Voici le corrigé détaillé de l’exercice 1 du bac S de mathématiques 2014 passé en France métropolitaine en juin 2014 (enseignement obligatoire). Cet exercice sur 5 points porte sur la famille de fonctions \(f_n(x) = x + \mathrm{e}^{-nx}\). Dans la partie A, on étudie la fonction \(f_1\) : passage de sa courbe par un point donné, calcul de la dérivée, limites en l’infini (avec une forme indéterminée en \(-\infty\)) et tableau de variations. La partie B s’intéresse à la suite d’intégrales \(I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x\) : interprétation en termes d’aire, conjectures lues sur le graphique, sens de variation obtenu par la positivité de l’intégrale, convergence d’une suite décroissante minorée, puis calcul exact de \(I_n\) à l’aide d’une primitive et détermination de sa limite. Chaque réponse est justifiée pas à pas, comme on l’attend le jour de l’épreuve.
Corrigé bac 2014 : organisation du corrigé
Avant tout, ce corrigé bac 2014 reprend le bac S de mathématiques 2014 en France (exercice 1) et détaille la démarche attendue à chaque question. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction exponentielle, la dérivation, les limites et le calcul intégral. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonctions exponentielles, suite d’intégrales – 5 points
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(f_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_n(x) = x + \mathrm{e}^{-nx}\) et \(\mathcal{C}_n\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A
1. On demande de justifier que la courbe \(\mathcal{C}_1\) passe par le point \(A(0\,;\,1)\).
Le point \(A\) appartient à \(\mathcal{C}_1\) si et seulement si \(f_1(0) = 1\). Or
\[ f_1(0) = 0 + \mathrm{e}^{-0} = 0 + 1 = 1. \]
La courbe \(\mathcal{C}_1\) passe donc bien par le point \(A(0\,;\,1)\).
2. On demande le tableau de variations de \(f_1\), limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) comprises.
Dérivée. \(f_1(x) = x + \mathrm{e}^{-x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables, et pour tout réel \(x\) :
\[ f_1^{\prime}(x) = 1 – \mathrm{e}^{-x}. \]
La fonction exponentielle étant strictement croissante :
\[ f_1^{\prime}(x) \gt 0 \iff \mathrm{e}^{-x} \lt 1 = \mathrm{e}^{0} \iff -x \lt 0 \iff x \gt 0. \]
De même \(f_1^{\prime}(x) \lt 0 \iff x \lt 0\) et \(f_1^{\prime}(0) = 0\). Ainsi \(f_1\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(f_1(0) = 1\).
Limite en \(+\infty\). \(\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0\), donc par somme :
\[ \lim_{x \to +\infty} f_1(x) = +\infty. \]
Limite en \(-\infty\). On a \(\lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-x} = +\infty\) : c’est une forme indéterminée. On factorise par \(\mathrm{e}^{-x}\) :
\[ f_1(x) = \mathrm{e}^{-x}(x\,\mathrm{e}^{x} + 1). \]
D’après le cours (croissances comparées), \(\lim\limits_{x \to -\infty} x\,\mathrm{e}^{x} = 0\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} (x\,\mathrm{e}^{x} + 1) = 1\). Comme \(\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-x} = +\infty\), par produit :
\[ \lim_{x \to -\infty} f_1(x) = +\infty. \]
Tableau de variations de \(f_1\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(f_1^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f_1(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Partie B
On note \(D\) la droite d’équation \(x = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), on pose
\[ I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 (x + \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x. \]
1. a) On demande une interprétation géométrique de \(I_n\).
Pour tout \(x\) de \([0\,;\,1]\), \(x \geq\, 0\) et \(\mathrm{e}^{-nx} \gt 0\), donc \(f_n(x) \gt 0\) : la fonction \(f_n\) est continue et positive sur \([0\,;\,1]\). Par conséquent, \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite \(D\).
1. b) On demande de conjecturer, à l’aide du graphique, le sens de variation de \((I_n)\) et sa limite.
Quand \(n\) augmente, les courbes \(\mathcal{C}_n\) se placent les unes sous les autres sur \([0\,;\,1]\) : l’aire sous la courbe diminue. On conjecture que la suite \((I_n)\) est décroissante.
Pour \(n\) grand (voir \(\mathcal{C}_{60}\)), la courbe se confond presque avec la droite d’équation \(y = x\) sur \([0\,;\,1]\), sauf tout près de 0. L’aire devrait donc s’approcher de l’aire du triangle sous cette droite, soit \(\int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\). On conjecture que \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = \dfrac{1}{2}\).
