Ce QCM de maths sup teste le dénombrement : cardinal d’une réunion ou d’un produit, listes, arrangements, combinaisons, injections, et démonstrations combinatoires sur les coefficients binomiaux. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Dénombrement du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Dénombrement - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Combien un ensemble à \(7\) éléments possède-t-il de parties à \(3\) éléments ?
A\(343\)
B\(210\)
C\(35\)
D\(21\)
Question 2
Combien y a-t-il d’injections d’un ensemble à \(3\) éléments dans un ensemble à \(5\) éléments ?
A\(60\)
B\(10\)
C\(125\)
D\(243\)
Question 3
Soit \(f : E \to F\) avec \(E\) et \(F\) finis de même cardinal \(n\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(f\) peut être surjective sans être injective
B\(f\) est nécessairement bijective
C\(f\) est injective ou surjective
Dsi \(f\) est injective, alors \(f\) est bijective
Question 4
Combien d’entiers compris entre \(1\) et \(100\) sont divisibles par \(2\) ou par \(3\) ?
A\(66\)
B\(50\)
C\(83\)
D\(67\)
Question 5
Combien de parties de \(\{1, 2, \dots, 10\}\) contiennent au moins un nombre pair ?
A\(32\)
B\(992\)
C\(1019\)
D\(1023\)
Question 6
Comment démontre-t-on combinatoirement la formule de Pascal \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\) ?
Aen triant les parties à \(k\) éléments selon qu’elles contiennent ou non un élément fixé
Ben associant à chaque partie à \(k\) éléments son complémentaire
Cen comptant les \(k\)-listes d’éléments distincts puis en divisant par \(k!\)
Den développant \((1 + x)^n\) par la formule du binôme
Question 7
Que vaut \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2\) ?
A\(\binom{2n}{n}\)
B\(2^{2n-1}\)
C\(4^n\)
D\(2^n\)
Question 8
Combien de mots distincts peut-on former avec toutes les lettres de BARBARA ?
A\(420\)
B\(210\)
C\(5040\)
D\(105\)
Question 9
Si \(E\) a \(p\) éléments et \(F\) a \(n\) éléments, combien y a-t-il d’applications de \(E\) dans \(F\) ?
A\(p^n\)
B\(n^p\)
C\(\frac{n!}{(n-p)!}\)
D\(\binom{n}{p}\)
Question 10
Dans un club de \(10\) personnes, on désigne un président et un trésorier, qui doivent être deux personnes distinctes. Combien de choix sont possibles ?
A\(20\)
B\(45\)
C\(90\)
D\(100\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de dénombrement en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les principes additif et multiplicatif, et le cardinal d’une réunion quelconque ;
le nombre d’applications \(n^p\), d’injections \(\frac{n!}{(n-p)!}\) et de parties à \(p\) éléments \(\binom\,{n}{p}\) ;
l’équivalence injective, surjective, bijective entre ensembles de même cardinal ;
le passage au complémentaire pour les conditions « au moins un » ;
les preuves par double dénombrement (Pascal, Vandermonde).
L’erreur la plus fréquente
La confusion la plus fréquente : compter des listes (ordre important) quand l’énoncé demande des parties, ou l’inverse. Choisir un président et un trésorier n’est pas choisir une paire de personnes.
Comment réviser avant de refaire le test
Avant de calculer, décrivez précisément l’objet compté (liste, liste sans répétition, partie) et vérifiez sur un petit cas que chaque objet est compté exactement une fois. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quand utiliser \(\binom\,{n}{p}\) plutôt que \(\frac{n!}{(n-p)!}\) ?
\(\binom\,{n}{p}\) compte les parties à \(p\) éléments (sans ordre), \(\frac{n!}{(n-p)!}\) les \(p\)-listes d’éléments distincts (avec ordre). On passe de l’un à l’autre en divisant par \(p!\).
Qu’est-ce qu’une démonstration par double dénombrement ?
On compte un même ensemble de deux façons différentes ; l’égalité des deux résultats donne l’identité. Par exemple, compter les parties de \(\{1, \dots, n\}\) selon leur cardinal donne \(\sum_k \binom\,{n}{k} = 2^n\).
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