Contrôle de maths sup : arithmétique dans Z, groupes et anneaux

Exercice 1 : Nombres premiers et lemme de Gauss (3 points)

Calculatrice interdite. Durée conseillée : 3 heures. Les groupes quotients ne sont pas utilisés dans ce devoir.

1. Montrez que tout entier \(n \geq\, 2\) admet un diviseur premier, puis démontrez que l’ensemble des nombres premiers est infini. (1,5 point)
2. Énoncez et démontrez le lemme de Gauss, en utilisant le théorème de Bézout. (1,5 point)

Exercice 2 : Algorithme d’Euclide étendu et équation diophantienne (4 points)

1. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, calculez \(d = 252 \wedge 198\), puis déterminez un couple d’entiers \((u, v)\) tel que \(252u + 198v = d\). (1,5 point)
2. Résolvez dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \(252x + 198y = 36\). (1,5 point)
3. L’équation \(252x + 198y = 30\) admet-elle des solutions entières ? Justifiez. (0,5 point)
4. Déduisez de a) le PPCM de \(252\) et \(198\). (0,5 point)

Exercice 3 : Valuations p-adiques et congruences (5 points)

1. Décomposez \(252\) et \(198\) en produit de facteurs premiers. Retrouvez leur PGCD et leur PPCM à l’aide des valuations \(p\)-adiques. (1 point)
2. Soit \(p\) un nombre premier et \(n \geq\, 1\). Justifiez que \(v_p(n!) = \displaystyle\sum_{k \geq\, 1} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor\). Déduisez-en le nombre de zéros qui terminent l’écriture décimale de \(100!\). (1,5 point)
3. Déterminez l’inverse de \(7\) modulo \(30\), puis résolvez la congruence \(7x \equiv 3 \pmod{30}\). (1 point)
4. À l’aide du petit théorème de Fermat, déterminez le reste de la division euclidienne de \(3^{2026}\) par \(11\). (1 point)
5. Montrez que, pour tout entier \(n\), \(n^7 – n\) est divisible par \(42\). (0,5 point)

Exercice 4 : Morphismes et groupe des inversibles (3 points)

1. Soit \(n \geq\, 2\). Montrez que \(\varphi : k \mapsto e^{2ik\pi/n}\) est un morphisme du groupe \((\mathbb{Z}, +)\) dans \((\mathbb{C}^*, \times )\). Déterminez son noyau et son image. Est-il injectif ? (1 point)
2. On admet que \(\mathbb{Z}[i] = \{a + ib \;:\; (a, b) \in \mathbb{Z}^2\}\) est un sous-anneau de \(\mathbb{C}\). En utilisant \(N(z) = |z|^2\), déterminez le groupe des inversibles de \(\mathbb{Z}[i]\). (1,5 point)
3. Soit \(A\) un anneau et \(a \in A\) nilpotent, c’est-à-dire tel que \(a^m = 0\) pour un entier \(m \geq\, 1\). Montrez que \(1 – a\) est inversible et donnez son inverse. (0,5 point)

Exercice 5 : Problème – sous-groupes de Z et arithmétique (5 points)

Dans ce problème, on relie la structure de groupe de \((\mathbb{Z}, +)\) aux notions de PGCD et de PPCM. Pour \(n \in \mathbb{Z}\), on note \(n\mathbb{Z} = \{nk \;:\; k \in \mathbb{Z}\}\).

1. Montrez que \(n\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\). (0,5 point)
2. Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\). Montrez qu’il existe un unique entier \(n \geq\, 0\) tel que \(H = n\mathbb{Z}\). On pourra considérer le plus petit élément de \(H \cap \mathbb{N}^*\) et une division euclidienne. (1,5 point)
3. Soient \(a, b\) deux entiers non tous deux nuls. Montrez que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \{au + bv \;:\; (u, v) \in \mathbb{Z}^2\}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), égal à \(d\mathbb{Z}\) avec \(d = a \wedge b\). Quel théorème du cours retrouve-t-on ? (1 point)
4. Soient \(a, b\) deux entiers non nuls. Montrez que \(a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}\), où \(m\) est le PPCM de \(a\) et \(b\). (0,5 point)
5. Déterminez tous les morphismes de groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? surjectifs ? Déduisez-en le groupe des automorphismes de \((\mathbb{Z}, +)\). (1 point)
6. Soit \(n \geq\, 2\) et \(k \in \mathbb{Z}\). Montrez que \(k\) est inversible modulo \(n\) si et seulement si \(k \wedge n = 1\). Donnez la liste des entiers de \(\{0, 1, \ldots, 11\}\) inversibles modulo \(12\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : arithmétique dans Z, groupes et anneaux

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Arithmétique dans Z » en maths sup et « Groupes, anneaux et corps » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés arithmétique dans z, groupes, anneaux et corps.

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