Corrigé Nord 2026 : organisation du corrigé
Avant tout, ce corrigé Nord 2026 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2026 en Amérique du Nord (jour 2) et détaille la démarche attendue à chaque question. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, le calcul intégral et les limites. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. On lit \(P(A) = 0{,}6\), donc \(P(B) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4\). La phrase « parmi les tomates provenant de A, 95 % sont commercialisables » donne une probabilité conditionnelle : \(P_A(C) = 0{,}95\), d’où \(P_A(\overline{C}) = 0{,}05\).
L’arbre complété porte : 0,6 sur la branche vers \(A\), 0,4 sur la branche vers \(B\), 0,95 sur \(A \to C\) et 0,05 sur \(A \to \overline{C}\). Les branches issues de \(B\) ne sont pas demandées ; on les obtient au 2. b.
2. a. On suit le chemin \(A\) puis \(C\) :
\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}6 \times 0{,}95 = 0{,}57.\]
La probabilité cherchée est 0,57.
b. L’énoncé donne \(P(C) = 0{,}91\). Comme \(A\) et \(B\) forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne :
\[P(C) = P(A \cap C) + P(B) \times P_B(C), \quad \text{soit} \quad 0{,}91 = 0{,}57 + 0{,}4 \times P_B(C).\]
On en tire \(0{,}4 \times P_B(C) = 0{,}34\), donc \(P_B(C) = \dfrac{0{,}34}{0{,}4} = 0{,}85\).
c. On sait que la tomate n’est pas commercialisable : il faut comparer \(P_{\overline{C}}(A)\) et \(P_{\overline{C}}(B)\). D’abord \(P(\overline{C}) = 1 – 0{,}91 = 0{,}09\), puis :
\[P(A \cap \overline{C}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03 \qquad P(B \cap \overline{C}) = 0{,}4 \times 0{,}15 = 0{,}06.\]
\[P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{0{,}03}{0{,}09} = \dfrac{1}{3} \qquad P_{\overline{C}}(B) = \dfrac{0{,}06}{0{,}09} = \dfrac{2}{3}.\]
On a bien \(P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{1}{2} P_{\overline{C}}(B)\) : une tomate abîmée a deux fois moins de chances de venir de A que de B. Le responsable a raison.
Partie B
1. a. On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, l’épreuve « prendre une tomate » dont le succès « la tomate n’est pas commercialisable » a une probabilité de 0,09 ; \(X\) compte les succès. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 15\) et \(p = 0{,}09\).
b. Avec la formule de la loi binomiale :
\[P(X = 2) = \binom\,{15}{2} \times 0{,}09^2 \times 0{,}91^{13} = 105 \times 0{,}0081 \times 0{,}91^{13} \approx 0{,}250.\]
La probabilité qu’exactement deux tomates soient non commercialisables est d’environ 0,250.
c. « Au plus deux » signifie \(X \leq\, 2\) :
\[P(X \leq\, 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0{,}2430 + 0{,}3605 + 0{,}2496 \approx 0{,}853.\]
La probabilité qu’au plus deux tomates soient non commercialisables est d’environ 0,853 (fonction de répartition de la calculatrice).
2. a. Pour la loi binomiale, \(E(X_n) = np = 0{,}09n\) et \(V(X_n) = np(1-p) = 0{,}09 \times 0{,}91 \times n = 0{,}0819n\). Comme \(F_n = \dfrac{1}{n}X_n\), on utilise \(E(aX) = aE(X)\) et \(V(aX) = a^2V(X)\) :
\[E(F_n) = \dfrac{1}{n} \times 0{,}09n = 0{,}09 \qquad V(F_n) = \dfrac{1}{n^2} \times 0{,}0819n = \dfrac{0{,}0819}{n}.\]
Donc \(E(F_n) = 0{,}09\) et \(V(F_n) = \dfrac{0{,}0819}{n}\).
b. L’intervalle \(]0{,}04\,;0{,}14[\) est centré sur \(E(F_n) = 0{,}09\) avec un rayon de 0,05 :
\[0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14 \iff |F_n – 0{,}09| \lt 0{,}05.\]
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(F_n\) avec \(\delta = 0{,}05\) donne :
\[P(|F_n – 0{,}09| \geq\, 0{,}05) \leq\, \dfrac{V(F_n)}{0{,}05^2} = \dfrac{0{,}0819}{0{,}0025\,n} = \dfrac{32{,}76}{n}.\]
En passant à l’évènement contraire :
\[P(0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14) = 1 – P(|F_n – 0{,}09| \geq\, 0{,}05) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{n}.\]
c. Pour \(n = 500\), la minoration donne \(P(0{,}04 \lt F_{500} \lt 0{,}14) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{500} = 0{,}93448\). Il y a donc au moins 93,4 % de chances que la fréquence observée tombe entre 0,04 et 0,14.
