Polynômes : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM porte sur les polynômes comme objets algébriques et comme fonctions : degré, division euclidienne, racines et multiplicités, relations coefficients-racines et interpolation de Lagrange. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Polynômes - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour \(n \geqslant 2\), quel est le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X - 1)(X - 2)\) ?

A \(2^n X + 1 - 2^n\)

B \((2^n - 1)X + 2 - 2^n\)

C \((2^n - 1)X\)

D \((2^n - 1)X + 1\)

Question 2

Quelle est la multiplicité de la racine \(1\) du polynôme \(P = X^4 - 2X^3 + 2X - 1\) ?

A \(4\)

B \(3\)

C \(2\)

D \(1\)

Question 3

Soient \(a\), \(b\), \(c\) les racines complexes de \(X^3 - 2X^2 + 3X - 4\). Que vaut \(a^2 + b^2 + c^2\) ?

A \(2\)

B \(10\)

C \(-2\)

D \(4\)

Question 4

Quel est le polynôme de degré au plus \(2\) prenant les valeurs \(1\), \(2\), \(5\) en \(0\), \(1\), \(2\) ?

A \(X^2 + X + 1\)

B \(X + 1\)

C \(2X^2 - X + 1\)

D \(X^2 + 1\)

Question 5

Un polynôme de \(\mathbb{K}_n[X]\) s’annule en \(n + 1\) points distincts. Que peut-on en conclure ?

A Il est de degré exactement \(n\)

B Il est constant non nul

C Il est nul

D Il est de degré \(n + 1\)

Question 6

Pour \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\), quelle affirmation est toujours vraie ?

A \(\deg(PQ) = \deg P \times \deg Q\)

B \(\deg(P \circ Q) = \deg P + \deg Q\)

C \(\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)\)

D \(\deg(P + Q) = \max(\deg P, \deg Q)\)

Question 7

Quelle est la formule de Taylor en \(a\) pour un polynôme \(P\) de degré au plus \(n\) ?

A \(P = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)}(a)(X - a)^k\)

B \(P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X + a)^k\)

C \(P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(0)}{k!}(X - a)^k\)

D \(P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X - a)^k\)

Question 8

À l’aide de la méthode de Horner, que vaut \(P(2)\) pour \(P = 2X^3 - 3X^2 + X - 5\) ?

A \(1\)

B \(9\)

C \(-1\)

D \(3\)

Question 9

Quel est le reste de la division euclidienne de \(X^{100} + X + 1\) par \(X + 1\) ?

A \(3\)

B \(-1\)

C \(0\)

D \(1\)

Question 10

Soit \(m \geqslant 1\). Quand \(a\) est-il racine de \(P\) de multiplicité au moins \(m\) ?

A si et seulement si \(P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0\)

B si et seulement si \(P(a) = 0\) et \(P^{(m)}(a) \neq 0\)

C si et seulement si \(P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m)}(a) = 0\)

D si et seulement si \(P^{(m-1)}(a) = 0\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de polynômes en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les règles sur le degré d’une somme, d’un produit, d’une composée ;
la division euclidienne et le calcul d’un reste par évaluation ;
la multiplicité d’une racine par les dérivées successives et la formule de Taylor ;
les relations coefficients-racines d’un polynôme scindé ;
l’interpolation de Lagrange et la méthode de Horner.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : affirmer \(\deg(P + Q) = \max(\deg P, \deg Q)\). Ce n’est qu’une inégalité : si les coefficients dominants s’annulent, le degré baisse, comme pour \((X^2 + X) + (-X^2)\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour trouver le reste de la division par \((X – a)(X – b)\), n’effectuez pas la division : écrivez \(P = (X – a)(X – b)Q + \alpha X + \beta\) et évaluez en \(a\) et \(b\). Pour une racine double, dérivez avant d’évaluer. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Groupes, anneaux et corps, Calcul matriciel, Fractions rationnelles, Relations de comparaison. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Comment montrer qu’un polynôme est nul ?

On montre qu’il a plus de racines que son degré : un polynôme de \(\mathbb{K}_n[X]\) qui s’annule en \(n + 1\) points distincts est nul, et un polynôme qui a une infinité de racines aussi.

À quoi sert l’interpolation de Lagrange ?

Elle fournit l’unique polynôme de degré au plus \(n\) prenant des valeurs imposées en \(n + 1\) points distincts, à l’aide des polynômes \(L_i\) qui valent \(1\) en \(x_i\) et \(0\) aux autres points.