Corrigé du contrôle de maths 4ème : patrons et repérage dans un pavé droit

Exercice 1 : Est-ce un patron ? (3 points)

1. • Figure 1 : un carré et quatre triangles isocèles identiques posés sur ses quatre côtés. Ainsi, en repliant les triangles, leurs sommets se rejoignent : c’est le patron d’une pyramide à base carrée.
   • Figure 2 : quatre triangles équilatéraux identiques. On replie alors les trois triangles extérieurs autour du triangle central. Donc on obtient quatre faces triangulaires : c’est le patron d’une pyramide à base triangulaire.
   • Figure 3 : ce n’est pas un patron.
   • Enfin, figure 4 : un disque et un secteur de disque qui le touche : c’est le patron d’un cône de révolution.
2. Une pyramide à base carrée a cinq faces : la base et quatre faces latérales triangulaires. Or la figure 3 n’a que quatre faces (le carré et trois triangles). Par conséquent, une fois repliée, il resterait un trou sur le côté du carré sans triangle. Il faut ajouter un quatrième triangle, identique aux autres, sur le côté libre du carré.

Barème : a) 0,5 point par figure (réponse et nom du solide) ; b) 0,5 point pour l’argument du nombre de faces, 0,5 point pour le triangle à ajouter.

Exercice 2 : Patron d’une pyramide régulière (4 points)

1. Programme de construction :
   • d’abord, on trace le carré \(ABCD\) de côté \(4\text{ cm}\) avec l’équerre et la règle ;
   • ensuite, sur chaque côté, par exemple \([AB]\), on trace au compas deux arcs de rayon \(5\text{ cm}\) centrés en \(A\) et en \(B\). Ces arcs sont à l’extérieur du carré. Leur point d’intersection est alors un sommet \(S\) ;
   • enfin, on relie ce point à \(A\) et à \(B\), et on recommence sur les trois autres côtés.

   On obtient ainsi le patron ci-dessous (réduit).

   

2. Le triangle \(SAB\) est isocèle en \(S\) car \(SA = SB = 5\text{ cm}\). Or, dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur. Ainsi, \((SI)\) est perpendiculaire à \((AB)\), donc le triangle \(SAI\) est rectangle en \(I\).
   De plus, \(AI = 4 : 2 = 2\text{ cm}\). Alors, d’après le théorème de Pythagore dans ce triangle :
   \(SA^2 = SI^2 + AI^2\)
   \(5^2 = SI^2 + 2^2\)
   \(SI^2 = 25 – 4 = 21\)
   \(SI = \sqrt{21} \approx 4{,}58\).
   \(SI\) mesure environ \(4{,}6\text{ cm}\).
3. D’abord, aire d’une face latérale : \(\dfrac{AB \times SI}{2} = \dfrac{4 \times \sqrt{21}}{2} = 2\sqrt{21}\text{ cm}^2\).
   Ensuite, aire des quatre faces : \(4 \times 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21} \approx 36{,}66\).
   L’aire latérale est d’environ \(36{,}7\text{ cm}^2\).

Erreur fréquente : prendre \(SA = 5\text{ cm}\) comme hauteur du triangle \(SAB\). En effet, la hauteur est \(SI\), plus courte que l’arête.

Barème : a) 1 point pour le carré, 1 point pour les quatre triangles construits au compas (0,5 point si les longueurs sont justes mais sans traits de construction) ; b) 0,5 point pour la justification de l’angle droit, 0,5 point pour le calcul de \(SI\) ; c) 0,5 point pour l’aire d’une face, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : Patron d’un cône (4 points)

1. Le triangle \(SOM\) est rectangle en \(O\) car la hauteur \([SO]\) est perpendiculaire à la base. Donc, d’après le théorème de Pythagore :
   \(SM^2 = SO^2 + OM^2\)
   \(5^2 = SO^2 + 3^2\)
   \(SO^2 = 25 – 9 = 16\)
   \(SO = \sqrt{16} = 4\).
   La hauteur du cône mesure \(4\text{ cm}\).
2. On enroule le secteur pour former la surface latérale. Alors son arc vient se coller tout autour du cercle de base. Les deux longueurs sont donc égales.
   Puis, périmètre de la base : \(2 \times \pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}85\).
   L’arc mesure \(6\pi\text{ cm}\), soit environ \(18{,}8\text{ cm}\).
3. D’abord, le cercle complet de rayon \(5\text{ cm}\) mesure \(2 \times \pi \times 5 = 10\pi\text{ cm}\) et correspond à \(360^\circ\).
   Ensuite, l’arc du secteur mesure \(6\pi\text{ cm}\), c’est-à-dire \(\dfrac{6\pi}{10\pi} = \dfrac{3}{5}\) du cercle complet.
   \(\dfrac{3}{5} \times 360 = 216\).
   L’angle du secteur mesure \(216^\circ\).

