Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. On lit \(P(A) = 0{,}6\), donc \(P(B) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4\). La phrase « parmi les tomates provenant de A, 95 % sont commercialisables » donne une probabilité conditionnelle : \(P_A(C) = 0{,}95\), d’où \(P_A(\overline{C}) = 0{,}05\).
L’arbre complété porte : 0,6 sur la branche vers \(A\), 0,4 sur la branche vers \(B\), 0,95 sur \(A \to C\) et 0,05 sur \(A \to \overline{C}\). Les branches issues de \(B\) ne sont pas demandées ; on les obtient au 2. b.
2. a. On suit le chemin \(A\) puis \(C\) :
\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}6 \times 0{,}95 = 0{,}57.\]
La probabilité cherchée est 0,57.
b. L’énoncé donne \(P(C) = 0{,}91\). Comme \(A\) et \(B\) forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne :
\[P(C) = P(A \cap C) + P(B) \times P_B(C), \quad \text{soit} \quad 0{,}91 = 0{,}57 + 0{,}4 \times P_B(C).\]
On en tire \(0{,}4 \times P_B(C) = 0{,}34\), donc \(P_B(C) = \dfrac{0{,}34}{0{,}4} = 0{,}85\).
c. On sait que la tomate n’est pas commercialisable : il faut comparer \(P_{\overline{C}}(A)\) et \(P_{\overline{C}}(B)\). D’abord \(P(\overline{C}) = 1 – 0{,}91 = 0{,}09\), puis :
\[P(A \cap \overline{C}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03 \qquad P(B \cap \overline{C}) = 0{,}4 \times 0{,}15 = 0{,}06.\]
\[P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{0{,}03}{0{,}09} = \dfrac{1}{3} \qquad P_{\overline{C}}(B) = \dfrac{0{,}06}{0{,}09} = \dfrac{2}{3}.\]
On a bien \(P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{1}{2} P_{\overline{C}}(B)\) : une tomate abîmée a deux fois moins de chances de venir de A que de B. Le responsable a raison.
Partie B
1. a. On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, l’épreuve « prendre une tomate » dont le succès « la tomate n’est pas commercialisable » a une probabilité de 0,09 ; \(X\) compte les succès. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 15\) et \(p = 0{,}09\).
b. Avec la formule de la loi binomiale :
\[P(X = 2) = \binom\,{15}{2} \times 0{,}09^2 \times 0{,}91^{13} = 105 \times 0{,}0081 \times 0{,}91^{13} \approx 0{,}250.\]
La probabilité qu’exactement deux tomates soient non commercialisables est d’environ 0,250.
c. « Au plus deux » signifie \(X \leq\, 2\) :
\[P(X \leq\, 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0{,}2430 + 0{,}3605 + 0{,}2496 \approx 0{,}853.\]
La probabilité qu’au plus deux tomates soient non commercialisables est d’environ 0,853 (fonction de répartition de la calculatrice).
2. a. Pour la loi binomiale, \(E(X_n) = np = 0{,}09n\) et \(V(X_n) = np(1-p) = 0{,}09 \times 0{,}91 \times n = 0{,}0819n\). Comme \(F_n = \dfrac{1}{n}X_n\), on utilise \(E(aX) = aE(X)\) et \(V(aX) = a^2V(X)\) :
\[E(F_n) = \dfrac{1}{n} \times 0{,}09n = 0{,}09 \qquad V(F_n) = \dfrac{1}{n^2} \times 0{,}0819n = \dfrac{0{,}0819}{n}.\]
Donc \(E(F_n) = 0{,}09\) et \(V(F_n) = \dfrac{0{,}0819}{n}\).
b. L’intervalle \(]0{,}04\,;0{,}14[\) est centré sur \(E(F_n) = 0{,}09\) avec un rayon de 0,05 :
\[0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14 \iff |F_n – 0{,}09| \lt 0{,}05.\]
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(F_n\) avec \(\delta = 0{,}05\) donne :
\[P(|F_n – 0{,}09| \geq\, 0{,}05) \leq\, \dfrac{V(F_n)}{0{,}05^2} = \dfrac{0{,}0819}{0{,}0025\,n} = \dfrac{32{,}76}{n}.\]
En passant à l’évènement contraire :
\[P(0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14) = 1 – P(|F_n – 0{,}09| \geq\, 0{,}05) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{n}.\]
c. Pour \(n = 500\), la minoration donne \(P(0{,}04 \lt F_{500} \lt 0{,}14) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{500} = 0{,}93448\). Il y a donc au moins 93,4 % de chances que la fréquence observée tombe entre 0,04 et 0,14.
