puissances et racines (4 points)

1. La multiplication est prioritaire : \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\).
   Ensuite, \(A = \frac{1}{2} – \frac{3}{2} = -\frac{2}{2}\). \(A = -1\).
2. On utilise \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
   Alors \(B = \dfrac{2^{5 + (-3)}}{2^4} = \dfrac{2^2}{2^4} = 2^{2-4} = 2^{-2}\). \(B = 2^{-2} = \frac{1}{4}\).
3. On fait apparaître le carré parfait le plus grand sous chaque racine.
   D’abord, \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\). Puis \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\). Enfin, \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\).
   Donc \(C = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} – 5\sqrt{3} = (2 + 3 – 5)\sqrt{3}\). \(C = 0\).
4. On reconnaît l’identité \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) avec \(a = \sqrt{5}\) et \(b = 1\).
   Ainsi, \(D = (\sqrt{5})^2 – 1^2 = 5 – 1\). \(D = 4\).

Barème : 1 point par calcul. D’abord, 0,5 point pour les étapes (priorité, règle sur les puissances, simplification des racines, identité reconnue). Puis 0,5 point pour le résultat simplifié.

Erreur fréquente : écrire \(\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{39}\). En effet, la racine d’une somme n’est pas la somme des racines.

Exercice 3 : Développer et factoriser (3 points)

1. D’une part, \((2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\). D’autre part, \((x + 1)(x – 1) = x^2 – 1\).
   Donc \(E = 4x^2 – 12x + 9 – (x^2 – 1) = 4x^2 – 12x + 9 – x^2 + 1\). \(E = 3x^2 – 12x + 10\).
2. \(F = (3x)^2 – 5^2\), de la forme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\). Ainsi, \(F = (3x – 5)(3x + 5)\).
3. Le facteur commun est \((x + 2)\).
   Alors \(G = (x + 2)[(3x – 1) – (x + 4)] = (x + 2)(3x – 1 – x – 4)\). \(G = (x + 2)(2x – 5)\).
4. \(H = x^2 – 2 \times x \times 5 + 5^2\), de la forme \(a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2\). Donc \(H = (x – 5)^2\).

Barème : a) 1 point (0,5 point par développement correct, le signe « moins » devant la parenthèse compris). Ensuite, b) 0,5 point. Puis c) 0,5 point pour la mise en facteur et 0,5 point pour la réduction du second facteur. Enfin, d) 0,5 point.

Erreur fréquente : en c, oublier de changer les signes en supprimant la parenthèse précédée de « moins ». On obtient alors \((x + 2)(2x + 3)\).

Exercice 4 : Pourcentages et évolutions (3 points)

1. Une hausse de \(10\,\%\) correspond au coefficient \(1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\). De même, une baisse de \(20\,\%\) correspond au coefficient \(1 – \frac{20}{100} = 0{,}8\). Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients :
   \(1{,}1 \times 0{,}8 = 0{,}88\). Le coefficient multiplicateur global est donc \(0{,}88\).
2. \(400 \times 0{,}88 = 352\). En septembre, le vélo coûte 352 €.
   \(0{,}88 = 1 – 0{,}12\), donc l’évolution globale est une baisse de \(12\,\%\). Ainsi, le taux d’évolution global est \(-12\,\%\).
3. Après la baisse, le prix est multiplié par \(0{,}8\). Pour revenir au prix de départ, il faut donc le multiplier par le coefficient réciproque.
   Or \(\frac{1}{0{,}8} = \frac{10}{8} = 1{,}25 = 1 + \frac{25}{100}\). Il faudrait donc une augmentation de \(25\,\%\).

Barème : a) 0,5 point pour les deux coefficients, 0,5 point pour le produit. Ensuite, b) 0,5 point pour le prix, 0,5 point pour le taux. Enfin, c) 0,5 point pour l’idée du coefficient réciproque, 0,5 point pour \(25\,\%\).

Erreur fréquente : ajouter les pourcentages (\(+10\,\% – 20\,\% = -10\,\%\)) ou répondre \(20\,\%\) à la question c. En effet, les pourcentages d’évolution ne s’additionnent pas et ne se compensent pas.

Exercice 5 : Équations et lecture graphique (5 points)

Partie A.

1. \(5x – 3 = 2x + 9\) équivaut à \(5x – 2x = 9 + 3\), soit \(3x = 12\), donc \(x = 4\). \(S = \{4\}\).
2. \(-2x + 7 \geq\, 3x – 8\) équivaut à \(-2x – 3x \geq\, -8 – 7\), soit \(-5x \geq\, -15\).
   On divise par \(-5\), qui est négatif. Donc on change le sens de l’inégalité : \(x \leq\, 3\). \(S = ]-\infty \,;\, 3]\).
3. On multiplie les deux membres par 12, dénominateur commun.
   Alors \(4x – 6 = 3(x + 1)\), soit \(4x – 6 = 3x + 3\), donc \(x = 9\).
   Vérification : \(\frac{9}{3} – \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) et \(\frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\). \(S = \{9\}\).

Partie B : lecture graphique

4. La courbe coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0 \,;\, -3)\) : \(f(0) = -3\). Puis elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses \(-1\) et 3. Donc les antécédents de 0 par \(f\) sont \(-1\) et 3.
5. La droite \(d\) passe par \((0 \,;\, 3)\) et \((3 \,;\, 0)\). Son ordonnée à l’origine est \(p = 3\). Son coefficient directeur est \(m = \dfrac{0 – 3}{3 – 0} = -1\). En effet, quand on avance de 1 vers la droite, on descend de 1. L’équation réduite de \(d\) est donc \(y = -x + 3\).
6. D’après la question précédente, \(-x + 3\) est l’ordonnée du point de \(d\) d’abscisse \(x\). On cherche donc les abscisses des points de \(\mathcal{C}_f\) situés sur ou sous la droite \(d\). Or les deux courbes se coupent aux points \((-2 \,;\, 5)\) et \((3 \,;\, 0)\). Entre ces deux points, \(\mathcal{C}_f\) est sous \(d\). \(S = [-2 \,;\, 3]\).

Barème : a) 0,5 point. Puis b) 0,5 point pour la mise en équation, 0,5 point pour le changement de sens et l’intervalle. Ensuite, c) 0,5 point pour la suppression des dénominateurs, 0,5 point pour la solution. Pour d), 0,25 point pour l’image et 0,25 point pour les deux antécédents. De plus, e) 0,5 point pour le coefficient directeur, 0,5 point pour l’équation. Enfin, f) 0,5 point pour l’interprétation (courbe sous la droite), 0,5 point pour l’intervalle avec les bornes incluses.

Erreur fréquente : en b, oublier de changer le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif. On répond alors \(x \geq\, 3\).

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