Voici le corrigé détaillé de l’exercice 1 du bac S de mathématiques 2014 passé en France métropolitaine en juin 2014 (enseignement obligatoire). Cet exercice sur 5 points porte sur la famille de fonctions \(f_n(x) = x + \mathrm{e}^{-nx}\). Dans la partie A, on étudie la fonction \(f_1\) : passage de sa courbe par un point donné, calcul de la dérivée, limites en l’infini (avec une forme indéterminée en \(-\infty\)) et tableau de variations. La partie B s’intéresse à la suite d’intégrales \(I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x\) : interprétation en termes d’aire, conjectures lues sur le graphique, sens de variation obtenu par la positivité de l’intégrale, convergence d’une suite décroissante minorée, puis calcul exact de \(I_n\) à l’aide d’une primitive et détermination de sa limite. Chaque réponse est justifiée pas à pas, comme on l’attend le jour de l’épreuve.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonctions exponentielles, suite d’intégrales – 5 points
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(f_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_n(x) = x + \mathrm{e}^{-nx}\) et \(\mathcal{C}_n\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A
1. On demande de justifier que la courbe \(\mathcal{C}_1\) passe par le point \(A(0\,;\,1)\).
Le point \(A\) appartient à \(\mathcal{C}_1\) si et seulement si \(f_1(0) = 1\). Or
\[ f_1(0) = 0 + \mathrm{e}^{-0} = 0 + 1 = 1. \]
La courbe \(\mathcal{C}_1\) passe donc bien par le point \(A(0\,;\,1)\).
2. On demande le tableau de variations de \(f_1\), limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) comprises.
Dérivée. \(f_1(x) = x + \mathrm{e}^{-x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables, et pour tout réel \(x\) :
\[ f_1^{\prime}(x) = 1 – \mathrm{e}^{-x}. \]
La fonction exponentielle étant strictement croissante :
\[ f_1^{\prime}(x) \gt 0 \iff \mathrm{e}^{-x} \lt 1 = \mathrm{e}^{0} \iff -x \lt 0 \iff x \gt 0. \]
De même \(f_1^{\prime}(x) \lt 0 \iff x \lt 0\) et \(f_1^{\prime}(0) = 0\). Ainsi \(f_1\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(f_1(0) = 1\).
Limite en \(+\infty\). \(\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0\), donc par somme :
\[ \lim_{x \to +\infty} f_1(x) = +\infty. \]
Limite en \(-\infty\). On a \(\lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-x} = +\infty\) : c’est une forme indéterminée. On factorise par \(\mathrm{e}^{-x}\) :
\[ f_1(x) = \mathrm{e}^{-x}(x\,\mathrm{e}^{x} + 1). \]
D’après le cours (croissances comparées), \(\lim\limits_{x \to -\infty} x\,\mathrm{e}^{x} = 0\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} (x\,\mathrm{e}^{x} + 1) = 1\). Comme \(\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-x} = +\infty\), par produit :
\[ \lim_{x \to -\infty} f_1(x) = +\infty. \]
Tableau de variations de \(f_1\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(f_1^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f_1(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Partie B
On note \(D\) la droite d’équation \(x = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), on pose
\[ I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 (x + \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x. \]
1. a) On demande une interprétation géométrique de \(I_n\).
Pour tout \(x\) de \([0\,;\,1]\), \(x \geq\, 0\) et \(\mathrm{e}^{-nx} \gt 0\), donc \(f_n(x) \gt 0\) : la fonction \(f_n\) est continue et positive sur \([0\,;\,1]\). Par conséquent, \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite \(D\).
1. b) On demande de conjecturer, à l’aide du graphique, le sens de variation de \((I_n)\) et sa limite.
Quand \(n\) augmente, les courbes \(\mathcal{C}_n\) se placent les unes sous les autres sur \([0\,;\,1]\) : l’aire sous la courbe diminue. On conjecture que la suite \((I_n)\) est décroissante.