La fréquence observée est \(\dfrac{55}{500} = 0{,}11\), qui appartient bien à \(]0{,}04\,;0{,}14[\). Le résultat est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.
Exercice 2 :
Partie A : étude du sens de variation d’une fonction
1. Pour tout réel \(x\), on met \(x\) en facteur :
\[f(x) = x \iff \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}} – x = 0 \iff x(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} – 1) = 0.\]
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
- soit \(x = 0\) ;
- soit \(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} = 1\), c’est-à-dire \(\sqrt{1+x^2} = 2\), soit \(1 + x^2 = 4\) (les deux membres étant positifs), donc \(x^2 = 3\), c’est-à-dire \(x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\).
L’ensemble des solutions est \(\{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}\).
2. a. On dérive un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = 2x\), \(u^{\prime}(x) = 2\), \(v(x) = \sqrt{1+x^2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) :
\[f^{\prime}(x) = \dfrac{2\sqrt{1+x^2} – 2x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}.\]
On réduit le numérateur au même dénominateur \(\sqrt{1+x^2}\) :
\[2\sqrt{1+x^2} – \dfrac{2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2(1+x^2) – 2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}.\]
Donc \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\) pour tout réel \(x\).
b. Pour tout réel \(x\), \(1 + x^2 \gt 0\) et \(\sqrt{1+x^2} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Partie B : étude de la convergence d’une suite récurrente
1. On note \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\) ».
Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\). On a bien \(1 \leq\, 1 \leq\, \sqrt{2} \lt \sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve donc l’ordre (et les inégalités strictes) :
\[f(1) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \lt f(\sqrt{3}).\]
Or \(f(1) = \sqrt{2} \geq\, 1\), \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(\sqrt{3}) = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \sqrt{3}\) (on savait déjà que \(\sqrt{3}\) est un point fixe). On obtient \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \lt \sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\).
2. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n \leq\, u_{n+1}\)) et majorée par \(\sqrt{3}\) : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\), et en passant à la limite dans \(1 \leq\, u_n \lt \sqrt{3}\), on a \(1 \leq\, \ell \leq\, \sqrt{3}\).
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (car dérivable). En passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), on obtient \(\ell = f(\ell)\) : \(\ell\) est une solution de l’équation résolue en A.1, donc \(\ell \in \{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}\). La seule de ces valeurs supérieure ou égale à 1 est \(\sqrt{3}\). Donc \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{3}\).
3. a. Premier terme : \(v_0 = \dfrac{1}{3 – 1} = \dfrac{1}{2}\). On calcule \(u_{n+1}^2 = \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}\), puis :
\[3 – u_{n+1}^2 = \dfrac{3(1+u_n^2) – 4u_n^2}{1+u_n^2} = \dfrac{3 – u_n^2}{1+u_n^2}.\]
En faisant le quotient, les dénominateurs \(1 + u_n^2\) se simplifient :
\[v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}^2}{3 – u_{n+1}^2} = \dfrac{4u_n^2}{3 – u_n^2} = 4v_n.\]
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 4 et de premier terme \(v_0 = 0{,}5\).
b. On en déduit, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = 0{,}5 \times 4^n\).