La fréquence observée est \(\dfrac{55}{500} = 0{,}11\), qui appartient bien à \(]0{,}04\,;0{,}14[\). Le résultat est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.
Exercice 2 :
Partie A : étude du sens de variation d’une fonction
1. Pour tout réel \(x\), on met \(x\) en facteur :
\[f(x) = x \iff \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}} – x = 0 \iff x(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} – 1) = 0.\]
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
- soit \(x = 0\) ;
- soit \(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} = 1\), c’est-à-dire \(\sqrt{1+x^2} = 2\), soit \(1 + x^2 = 4\) (les deux membres étant positifs), donc \(x^2 = 3\), c’est-à-dire \(x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\).
L’ensemble des solutions est \(\{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}\).
2. a. On dérive un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = 2x\), \(u^{\prime}(x) = 2\), \(v(x) = \sqrt{1+x^2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) :
\[f^{\prime}(x) = \dfrac{2\sqrt{1+x^2} – 2x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}.\]
On réduit le numérateur au même dénominateur \(\sqrt{1+x^2}\) :
\[2\sqrt{1+x^2} – \dfrac{2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2(1+x^2) – 2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}.\]
Donc \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\) pour tout réel \(x\).
b. Pour tout réel \(x\), \(1 + x^2 \gt 0\) et \(\sqrt{1+x^2} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Partie B : étude de la convergence d’une suite récurrente
1. On note \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\) ».
Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\). On a bien \(1 \leq\, 1 \leq\, \sqrt{2} \lt \sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve donc l’ordre (et les inégalités strictes) :
\[f(1) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \lt f(\sqrt{3}).\]
Or \(f(1) = \sqrt{2} \geq\, 1\), \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(\sqrt{3}) = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \sqrt{3}\) (on savait déjà que \(\sqrt{3}\) est un point fixe). On obtient \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \lt \sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\).
2. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n \leq\, u_{n+1}\)) et majorée par \(\sqrt{3}\) : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\), et en passant à la limite dans \(1 \leq\, u_n \lt \sqrt{3}\), on a \(1 \leq\, \ell \leq\, \sqrt{3}\).
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (car dérivable). En passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), on obtient \(\ell = f(\ell)\) : \(\ell\) est une solution de l’équation résolue en A.1, donc \(\ell \in \{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}\). La seule de ces valeurs supérieure ou égale à 1 est \(\sqrt{3}\). Donc \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{3}\).
Exercice 2 du corrigé Nord 2026, partie B : question 3
3. a. Premier terme : \(v_0 = \dfrac{1}{3 – 1} = \dfrac{1}{2}\). On calcule \(u_{n+1}^2 = \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}\), puis :
\[3 – u_{n+1}^2 = \dfrac{3(1+u_n^2) – 4u_n^2}{1+u_n^2} = \dfrac{3 – u_n^2}{1+u_n^2}.\]
En faisant le quotient, les dénominateurs \(1 + u_n^2\) se simplifient :
\[v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}^2}{3 – u_{n+1}^2} = \dfrac{4u_n^2}{3 – u_n^2} = 4v_n.\]
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 4 et de premier terme \(v_0 = 0{,}5\).
b. On en déduit, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = 0{,}5 \times 4^n\).
Pour exprimer \(u_n\), on isole \(u_n^2\) dans la définition de \(v_n\) (avec \(3 – u_n^2 \gt 0\)) :
\[v_n(3 – u_n^2) = u_n^2 \iff 3v_n = u_n^2(1 + v_n) \iff u_n^2 = \dfrac{3v_n}{1 + v_n}.\]
Comme \(u_n \geq\, 1 \gt 0\), on prend la racine positive et on remplace \(v_n\) :
\[u_n = \sqrt{\dfrac{3 \times 0{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}} = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}.\]
c. On divise numérateur et dénominateur par \(4^n\) :
\[u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5}{\dfrac{1}{4^n} + 0{,}5}}.\]
Comme \(4 \gt 1\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} 4^n = +\infty\), donc \(\dfrac{1}{4^n} \to 0\) et la fraction tend vers \(\dfrac{1{,}5}{0{,}5} = 3\). La fonction racine carrée étant continue en 3, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}\) : on retrouve le résultat du 2.
