Corrigé du sujet
Exercice 1 :
On traduit d’abord l’énoncé en probabilités. On a \(P(E)=0{,}6\) et \(P(\overline{E})=0{,}4\). Parmi les acheteurs d’un véhicule tout-électrique, 75 % peuvent installer une borne : \(P_E(B)=0{,}75\), donc \(P_E(\overline{B})=0{,}25\). Parmi les acheteurs d’un hybride, 52 % le peuvent : \(P_{\overline{E}}(B)=0{,}52\), donc \(P_{\overline{E}}(\overline{B})=0{,}48\).
L’arbre pondéré correspondant part de la racine avec deux branches : \(E\) (0,6) et \(\overline{E}\) (0,4). Après \(E\), deux branches : \(B\) (0,75) et \(\overline{B}\) (0,25). Après \(\overline{E}\), deux branches : \(B\) (0,52) et \(\overline{B}\) (0,48).
1. On cherche \(P(E\cap B)\). On multiplie les probabilités le long du chemin \(E\) puis \(B\) :
\[P(E\cap B)=P(E)\times P_E(B)=0{,}6\times 0{,}75=0{,}45.\]
La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et puisse installer une borne est 0,45.
2. Les évènements \(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(B)=P(E\cap B)+P(\overline{E}\cap B)=0{,}45+P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(B)=0{,}45+0{,}4\times 0{,}52.\]
Or \(0{,}4\times 0{,}52=0{,}208\), donc \(P(B)=0{,}45+0{,}208\), c’est-à-dire \(P(B)=0{,}658\).
3. On sait que l’acheteur peut installer une borne : on cherche la probabilité conditionnelle \(P_B(E)\).
\[P_B(E)=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}45}{0{,}658}\approx 0{,}684.\]
Sachant qu’il peut installer une borne, l’acheteur a choisi un véhicule tout-électrique avec une probabilité d’environ 0,684.
4. a. Pour chacun des 20 acheteurs, on observe une épreuve de Bernoulli dont le succès est « l’acheteur peut installer une borne », de probabilité \(p=P(B)=0{,}658\). Le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise, ces 20 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}658\).
b. Avec la formule de la loi binomiale :
\[P(X=8)=\binom\,{20}{8}\times 0{,}658^{8}\times 0{,}342^{12}\approx 0{,}011.\]
Donc \(P(X=8)\approx 0{,}011\).
c. « Au moins 10 acheteurs » correspond à l’évènement \(X\geq\, 10\). On passe par l’évènement contraire \(X\leq\, 9\), que la calculatrice donne directement (fonction de répartition de la loi binomiale) :
\[P(X\geq\, 10)=1-P(X\leq\, 9)\approx 1-0{,}0452\approx 0{,}955.\]
La probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne est environ 0,955.
d. Pour une loi binomiale, l’espérance vaut \(np\) :
\[E(X)=20\times 0{,}658=13{,}16.\]
Donc \(E(X)=13{,}16\).
e. L’espérance \(E(X)=13{,}16\) est le nombre moyen d’acheteurs, sur 20 ventes, qui peuvent installer une borne et donc bénéficier de l’offre. Chaque installation coûte 1 200 €, donc le coût moyen est :
\[13{,}16\times 1\,200=15\,792.\]
En moyenne, la directrice doit prévoir 15 792 € pour 20 véhicules vendus.
Exercice 2 :
1. Affirmation A : vraie.
Limites. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\), donc par somme \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). En \(+\infty\) : \(\text{e}^x\) et \(x\) tendent tous deux vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Variations. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x+1\). Comme \(\text{e}^x\gt 0\) pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime}(x)\gt 1\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Le tableau proposé (croissance de \(-\infty\) à \(+\infty\)) est donc exact.
Affirmation B : fausse.
La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes. Comme \(-2\) est compris entre ces deux limites, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) assure que l’équation \(f(x)=-2\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\), et non deux.
2. Affirmation C : vraie.
La limite du quotient se présente sous une forme indéterminée « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ». On factorise par \(x^2\) au numérateur : pour \(x\gt 0\),
\[\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=\dfrac{x^2(\dfrac{\ln(x)}{x^2}-1+\dfrac{2}{x^2})}{3x^2}=\dfrac{1}{3}(\dfrac{\ln(x)}{x^2}-1+\dfrac{2}{x^2}).\]
On écrit \(\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{1}{x}\). Par croissance comparée \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\). De plus \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x^2}=0\).
La parenthèse tend donc vers \(0-1+0=-1\), et la limite cherchée vaut \(\dfrac{1}{3}\times (-1)=-\dfrac{1}{3}\).