Pour exprimer \(u_n\), on isole \(u_n^2\) dans la définition de \(v_n\) (avec \(3 – u_n^2 \gt 0\)) :
\[v_n(3 – u_n^2) = u_n^2 \iff 3v_n = u_n^2(1 + v_n) \iff u_n^2 = \dfrac{3v_n}{1 + v_n}.\]
Comme \(u_n \geq\, 1 \gt 0\), on prend la racine positive et on remplace \(v_n\) :
\[u_n = \sqrt{\dfrac{3 \times 0{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}} = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}.\]
c. On divise numérateur et dénominateur par \(4^n\) :
\[u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5}{\dfrac{1}{4^n} + 0{,}5}}.\]
Comme \(4 \gt 1\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} 4^n = +\infty\), donc \(\dfrac{1}{4^n} \to 0\) et la fraction tend vers \(\dfrac{1{,}5}{0{,}5} = 3\). La fonction racine carrée étant continue en 3, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}\) : on retrouve le résultat du 2.
Partie C : étude de la convergence de la somme de termes
1. La variable u part de \(u_0 = 1\). À chaque tour, on ajoute d’abord \(u^2\) à la somme (ce qui fournit \(S_1\), puis \(S_2\), etc.), puis on passe au terme suivant avec \(u_{k+1} = \dfrac{2u_k}{\sqrt{1+u_k^2}}\) ; la fonction sqrt vient du module math.
from math import*
def termes(p) :
u = 1
S=0
L= [ ]
for i in range(p) :
S=S+u**2
u= 2*u/sqrt(1+u**2)
L.append(S)
return L
Par exemple, termes(3) renvoie environ [1, 3.0, 5.667], c’est-à-dire \(S_1 = 1\), \(S_2 = 1 + 2 = 3\) et \(S_3 = 3 + \dfrac{8}{3}\).
2. Pour tout entier naturel \(k\), \(1 \leq\, u_k \leq\, \sqrt{3}\) ; ces nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc \(1 \leq\, u_k^2 \leq\, 3\). En additionnant ces \(n\) encadrements pour \(k\) allant de 0 à \(n – 1\) :
\[n \times 1 \leq\, u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2 \leq\, n \times 3.\]
Donc \(n \leq\, S_n \leq\, 3n\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
3. Comme \(S_n \geq\, n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty\), le théorème de comparaison donne \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty\).
En divisant l’encadrement par \(n^2 \gt 0\) : \(\dfrac{1}{n} \leq\, \dfrac{S_n}{n^2} \leq\, \dfrac{3}{n}\). Les deux bornes tendent vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n^2} = 0\).
Exercice 3 :
1. Pour \(t = 0\), la représentation donne \((1\,;1\,;1)\) : C appartient à \(\Delta\). Pour A\((4\,;2\,;2)\), il faudrait un même \(t\) vérifiant \(4 = 1 + 2t\), \(2 = 1 + t\) et \(2 = 1 + 2t\). La première équation donne \(t = 1{,}5\) et la deuxième \(t = 1\) : c’est impossible, donc A n’appartient pas à \(\Delta\).
2. a. Le plan \(\mathcal{P}\) est perpendiculaire à \(\Delta\), donc un vecteur directeur de \(\Delta\), \(\vec{u}(2\,;1\,;2)\), est normal à \(\mathcal{P}\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est de la forme \(2x + y + 2z + d = 0\). Le point A est dans \(\mathcal{P}\) : \(8 + 2 + 4 + d = 0\), d’où \(d = -14\). Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x + y + 2z – 14 = 0\).
b. Pour B : \(2 \times 5 + (-2) + 2 \times 3 – 14 = 10 – 2 + 6 – 14 = 0\), donc B appartient à \(\mathcal{P}\). Pour C : \(2 + 1 + 2 – 14 = -9 \neq 0\), donc C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\).
3. a. Deux conditions sont à vérifier.
- D est dans \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 3 + 2 + 2 \times 3 – 14 = 6 + 2 + 6 – 14 = 0\).
- La droite (CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\) : \(\vec{\text{CD}}(3 – 1\,;2 – 1\,;3 – 1) = (2\,;1\,;2)\), qui est exactement le vecteur normal \(\vec{u}\).