Pour \(n\) grand (voir \(\mathcal{C}_{60}\)), la courbe se confond presque avec la droite d’équation \(y = x\) sur \([0\,;\,1]\), sauf tout près de 0. L’aire devrait donc s’approcher de l’aire du triangle sous cette droite, soit \(\int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\). On conjecture que \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = \dfrac{1}{2}\).
2. On demande de démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1} – I_n = \int_0^1 \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\mathrm{d}x\), d’en déduire le signe de \(I_{n+1} – I_n\), puis de démontrer que la suite \((I_n)\) est convergente.
Égalité. Par linéarité de l’intégrale :
\[ I_{n+1} – I_n = \int_0^1 (x + \mathrm{e}^{-(n+1)x} – x – \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x = \int_0^1 (\mathrm{e}^{-(n+1)x} – \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x. \]
Or \(\mathrm{e}^{-nx} = \mathrm{e}^{-(n+1)x + x} = \mathrm{e}^{-(n+1)x} \times \mathrm{e}^{x}\), donc \(\mathrm{e}^{-(n+1)x} – \mathrm{e}^{-nx} = \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\) et :
\[ I_{n+1} – I_n = \int_0^1 \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\mathrm{d}x. \]
Signe. Pour \(x \in [0\,;\,1]\), on a \(x \geq\, 0\) donc, la fonction exponentielle étant croissante, \(\mathrm{e}^{x} \geq\, \mathrm{e}^{0} = 1\), c’est-à-dire \(1 – \mathrm{e}^{x} \leq\, 0\). De plus \(\mathrm{e}^{-(n+1)x} \gt 0\). Le produit \(\mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\) est donc négatif ou nul sur \([0\,;\,1]\), et comme \(0 \lt 1\), par positivité de l’intégrale :
\[ I_{n+1} – I_n \leq\, 0. \]
La suite \((I_n)\) est donc décroissante, ce qui confirme la première conjecture.
Convergence. On a vu en 1. a) que \(f_n(x) \gt 0\) pour tout \(x\) de \([0\,;\,1]\) ; par positivité de l’intégrale, \(I_n \geq\, 0\) pour tout entier naturel \(n\). La suite \((I_n)\) est décroissante et minorée par 0 : d’après le théorème de convergence monotone, la suite \((I_n)\) est convergente.
3. On demande l’expression de \(I_n\) en fonction de \(n\), puis la limite de la suite \((I_n)\).
Cas \(n = 0\). \(f_0(x) = x + \mathrm{e}^{0} = x + 1\), donc
\[ I_0 = \int_0^1 (x + 1)\,\mathrm{d}x = [\frac{x^2}{2} + x]_0^1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}. \]
Cas \(n \geq\, 1\). Une primitive de \(x \mapsto \mathrm{e}^{-nx}\) est \(x \mapsto -\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\) (car la dérivée de \(\mathrm{e}^{-nx}\) est \(-n\,\mathrm{e}^{-nx}\)). Donc :
\[ I_n = [\frac{x^2}{2} – \frac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}]_0^1 = (\frac{1}{2} – \frac{1}{n}\mathrm{e}^{-n}) – (0 – \frac{1}{n}\mathrm{e}^{0}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{n} – \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n}. \]
Pour tout \(n \geq\, 1\) : \(I_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 – \mathrm{e}^{-n}}{n}\), et \(I_0 = \dfrac{3}{2}\).
Par exemple \(I_1 = \dfrac{3}{2} – \mathrm{e}^{-1} \approx 1{,}132\), \(I_2 \approx 0{,}932\) et \(I_{60} \approx 0{,}517\), valeurs cohérentes avec une suite décroissante.
Limite. \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{-n}}{n} = 0\) par produit. Par somme :
\[ \lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{1}{2}. \]
La suite \((I_n)\) converge vers \(\dfrac{1}{2}\), ce qui confirme la conjecture de la question 1. b) : l’aire sous \(\mathcal{C}_n\) tend vers l’aire du triangle situé sous la droite d’équation \(y = x\) entre 0 et 1.