3. Affirmation D : fausse.
Si \(K\) est une primitive de \(k\) sur \(\mathbb{R}\), alors \(K^{\prime}=k\). Or, pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x^2+1}\gt 0\) (une exponentielle est toujours strictement positive), donc \(k(x)=1+2\text{e}^{-x^2+1}\gt 1\gt 0\).
Toute primitive de \(k\) a une dérivée strictement positive : elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Aucune primitive de \(k\) ne peut donc être décroissante.
4. Affirmation E : vraie.
Condition initiale : \(g(0)=4\text{e}^{0}+1=4+1=5\).
Équation différentielle : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, la dérivée de \(\text{e}^{ax}\) étant \(a\,\text{e}^{ax}\), \(g^{\prime}(x)=4\times (-\dfrac{1}{3})\text{e}^{-\frac{1}{3}x}=-\dfrac{4}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\). Alors, pour tout réel \(x\) :
\[3g^{\prime}(x)+g(x)=-4\text{e}^{-\frac{1}{3}x}+4\text{e}^{-\frac{1}{3}x}+1=1.\]
La fonction \(g\) vérifie bien \((E)\) et \(g(0)=5\).
5. Affirmation F : vraie.
On pose \(u(x)=x\) et \(v^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}\), d’où \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v(x)=-\text{e}^{-x}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0~;~1]\). La formule d’intégration par parties donne :
\[\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x=\Big[-x\,\text{e}^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1(-\text{e}^{-x})\text{d}x=\Big[-x\,\text{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
D’une part \(\Big[-x\,\text{e}^{-x}\Big]_0^1=-\text{e}^{-1}-0=-\text{e}^{-1}\). D’autre part \(\displaystyle\int_0^1\text{e}^{-x}\,\text{d}x=\Big[-\text{e}^{-x}\Big]_0^1=-\text{e}^{-1}+1\).
Au total : \(\displaystyle\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x=-\text{e}^{-1}+1-\text{e}^{-1}=1-2\text{e}^{-1}\), qui vaut environ 0,264.
Exercice 3 :
1. Une pyramide de 4 étages contient les boules des étages 1 à 4 :
\[u_1+u_2+u_3+u_4=1+4+9+16=30.\]
Une pyramide de 4 étages compte 30 boules.
2. a. On ajoute le 5e étage au total précédent :
\[S_5=(u_1+u_2+u_3+u_4)+u_5=30+5^2=30+25=55.\]
\(S_5=55\) : une pyramide à base carrée de 5 étages est formée de 55 boules.
b. La variable S sert d’accumulateur : à chaque passage dans la boucle, i prend successivement les valeurs 1, 2, …, n et on ajoute le nombre de boules de l’étage i, soit \(i^2\). À la fin, on renvoie S.
def pyramide(n) :
S = 0
for i in range(1, n+1) :
S = S + i**2
return S
Par exemple, pyramide(5) renvoie 55.
c. On développe chacun des deux membres pour montrer qu’ils sont égaux.
Membre de gauche : on met tout sur le dénominateur 6 et on factorise par \(n+1\).
\[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.\]
Membre de droite : \(2(n+1)+1=2n+3\), et \((n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6\), donc
\[\dfrac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.\]
Les deux membres sont égaux pour tout entier naturel \(n\) : l’égalité est vérifiée.
d. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ».
Initialisation. Pour \(n=1\) : \(S_1=u_1=1\) et \(\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\geq\, 1\) un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. On a \(S_{n+1}=S_n+u_{n+1}=S_n+(n+1)^2\). Avec l’hypothèse de récurrence :
\[S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2.\]
D’après la question 2. c., cette quantité vaut \(\dfrac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}\), c’est-à-dire \(\dfrac{(n+1)\big((n+1)+1\big)\big(2(n+1)+1\big)}{6}\) : c’est exactement \(\mathcal{P}(n+1)\).
Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc par le principe de récurrence, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
3. Une pyramide de \(n\) étages demande \(S_n\) oranges, et la suite \((S_n)\) est strictement croissante (on ajoute \(n^2\gt 0\) à chaque étage). On cherche donc le plus grand entier \(n\) tel que \(S_n\leq\, 200\).
\[S_7=\dfrac{7\times 8\times 15}{6}=140 \qquad S_8=\dfrac{8\times 9\times 17}{6}=204.\]
Comme \(S_7=140\leq\, 200\) et \(S_8=204\gt 200\), la plus grande pyramide possible a 7 étages : le marchand utilise 140 oranges (il lui en reste 60).