D est donc le point du plan \(\mathcal{P}\) tel que (CD) soit perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) : D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\). (On peut aussi remarquer que D est le point de \(\Delta\) de paramètre \(t = 1\) : \(\Delta\) est la perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) passant par C.)
b. Les points A, B et D sont dans \(\mathcal{P}\). Ils ne sont pas alignés, car \(\vec{\text{AB}}(1\,;-4\,;1)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1\,;0\,;1)\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AD}}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{\text{AB}}\)). Le plan (ABD) est donc le plan \(\mathcal{P}\). Comme C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\), les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
c. Dans le repère orthonormé :
\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}} = 1 \times (-1) + (-4) \times 0 + 1 \times 1 = 0.\]
Donc \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}} = 0\) : le triangle ABD est rectangle en A.
d. On prend pour base le triangle ABD, rectangle en A, avec \(\text{AB} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) et \(\text{AD} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\) :
\[\mathcal{A}_{\text{ABD}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = 3.\]
La hauteur relative à cette base est la distance de C au plan (ABD) \(= \mathcal{P}\), c’est-à-dire \(\text{CD} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = 3\), puisque D est le projeté orthogonal de C sur ce plan.
\[V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3 = 3.\]
Le volume du tétraèdre ABCD est 3 unités de volume.
4. a. On note \(\text{H}(\dfrac{73}{29}\,;\dfrac{-4}{29}\,;\dfrac{51}{29})\) et on vérifie les deux propriétés qui caractérisent le projeté orthogonal de A sur (BC).
- H est sur (BC) : \(\vec{\text{BC}}(-4\,;3\,;-2)\) et \(\vec{\text{BH}}(\dfrac{73 – 145}{29}\,;\dfrac{-4 + 58}{29}\,;\dfrac{51 – 87}{29}) = (\dfrac{-72}{29}\,;\dfrac{54}{29}\,;\dfrac{-36}{29}) = \dfrac{18}{29}\vec{\text{BC}}\) : les vecteurs sont colinéaires.
- (AH) est orthogonale à (BC) : \(\vec{\text{AH}}(\dfrac{-43}{29}\,;\dfrac{-62}{29}\,;\dfrac{-7}{29})\) et \(\vec{\text{AH}} \cdot \vec{\text{BC}} = \dfrac{172 – 186 + 14}{29} = 0\).
H est bien le projeté orthogonal de A sur (BC).
b. [AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. On calcule :
\[\text{BC}^2 = 16 + 9 + 4 = 29 \qquad \text{AH}^2 = \dfrac{43^2 + 62^2 + 7^2}{29^2} = \dfrac{1849 + 3844 + 49}{841} = \dfrac{5742}{841} = \dfrac{198}{29}.\]
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{29 \times \dfrac{198}{29}} = \dfrac{\sqrt{198}}{2} = \dfrac{\sqrt{9 \times 22}}{2} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}.\]
L’aire du triangle ABC est bien \(\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\) unités d’aire.
c. On exprime le volume du même tétraèdre en prenant cette fois ABC pour base ; la hauteur associée est la distance \(d\) de D au plan (ABC) :
\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \times d = \dfrac{\sqrt{22}}{2}\,d = 3 \iff d = \dfrac{6}{\sqrt{22}} = \dfrac{6\sqrt{22}}{22} = \dfrac{3\sqrt{22}}{11}.\]
La distance du point D au plan (ABC) est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{11} \approx 1{,}28\).
Exercice 4 :
1. Quand \(x \to +\infty\), \(\ln x \to +\infty\), donc \((\ln x)^2 \to +\infty\), et \(x \to +\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2. a. Pour \(x \gt 0\), \(\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln x\), donc \(g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2}\ln x\). En élevant au carré, avec \((\sqrt{x})^2 = x\) :
\[4(g(\sqrt{x}))^2 = 4 \times x \times \dfrac{1}{4}(\ln x)^2 = x(\ln x)^2 = f(x).\]
b. En 0 (par valeurs supérieures), \(f(x)\) est une forme indéterminée « \(0 \times \infty\) ». Avec l’écriture du a : \(\sqrt{x} \to 0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{X \to 0} X\ln X = 0\). Par composition, \(g(\sqrt{x}) \to 0\), puis \(4(g(\sqrt{x}))^2 \to 0\). Donc \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).