Partie C : étude de la convergence de la somme de termes
1. La variable u part de \(u_0 = 1\). À chaque tour, on ajoute d’abord \(u^2\) à la somme (ce qui fournit \(S_1\), puis \(S_2\), etc.), puis on passe au terme suivant avec \(u_{k+1} = \dfrac{2u_k}{\sqrt{1+u_k^2}}\) ; la fonction sqrt vient du module math.
from math import*
def termes(p) :
u = 1
S=0
L= [ ]
for i in range(p) :
S=S+u**2
u= 2*u/sqrt(1+u**2)
L.append(S)
return L
Par exemple, termes(3) renvoie environ [1, 3.0, 5.667], c’est-à-dire \(S_1 = 1\), \(S_2 = 1 + 2 = 3\) et \(S_3 = 3 + \dfrac{8}{3}\).
2. Pour tout entier naturel \(k\), \(1 \leq\, u_k \leq\, \sqrt{3}\) ; ces nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc \(1 \leq\, u_k^2 \leq\, 3\). En additionnant ces \(n\) encadrements pour \(k\) allant de 0 à \(n – 1\) :
\[n \times 1 \leq\, u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2 \leq\, n \times 3.\]
Donc \(n \leq\, S_n \leq\, 3n\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
3. Comme \(S_n \geq\, n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty\), le théorème de comparaison donne \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty\).
En divisant l’encadrement par \(n^2 \gt 0\) : \(\dfrac{1}{n} \leq\, \dfrac{S_n}{n^2} \leq\, \dfrac{3}{n}\). Les deux bornes tendent vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n^2} = 0\).
Exercice 3 :
1. Pour \(t = 0\), la représentation donne \((1\,;1\,;1)\) : C appartient à \(\Delta\). Pour A\((4\,;2\,;2)\), il faudrait un même \(t\) vérifiant \(4 = 1 + 2t\), \(2 = 1 + t\) et \(2 = 1 + 2t\). La première équation donne \(t = 1{,}5\) et la deuxième \(t = 1\) : c’est impossible, donc A n’appartient pas à \(\Delta\).
2. a. Le plan \(\mathcal{P}\) est perpendiculaire à \(\Delta\), donc un vecteur directeur de \(\Delta\), \(\vec{u}(2\,;1\,;2)\), est normal à \(\mathcal{P}\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est de la forme \(2x + y + 2z + d = 0\). Le point A est dans \(\mathcal{P}\) : \(8 + 2 + 4 + d = 0\), d’où \(d = -14\). Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x + y + 2z – 14 = 0\).
b. Pour B : \(2 \times 5 + (-2) + 2 \times 3 – 14 = 10 – 2 + 6 – 14 = 0\), donc B appartient à \(\mathcal{P}\). Pour C : \(2 + 1 + 2 – 14 = -9 \neq 0\), donc C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\).
3. a. Deux conditions sont à vérifier.
- D est dans \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 3 + 2 + 2 \times 3 – 14 = 6 + 2 + 6 – 14 = 0\).
- La droite (CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\) : \(\vec{\text{CD}}(3 – 1\,;2 – 1\,;3 – 1) = (2\,;1\,;2)\), qui est exactement le vecteur normal \(\vec{u}\).
