Calcul matriciel : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM teste le calcul matriciel de première année : produit, transposée, puissances par le binôme, inversion et résolution de systèmes par le pivot de Gauss. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Calcul matriciel et systèmes linéaires du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Calcul matriciel - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Que vaut \(A^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\) ?

A \(\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 1 & 2^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 1 & n^2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & n \end{pmatrix}\)

Question 2

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Que vaut le coefficient en position \((1, 3)\) de \(A^n\) ?

A \(n\)

B \(\frac{n(n-1)}{2}\)

C \(n^2\)

D \(\frac{n(n+1)}{2}\)

Question 3

Soient \(A, B \in GL_n(\mathbb{K})\). Quelle égalité est vraie ?

A \((A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}\)

B \((AB)^{\top} = A^{\top}B^{\top}\)

C \((AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}\)

D \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

Question 4

Quel est l’inverse de \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\) ?

A \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\)

Question 5

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(AB = 0\). Que peut-on affirmer ?

A On a aussi \(BA = 0\)

B \(A\) et \(B\) sont nilpotentes

C On ne peut pas conclure que \(A = 0\) ou \(B = 0\)

D \(A = 0\) ou \(B = 0\)

Question 6

À quelle condition une matrice triangulaire supérieure de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est-elle inversible ?

A Au moins un de ses coefficients diagonaux est non nul

B Tous ses coefficients au-dessus de la diagonale sont non nuls

C Tous ses coefficients diagonaux sont non nuls

D Sa trace est non nulle

Question 7

Combien de solutions possède le système \(x + y + z = 1\), \(x + 2y + 3z = 2\), \(2x + 3y + 4z = 3\) ?

A Une seule

B Une infinité

C Aucune

D Exactement deux

Question 8

Soient \(A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{K})\). Quelle affirmation est vraie ?

A \(AB \in \mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{K})\) et \(BA \in \mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{K})\)

B \(AB \in \mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{K})\) et \(BA\) n’est pas défini

C \(AB \in \mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{K})\) et \(BA\) n’est pas défini

D \(AB \in \mathcal{M}_{4,2}(\mathbb{K})\) et \(BA \in \mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{K})\)

Question 9

Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), quelle égalité est toujours vraie ?

A \((AB)^2 = A^2 B^2\)

B \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\)

C \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)

D \((A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\)

Question 10

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), que vaut le produit de matrices élémentaires \(E_{1,2}E_{2,1}\) ?

A \(0\)

B \(I_2\)

C \(E_{2,2}\)

D \(E_{1,1}\)

🎉 QCM terminé !

0 / 10

Ce que vérifie ce QCM de calcul matriciel en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

le produit matriciel, ses formats et sa non-commutativité ;
les matrices élémentaires \(E_{i,j}\) et leurs produits ;
le calcul de puissances par la formule du binôme avec une matrice nilpotente ;
l’inverse d’une matrice et l’inversibilité des matrices triangulaires ;
la résolution d’un système par pivot de Gauss.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : développer \((A + B)^2\) en \(A^2 + 2AB + B^2\). Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), le produit n’est pas commutatif : on écrit \(A^2 + AB + BA + B^2\), et le binôme ne s’applique que si \(AB = BA\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour calculer \(A^n\), cherchez à écrire \(A = \lambda I_n + N\) avec \(N\) nilpotente : \(\lambda I_n\) commute avec tout, et la somme du binôme s’arrête après quelques termes. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Arithmétique dans Z, Groupes, anneaux et corps, Polynômes, Fractions rationnelles. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Comment savoir rapidement si une matrice triangulaire est inversible ?

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et son inverse est alors triangulaire du même type.

Pourquoi \(AB = 0\) n’entraîne-t-il pas \(A = 0\) ou \(B = 0\) ?

Parce que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) n’est pas intègre pour \(n \geq\, 2\) : par exemple \(E_{1,1}E_{2,2} = 0\). On ne peut simplifier par \(A\) que si \(A\) est inversible.