Contrôle de maths sup : fonctions usuelles, réciproques et primitives

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

1. Rappelez de quelle bijection la fonction \(\operatorname{Arctan}\) est la réciproque. En admettant le théorème de dérivation d’une fonction réciproque, démontrez que \(\operatorname{Arctan}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(\operatorname{Arctan}^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\). (1,5 point)
2. Démontrez que \(\operatorname{ch}^2 x – \operatorname{sh}^2 x = 1\) pour tout réel \(x\), puis que \(\operatorname{th}^{\prime} = 1 – \operatorname{th}^2 = \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2}\). (1,5 point)

Exercice 2 : Fonctions circulaires réciproques (5 points)

La figure rappelle les graphes des fonctions \(\operatorname{Arcsin}\), \(\operatorname{Arccos}\) et \(\operatorname{Arctan}\).

1. Démontrez que, pour tout réel \(x > 0\), \(\operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan}\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}\). Que vaut cette somme pour \(x < 0\) ? (1,5 point)
2. On considère \(f(x) = \operatorname{Arcsin}(2x\sqrt{1 – x^2})\).
   1. Démontrez que \(f\) est définie sur \([-1, 1]\). (0,5 point)
   2. En posant \(\theta = \operatorname{Arcsin} x\), simplifiez \(f(x)\) selon que \(x\) appartient à \([-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}]\), à \([\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1]\) ou à \([-1, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}]\). (2 points)
3. Démontrez que, pour tout \(x \in [-1, 1]\), \(\operatorname{Arccos} x + \operatorname{Arcsin} x = \dfrac{\pi}{2}\). (1 point)

Exercice 3 : Inégalités usuelles (3 points)

1. Démontrez que, pour tout réel \(x\), \(\operatorname{ch} x \geq\, 1 + \dfrac{x^2}{2}\). (1,5 point)
2. Démontrez que, pour tout \(x > -1\), \(\ln(1 + x) \leq\, x\). Démontrez ensuite, par un argument de concavité, que \(\sin x \geq\, \dfrac{2x}{\pi}\) pour tout \(x \in [0, \dfrac{\pi}{2}]\). (1,5 point)

Exercice 4 : Calculs de primitives et d’intégrales (5 points)

1. Calculez \(\displaystyle I = \int_0^1 \dfrac{dx}{x^2 + x + 1}\). (1,5 point)
2. Déterminez une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2 – 3x + 2}\) sur \(]2, +\infty[\). (1 point)
3. En passant par l’exponentielle complexe, calculez \(\displaystyle J = \int_0^{\pi} e^x \cos x \, dx\). (1 point)
4. À l’aide d’une intégration par parties, calculez \(\displaystyle K = \int_0^1 x \operatorname{Arctan} x \, dx\). (1 point)
5. À l’aide du changement de variable \(t = e^x\), calculez \(\displaystyle L = \int_0^1 \dfrac{dx}{e^x + 1}\). (0,5 point)

Exercice 5 : Une intégrale fonction de ses bornes (4 points)

On note \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0, +\infty[\) par \(\varphi(t) = \dfrac{e^{-t}}{t}\) et, pour tout \(x > 0\), on pose

\[F(x) = \int_x^{2x} \dfrac{e^{-t}}{t} \, dt.\]

1. Justifiez que \(F\) est définie et dérivable sur \(]0, +\infty[\), puis démontrez que \(F^{\prime}(x) = \dfrac{e^{-2x} – e^{-x}}{x}\). (1,5 point)
2. Déduisez-en le sens de variation de \(F\). (0,5 point)
3. Démontrez que, pour tout \(x > 0\), \(e^{-2x}\ln 2 \leq\, F(x) \leq\, e^{-x}\ln 2\). Déduisez-en les limites de \(F\) en \(0\) et en \(+\infty\). (1,5 point)
4. Justifiez que \(F\) se prolonge par continuité en \(0\) et dressez le tableau de variations de ce prolongement sur \([0, +\infty[\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions usuelles, réciproques et primitives

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions usuelles » en maths sup et « Calcul de primitives » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions usuelles, calcul de primitives.

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