Exercice 3 du corrigé Nord 2026 (suite)
D est donc le point du plan \(\mathcal{P}\) tel que (CD) soit perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) : D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\). (On peut aussi remarquer que D est le point de \(\Delta\) de paramètre \(t = 1\) : \(\Delta\) est la perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) passant par C.)
b. Les points A, B et D sont dans \(\mathcal{P}\). Ils ne sont pas alignés, car \(\vec{\text{AB}}(1\,;-4\,;1)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1\,;0\,;1)\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AD}}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{\text{AB}}\)). Le plan (ABD) est donc le plan \(\mathcal{P}\). Comme C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\), les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
c. Dans le repère orthonormé :
\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}} = 1 \times (-1) + (-4) \times 0 + 1 \times 1 = 0.\]
Donc \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}} = 0\) : le triangle ABD est rectangle en A.
d. On prend pour base le triangle ABD, rectangle en A, avec \(\text{AB} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) et \(\text{AD} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\) :
\[\mathcal{A}_{\text{ABD}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = 3.\]
La hauteur relative à cette base est la distance de C au plan (ABD) \(= \mathcal{P}\), c’est-à-dire \(\text{CD} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = 3\), puisque D est le projeté orthogonal de C sur ce plan.
\[V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3 = 3.\]
Le volume du tétraèdre ABCD est 3 unités de volume.
Exercice 3 du corrigé Nord 2026 : question 4
4. a. On note \(\text{H}(\dfrac{73}{29}\,;\dfrac{-4}{29}\,;\dfrac{51}{29})\) et on vérifie les deux propriétés qui caractérisent le projeté orthogonal de A sur (BC).
- H est sur (BC) : \(\vec{\text{BC}}(-4\,;3\,;-2)\) et \(\vec{\text{BH}}(\dfrac{73 – 145}{29}\,;\dfrac{-4 + 58}{29}\,;\dfrac{51 – 87}{29}) = (\dfrac{-72}{29}\,;\dfrac{54}{29}\,;\dfrac{-36}{29}) = \dfrac{18}{29}\vec{\text{BC}}\) : les vecteurs sont colinéaires.
- (AH) est orthogonale à (BC) : \(\vec{\text{AH}}(\dfrac{-43}{29}\,;\dfrac{-62}{29}\,;\dfrac{-7}{29})\) et \(\vec{\text{AH}} \cdot \vec{\text{BC}} = \dfrac{172 – 186 + 14}{29} = 0\).
H est bien le projeté orthogonal de A sur (BC).
b. [AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. On calcule :
\[\text{BC}^2 = 16 + 9 + 4 = 29 \qquad \text{AH}^2 = \dfrac{43^2 + 62^2 + 7^2}{29^2} = \dfrac{1849 + 3844 + 49}{841} = \dfrac{5742}{841} = \dfrac{198}{29}.\]
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{29 \times \dfrac{198}{29}} = \dfrac{\sqrt{198}}{2} = \dfrac{\sqrt{9 \times 22}}{2} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}.\]
L’aire du triangle ABC est bien \(\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\) unités d’aire.
c. On exprime le volume du même tétraèdre en prenant cette fois ABC pour base ; la hauteur associée est la distance \(d\) de D au plan (ABC) :
\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \times d = \dfrac{\sqrt{22}}{2}\,d = 3 \iff d = \dfrac{6}{\sqrt{22}} = \dfrac{6\sqrt{22}}{22} = \dfrac{3\sqrt{22}}{11}.\]
La distance du point D au plan (ABC) est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{11} \approx 1{,}28\).
Exercice 4 :
1. Quand \(x \to +\infty\), \(\ln x \to +\infty\), donc \((\ln x)^2 \to +\infty\), et \(x \to +\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2. a. Pour \(x \gt 0\), \(\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln x\), donc \(g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2}\ln x\). En élevant au carré, avec \((\sqrt{x})^2 = x\) :
\[4(g(\sqrt{x}))^2 = 4 \times x \times \dfrac{1}{4}(\ln x)^2 = x(\ln x)^2 = f(x).\]
b. En 0 (par valeurs supérieures), \(f(x)\) est une forme indéterminée « \(0 \times \infty\) ». Avec l’écriture du a : \(\sqrt{x} \to 0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{X \to 0} X\ln X = 0\). Par composition, \(g(\sqrt{x}) \to 0\), puis \(4(g(\sqrt{x}))^2 \to 0\). Donc \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).
3. a. \(f\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x\) (dérivée de \(w^2\) : \(2w^{\prime}w\)). Ainsi :
\[f^{\prime}(x) = (\ln x)^2 + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = (\ln x)(2 + \ln x).\]
b. On étudie le signe de chaque facteur :
- \(\ln x \gt 0 \iff x \gt 1\), et \(\ln 1 = 0\) ;
- \(2 + \ln x \gt 0 \iff \ln x \gt -2 \iff x \gt \text{e}^{-2}\), et \(2 + \ln(\text{e}^{-2}) = 0\).
