Contrôle de maths sup : logique, ensembles et applications

Exercice 1 : Question de cours sur les applications (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(E\), \(F\) et \(G\) sont trois ensembles, \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.

1. Rappelez les définitions d’une application injective et d’une application surjective, en écrivant chacune avec des quantificateurs. (1 point)
2. Démontrez que si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective. (1 point)
3. Démontrez que si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective. (1 point)
4. Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(h : I \to \mathbb{R}\). Écrivez la négation de la proposition suivante, sans utiliser le symbole de négation :
   \[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall (x,y) \in I^2,\ |x-y| \leq\, \eta \Rightarrow |h(x)-h(y)| \leq\, \varepsilon.\]
   (1 point)

Exercice 2 : Trois modes de raisonnement (5 points)

Pour chaque question, précisez en une phrase le type de raisonnement choisi avant de le rédiger.

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Démontrez par contraposition que si \(n^2 – 1\) n’est pas divisible par \(8\), alors \(n\) est pair. (1,5 point)
2. Démontrez par l’absurde que le réel \(\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\) est irrationnel. (1,5 point)
3. Démontrez par analyse-synthèse que toute fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. (2 points)

Exercice 3 : Une récurrence forte (3 points)

On définit la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier \(n \geq\, 0\),

\[u_{n+1} = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum_{k=0}^{n} u_k.\]

1. Calculez \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\), puis conjecturez une expression de \(u_n\) pour \(n \geq\, 1\). (1 point)
2. Démontrez cette conjecture par récurrence forte. Expliquez pourquoi une récurrence simple ne suffit pas ici. (2 points)

Exercice 4 : Images directes et réciproques (4 points)

On note \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) l’application définie par \(f(x) = x^2\).

1. Déterminez \(f([-1,2])\), \(f^{-1}([1,4])\) et \(f^{-1}(]-\infty,0[)\). (1,5 point)
2. Soit maintenant \(\varphi : E \to F\) une application quelconque, \(A\) une partie de \(E\) et \(B\) une partie de \(F\). Démontrez que \(\varphi(\varphi^{-1}(B)) \subset B\) et que \(A \subset \varphi^{-1}(\varphi(A))\). Démontrez ensuite que si \(\varphi\) est injective, alors \(\varphi^{-1}(\varphi(A)) = A\). (1,5 point)
3. On a toujours \(\varphi(A \cap A^{\prime}) \subset \varphi(A) \cap \varphi(A^{\prime})\) pour deux parties \(A\) et \(A^{\prime}\) de \(E\). Montrez, à l’aide de l’application \(f\), que l’inclusion réciproque est fausse en général. (1 point)

Exercice 5 : Relation d’équivalence et relation d’ordre (4 points)

Partie A. On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x\,e^{-x}\) et, pour \(x\) et \(y\) réels, on pose \(x \mathcal{R} y\) si et seulement si \(g(x) = g(y)\).

1. Démontrez que \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Étudiez les variations de \(g\) et ses limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Déduisez-en le nombre d’éléments de la classe d’équivalence d’un réel \(x\), selon que \(x \leq\, 0\), \(x = 1\), ou \(x \in ]0,1[ \cup ]1,+\infty[\). (1,5 point)

Partie B. Sur \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(a \preceq b\) si et seulement s’il existe un entier \(k \geq\, 1\) tel que \(b = a^k\).

3. Démontrez que \(\preceq\) est une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}^{*}\), puis qu’elle n’est pas totale. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : logique, ensembles et applications

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Logique, ensembles et applications » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés logique, ensembles et applications.

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