   

Erreur fréquente : prendre le rayon du secteur égal au rayon de la base. En effet, le rayon du secteur est la génératrice, \(5\text{ cm}\).

Barème : a) 0,5 point pour le triangle rectangle, 0,5 point pour l’égalité de Pythagore, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour l’explication, 0,5 point pour le calcul ; c) 0,5 point pour le périmètre du grand cercle, 0,5 point pour la proportion, 0,5 point pour l’angle.

Exercice 4 : Se repérer dans un pavé droit (5 points)

1. On lit l’abscisse sur \([AB]\), l’ordonnée sur \([AD]\) et l’altitude sur \([AE]\).
   \(B\,(6 \,;\, 0 \,;\, 0)\) ; \(C\,(6 \,;\, 4 \,;\, 0)\) ; \(F\,(6 \,;\, 0 \,;\, 3)\) ; \(G\,(6 \,;\, 4 \,;\, 3)\) ; \(H\,(0 \,;\, 4 \,;\, 3)\).
2. \(M\) a une altitude nulle : il est donc sur le fond \(ABCD\). De plus, son abscisse est \(6\), comme \(B\) et \(C\) : il est sur l’arête \([BC]\). Enfin, son ordonnée \(2\) est la moitié de \(4\). \(M\) est le milieu de l’arête \([BC]\).
   \(N\) a une altitude de \(3\) : il est donc sur la face du dessus \(EFGH\). Or son abscisse \(3\) est la moitié de \(6\). De même, son ordonnée \(2\) est la moitié de \(4\). \(N\) est le centre du rectangle \(EFGH\).

   

3. \(P\) a une ordonnée nulle et une altitude de \(3\). Il est donc sur l’arête \([EF]\). Il est aussi à mi-chemin, car \(3\) est la moitié de \(6\). \(P\) est le milieu de \([EF]\).
   Ensuite, \(K\) a la même abscisse et la même ordonnée que \(C\) et \(G\). De plus, son altitude \(1{,}5\) est la moitié de \(3\). \(K\) est le milieu de l’arête \([CG]\).

Erreur fréquente : inverser l’ordre des coordonnées. On donne toujours l’abscisse, puis l’ordonnée, puis l’altitude.

Barème : a) 0,5 point par point correct ; b) 0,5 point pour les deux points bien placés, 0,5 point par description ; c) 0,5 point par position.

Exercice 5 : Problème : une tige dans une boîte (4 points)

1. La face \(ABCD\) est un rectangle, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). Alors, d’après le théorème de Pythagore :
   \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 40^2 + 30^2 = 1\,600 + 900 = 2\,500\)
   \(AC = \sqrt{2\,500} = 50\).
   La diagonale du fond mesure \(50\text{ cm}\).
2. De même, la face \(BCGF\) est un rectangle, donc le triangle \(BCG\) est rectangle en \(C\). De plus, \(CG = AE = 20\text{ cm}\). Ainsi, d’après le théorème de Pythagore :
   \(BG^2 = BC^2 + CG^2 = 30^2 + 20^2 = 900 + 400 = 1\,300\)
   \(BG = \sqrt{1\,300} \approx 36{,}06\).
   La diagonale \([BG]\) mesure environ \(36{,}1\text{ cm}\).
3. Sur le fond, la plus grande longueur disponible est la diagonale : \(50\text{ cm}\). Cependant, \(52 > 50\) : la tige ne tient pas à plat sur le fond.
   En revanche, on peut placer la tige en biais.
   Dans le triangle \(ACG\) rectangle en \(C\), d’après le théorème de Pythagore :
   \(AG^2 = AC^2 + CG^2 = 2\,500 + 400 = 2\,900\)
   \(AG = \sqrt{2\,900} \approx 53{,}9\).
   Comme \(53{,}9 > 52\), la tige peut être placée dans la boîte, en biais, le long de \([AG]\).

Barème : a) 0,5 point pour le triangle rectangle justifié, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’arrondi ; c) 0,5 point pour la conclusion sur le fond, 0,5 point pour le calcul de \(AG\), 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : patrons et repérage dans un pavé droit

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