Exercice 1 du corrigé bac 2014, partie B : question 2
2. On demande de démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1} – I_n = \int_0^1 \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\mathrm{d}x\), d’en déduire le signe de \(I_{n+1} – I_n\), puis de démontrer que la suite \((I_n)\) est convergente.
Égalité. Par linéarité de l’intégrale :
\[ I_{n+1} – I_n = \int_0^1 (x + \mathrm{e}^{-(n+1)x} – x – \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x = \int_0^1 (\mathrm{e}^{-(n+1)x} – \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x. \]
Or \(\mathrm{e}^{-nx} = \mathrm{e}^{-(n+1)x + x} = \mathrm{e}^{-(n+1)x} \times \mathrm{e}^{x}\), donc \(\mathrm{e}^{-(n+1)x} – \mathrm{e}^{-nx} = \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\) et :
\[ I_{n+1} – I_n = \int_0^1 \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\mathrm{d}x. \]
Signe. Pour \(x \in [0\,;\,1]\), on a \(x \geq\, 0\) donc, la fonction exponentielle étant croissante, \(\mathrm{e}^{x} \geq\, \mathrm{e}^{0} = 1\), c’est-à-dire \(1 – \mathrm{e}^{x} \leq\, 0\). De plus \(\mathrm{e}^{-(n+1)x} \gt 0\). Le produit \(\mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 – \mathrm{e}^{x})\) est donc négatif ou nul sur \([0\,;\,1]\), et comme \(0 \lt 1\), par positivité de l’intégrale :
\[ I_{n+1} – I_n \leq\, 0. \]
La suite \((I_n)\) est donc décroissante, ce qui confirme la première conjecture.
Convergence. On a vu en 1. a) que \(f_n(x) \gt 0\) pour tout \(x\) de \([0\,;\,1]\) ; par positivité de l’intégrale, \(I_n \geq\, 0\) pour tout entier naturel \(n\). La suite \((I_n)\) est décroissante et minorée par 0 : d’après le théorème de convergence monotone, la suite \((I_n)\) est convergente.
Exercice 1, partie B : question 3
3. On demande l’expression de \(I_n\) en fonction de \(n\), puis la limite de la suite \((I_n)\).
Cas \(n = 0\). \(f_0(x) = x + \mathrm{e}^{0} = x + 1\), donc
\[ I_0 = \int_0^1 (x + 1)\,\mathrm{d}x = [\frac{x^2}{2} + x]_0^1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}. \]
Cas \(n \geq\, 1\). Une primitive de \(x \mapsto \mathrm{e}^{-nx}\) est \(x \mapsto -\dfrac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}\) (car la dérivée de \(\mathrm{e}^{-nx}\) est \(-n\,\mathrm{e}^{-nx}\)). Donc :
\[ I_n = [\frac{x^2}{2} – \frac{1}{n}\mathrm{e}^{-nx}]_0^1 = (\frac{1}{2} – \frac{1}{n}\mathrm{e}^{-n}) – (0 – \frac{1}{n}\mathrm{e}^{0}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{n} – \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n}. \]
Pour tout \(n \geq\, 1\) : \(I_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 – \mathrm{e}^{-n}}{n}\), et \(I_0 = \dfrac{3}{2}\).
Par exemple \(I_1 = \dfrac{3}{2} – \mathrm{e}^{-1} \approx 1{,}132\), \(I_2 \approx 0{,}932\) et \(I_{60} \approx 0{,}517\), valeurs cohérentes avec une suite décroissante.
Limite. \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{-n}}{n} = 0\) par produit. Par somme :
\[ \lim_{n \to +\infty} I_n = \frac{1}{2}. \]
La suite \((I_n)\) converge vers \(\dfrac{1}{2}\), ce qui confirme la conjecture de la question 1. b) : l’aire sous \(\mathcal{C}_n\) tend vers l’aire du triangle situé sous la droite d’équation \(y = x\) entre 0 et 1.
Comment réviser avec ce corrigé bac 2014
Pour commencer, reprenez l’énoncé du sujet et cherchez chaque exercice seul, au brouillon puis au propre. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou la dérivation. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les pièges classiques
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
- Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
Corrigé bac 2014 : vos questions
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction exponentielle, la dérivation et les limites, mais aussi le calcul intégral.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
