Ce QCM de maths sup porte sur les espaces de dimension finie : existence de bases, théorème de la base incomplète, dimension et rang d’une famille, formule de Grassmann et caractérisation des supplémentaires. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces vectoriels de dimension finie du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Dimension finie - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Dans un espace \(E\) de dimension \(n\), une famille de \(n\) vecteurs est une base dès que :
Ases vecteurs sont tous non nuls
Belle engendre un sous-espace non nul
Celle est libre
Dses vecteurs sont deux à deux non colinéaires
Question 2
Dans \(\mathbb{R}^6\), \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de dimensions \(4\) et \(5\). Quelle est la plus petite valeur possible de \(\dim(F \cap G)\) ?
A\(3\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(4\)
Question 3
Quelle est la dimension du sous-espace \(S_n(\mathbb{R})\) des matrices symétriques de \(M_n(\mathbb{R})\) ?
A\(n^2\)
B\(n\)
C\(\frac{n(n-1)}{2}\)
D\(\frac{n(n+1)}{2}\)
Question 4
Quel est le rang de la famille \(\left((1,2,3), (2,4,6), (1,0,1), (0,2,2)\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) ?
A\(3\)
B\(4\)
C\(2\)
D\(1\)
Question 5
Quelle est la dimension de l’espace des suites réelles vérifiant \(u_{n+3} = 2u_{n+1} - u_n\) pour tout \(n\) ?
A\(3\)
Bla dimension est infinie
C\(1\)
D\(2\)
Question 6
Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces d’un espace de dimension finie, avec \(\dim F = \dim G\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(F \cap G \neq \{0\}\) dès que \(\dim F \geqslant 1\)
Bsi \(F \subset G\), alors \(F = G\)
C\(F = G\) dans tous les cas
D\(F\) et \(G\) sont supplémentaires
Question 7
Dans un espace \(E\) de dimension finie, les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont supplémentaires si et seulement si :
A\(F + G = E\) et \(\dim F = \dim G\)
B\(\dim F + \dim G = \dim E\)
C\(F \cap G = \{0\}\)
D\(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\)
Question 8
Laquelle des familles suivantes complète \((1,1,0)\) en une base de \(\mathbb{R}^3\) ?
A\(\left((1,1,0), (2,2,0), (0,0,1)\right)\)
B\(\left((1,1,0), (0,0,1), (1,1,1)\right)\)
C\(\left((1,1,0), (1,0,0), (0,0,1)\right)\)
D\(\left((1,1,0), (1,0,0), (0,1,0)\right)\)
Question 9
Quelle est la dimension de l’espace produit \(\mathbb{R}_2[X] \times M_2(\mathbb{R})\) ?
A\(7\)
B\(12\)
C\(8\)
D\(6\)
Question 10
Quelle est la dimension de \(F = \{P \in \mathbb{R}_4[X] : P(1) = P(-1) = 0\}\) ?
A\(5\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(2\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de dimension finie en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractérisation des bases en dimension \(n\) : libre ou génératrice à \(n\) vecteurs ;
le théorème de la base incomplète et celui de la base extraite ;
la formule de Grassmann \(\dim(F+G) = \dim F + \dim G – \dim(F \cap G)\) ;
la caractérisation dimensionnelle des sous-espaces supplémentaires ;
la dimension des espaces de solutions d’équations différentielles et de récurrences linéaires.
L’erreur la plus fréquente
L’égalité \(\dim F = \dim G\) ne donne \(F = G\) que si l’on sait déjà que \(F \subset G\). Deux droites distinctes du plan ont la même dimension sans être égales.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour prouver qu’une famille est une base, comptez d’abord ses vecteurs : s’il y en a autant que la dimension, il suffit de vérifier la liberté, la partie la plus simple. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
C’est la dimension du sous-espace engendré par la famille. Il vaut le nombre de vecteurs si et seulement si la famille est libre.
Tout sous-espace a-t-il un unique supplémentaire ?
Non : en dimension finie, tout sous-espace admet au moins un supplémentaire, mais en général une infinité. Une droite du plan a pour supplémentaire n’importe quelle autre droite.
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