3. a. \(f\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x\) (dérivée de \(w^2\) : \(2w^{\prime}w\)). Ainsi :
\[f^{\prime}(x) = (\ln x)^2 + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = (\ln x)(2 + \ln x).\]
b. On étudie le signe de chaque facteur :
- \(\ln x \gt 0 \iff x \gt 1\), et \(\ln 1 = 0\) ;
- \(2 + \ln x \gt 0 \iff \ln x \gt -2 \iff x \gt \text{e}^{-2}\), et \(2 + \ln(\text{e}^{-2}) = 0\).
Valeurs utiles : \(f(\text{e}^{-2}) = \text{e}^{-2} \times (-2)^2 = 4\text{e}^{-2}\) et \(f(1) = 0\).
| \(x\) | 0 | \(\text{e}^{-2}\) | 1 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(\ln x\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) | |||
| Signe de \(2 + \ln x\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | |||
| Signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| Variations de \(f\) | (limite 0) | croissante | \(4\text{e}^{-2}\) | décroissante | 0 | croissante | \(+\infty\) |
\(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\text{e}^{-2}]\), strictement décroissante sur \([\text{e}^{-2}\,;1]\) et strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).
c. Sur \(]0\,;1]\), \(f\) monte jusqu’en \(\text{e}^{-2}\) puis redescend jusqu’à 0 : son maximum est atteint en \(\text{e}^{-2}\) et vaut \(4\text{e}^{-2}\) (environ 0,54).
4. a. On sépare l’intervalle en deux.
- Sur \(]0\,;1]\) : \(f(x) \leq\, 4\text{e}^{-2} \approx 0{,}54 \lt 2\), donc l’équation \(f(x) = 2\) n’a aucune solution.
- Sur \([1\,;+\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(f(1) = 0 \lt 2\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution sur cet intervalle.
Au total, l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;+\infty[\), et \(\alpha \gt 1\).
b. À la calculatrice : \(f(2{,}4) \approx 1{,}839 \lt 2\) et \(f(2{,}5) \approx 2{,}099 \gt 2\). Par stricte croissance de \(f\) sur \([1\,;+\infty[\), \(2{,}4 \lt \alpha \lt 2{,}5\) (on trouve \(\alpha \approx 2{,}46\)).
5. a. Sur \([a\,;1]\), \(f(x) = x(\ln x)^2 \geq\, 0\) et \(f\) est continue. L’intégrale \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\) est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = 1\).
b. On intègre par parties en posant \(u^{\prime}(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\), soit \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([a\,;1]\).
\[\displaystyle\int_a^1 x(\ln x)^2\,\text{d}x = [\dfrac{x^2}{2}(\ln x)^2]_a^1 – \displaystyle\int_a^1 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{2\ln x}{x}\,\text{d}x.\]
Le crochet vaut \(\dfrac{1}{2} \times 0 – \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2\) car \(\ln 1 = 0\), et l’intégrande se simplifie en \(x\ln x\). D’où :
\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 – \displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x.\]
c. Nouvelle intégration par parties avec \(u^{\prime}(x) = x\), \(v(x) = \ln x\), donc \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\) :
\[\displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x = [\dfrac{x^2}{2}\ln x]_a^1 – \displaystyle\int_a^1 \dfrac{x}{2}\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}\ln a – [\dfrac{x^2}{4}]_a^1 = -\dfrac{a^2}{2}\ln a – \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^2}{4}.\]
En reportant dans le résultat du b (attention au signe moins devant l’intégrale) :
\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]
d. On fait apparaître \(a\ln a\), dont la limite en 0 est connue (croissances comparées : \(\lim\limits_{a \to 0} a\ln a = 0\)) :
\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{1}{2}(a\ln a)^2 + \dfrac{a}{2} \times a\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]
Quand \(a \to 0\) : \((a\ln a)^2 \to 0\), \(\dfrac{a}{2} \times a\ln a \to 0 \times 0 = 0\) et \(\dfrac{a^2}{4} \to 0\). Par somme :
\[\lim\limits_{a \to 0} \displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = \dfrac{1}{4}.\]
La limite vaut \(\dfrac{1}{4}\) : l’aire sous la courbe entre 0 et 1, bien que le domaine touche le bord de l’ensemble de définition, est finie et égale à un quart d’unité d’aire.
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