Valeurs utiles : \(f(\text{e}^{-2}) = \text{e}^{-2} \times (-2)^2 = 4\text{e}^{-2}\) et \(f(1) = 0\).
| \(x\) | 0 | \(\text{e}^{-2}\) | 1 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(\ln x\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) | |||
| Signe de \(2 + \ln x\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | |||
| Signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Variations de \(f\) | (limite 0) | croissante | \(4\text{e}^{-2}\) | décroissante | 0 | croissante | \(+\infty\) |
Exercice 4 du corrigé Nord 2026 : questions 4 à 5
\(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\text{e}^{-2}]\), strictement décroissante sur \([\text{e}^{-2}\,;1]\) et strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).
c. Sur \(]0\,;1]\), \(f\) monte jusqu’en \(\text{e}^{-2}\) puis redescend jusqu’à 0 : son maximum est atteint en \(\text{e}^{-2}\) et vaut \(4\text{e}^{-2}\) (environ 0,54).
4. a. On sépare l’intervalle en deux.
- Sur \(]0\,;1]\) : \(f(x) \leq\, 4\text{e}^{-2} \approx 0{,}54 \lt 2\), donc l’équation \(f(x) = 2\) n’a aucune solution.
- Sur \([1\,;+\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(f(1) = 0 \lt 2\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution sur cet intervalle.
Au total, l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;+\infty[\), et \(\alpha \gt 1\).
b. À la calculatrice : \(f(2{,}4) \approx 1{,}839 \lt 2\) et \(f(2{,}5) \approx 2{,}099 \gt 2\). Par stricte croissance de \(f\) sur \([1\,;+\infty[\), \(2{,}4 \lt \alpha \lt 2{,}5\) (on trouve \(\alpha \approx 2{,}46\)).
5. a. Sur \([a\,;1]\), \(f(x) = x(\ln x)^2 \geq\, 0\) et \(f\) est continue. L’intégrale \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\) est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = 1\).
b. On intègre par parties en posant \(u^{\prime}(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\), soit \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([a\,;1]\).
\[\displaystyle\int_a^1 x(\ln x)^2\,\text{d}x = [\dfrac{x^2}{2}(\ln x)^2]_a^1 – \displaystyle\int_a^1 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{2\ln x}{x}\,\text{d}x.\]
Exercice 4 (suite)
Le crochet vaut \(\dfrac{1}{2} \times 0 – \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2\) car \(\ln 1 = 0\), et l’intégrande se simplifie en \(x\ln x\). D’où :
\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 – \displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x.\]
c. Nouvelle intégration par parties avec \(u^{\prime}(x) = x\), \(v(x) = \ln x\), donc \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\) :
\[\displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x = [\dfrac{x^2}{2}\ln x]_a^1 – \displaystyle\int_a^1 \dfrac{x}{2}\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}\ln a – [\dfrac{x^2}{4}]_a^1 = -\dfrac{a^2}{2}\ln a – \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^2}{4}.\]
En reportant dans le résultat du b (attention au signe moins devant l’intégrale) :
\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]
d. On fait apparaître \(a\ln a\), dont la limite en 0 est connue (croissances comparées : \(\lim\limits_{a \to 0} a\ln a = 0\)) :
\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{1}{2}(a\ln a)^2 + \dfrac{a}{2} \times a\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]
Quand \(a \to 0\) : \((a\ln a)^2 \to 0\), \(\dfrac{a}{2} \times a\ln a \to 0 \times 0 = 0\) et \(\dfrac{a^2}{4} \to 0\). Par somme :
\[\lim\limits_{a \to 0} \displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = \dfrac{1}{4}.\]
La limite vaut \(\dfrac{1}{4}\) : l’aire sous la courbe entre 0 et 1, bien que le domaine touche le bord de l’ensemble de définition, est finie et égale à un quart d’unité d’aire.
Comment réviser avec ce corrigé Nord 2026
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou la fonction exponentielle, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction logarithme.
Les pièges classiques
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.
Corrigé Nord 2026 : questions fréquentes
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et le calcul intégral, mais aussi les limites.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
En outre, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2026 en Amérique du Nord (jour 2) : sujet et corrigé.