Exercice 4 :
1. Dans le repère \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\), on a \(\vec{\text{AE}}=0\,\vec{\text{AB}}+0\,\vec{\text{AD}}+1\,\vec{\text{AE}}\), donc \(\text{E}(0~;~0~;~1)\). ABCD étant un carré, \(\vec{\text{AC}}=\vec{\text{AB}}+\vec{\text{AD}}\), donc \(\text{C}(1~;~1~;~0)\).
2. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Avec \(\text{A}(0~;~0~;~0)\), \(\text{E}(0~;~0~;~1)\) et \(\text{G}(1~;~1~;~1)\), on obtient \(\vec{\text{AE}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AG}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), qui ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de \(\vec{\text{AE}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{AG}}\)).
Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec \(\vec{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) :
\[\vec{\text{DB}}\cdot\vec{\text{AE}}=1\times 0+(-1)\times 0+0\times 1=0 \qquad \vec{\text{DB}}\cdot\vec{\text{AG}}=1\times 1+(-1)\times 1+0\times 1=0.\]
\(\vec{\text{DB}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GEA) : il est normal au plan (GEA).
b. Puisque \(\vec{\text{DB}}(1~;~-1~;~0)\) est normal au plan (GEA), celui-ci a une équation de la forme \(x-y+d=0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan, donc \(0-0+d=0\), soit \(d=0\).
Une équation cartésienne du plan (GEA) est \(x-y=0\). (Contrôle : E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1) vérifient bien \(x=y\).)
3. a. On compare les vecteurs \(\vec{K\text{E}}\) et \(\vec{\text{C}L}\) :
\[\vec{K\text{E}}\begin{pmatrix}0-m\\0-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{\text{C}L}\begin{pmatrix}(1-m)-1\\1-1\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}.\]
On a \(\vec{K\text{E}}=\vec{\text{C}L}\), donc C\(K\)E\(L\) est un parallélogramme (pour tout \(m\) de \([0~;~1]\)).
b. On a \(\vec{K\text{C}}\begin{pmatrix}1-m\\1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{K\text{E}}\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}\). Dans un repère orthonormé :
\[\vec{K\text{C}}\cdot\vec{K\text{E}}=(1-m)\times (-m)+1\times 0+0\times 1=-m+m^2=m(m-1).\]
Donc \(\vec{K\text{C}}\cdot\vec{K\text{E}}=m(m-1)\).
c. Un parallélogramme est un rectangle si et seulement s’il possède un angle droit. Comme C\(K\)E\(L\) est un parallélogramme, il suffit d’étudier l’angle en \(K\) (ses côtés issus de \(K\) sont \([K\text{C}]\) et \([K\text{E}]\), de longueurs non nulles car \(K\) est distinct de C et de E). Ainsi :
C\(K\)E\(L\) est un rectangle \(\iff \vec{K\text{C}}\cdot\vec{K\text{E}}=0 \iff m(m-1)=0\).
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(m(m-1)=0 \iff m=0\) ou \(m=1\). Donc C\(K\)E\(L\) est un rectangle si, et seulement si, \(m=0\) ou \(m=1\).
4. a. Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. Les diagonales de CKEL sont \([\text{KL}]\) et \([\text{EC}]\).
\[\vec{\text{KL}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\1-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{\text{EC}}\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\]
\[\vec{\text{KL}}\cdot\vec{\text{EC}}=0\times 1+1\times 1+1\times (-1)=0.\]
Les diagonales sont perpendiculaires, donc le parallélogramme CKEL est un losange. (On peut aussi constater que \(\text{KC}=\text{KE}\), comme on le voit ci-dessous.)
b. D’après 3. b. avec \(m=\dfrac{1}{2}\) : \(\vec{\text{KC}}\cdot\vec{\text{KE}}=\dfrac{1}{2}\times (-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{4}\).
Les longueurs : \(\vec{\text{KC}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\0\end{pmatrix}\) donne \(\text{KC}^2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\), et \(\vec{\text{KE}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}\) donne \(\text{KE}^2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\). Donc \(\text{KC}=\text{KE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
On utilise l’autre expression du produit scalaire, \(\vec{\text{KC}}\cdot\vec{\text{KE}}=\text{KC}\times \text{KE}\times \cos\widehat{\text{CKE}}\) :
\[-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\cos\widehat{\text{CKE}} \quad\text{donc}\quad \cos\widehat{\text{CKE}}=-\dfrac{1}{5}.\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{CKE}}\approx 101{,}5^\circ\), soit \(\widehat{\text{CKE}}\approx 102^\circ\) au degré près. L’angle est obtus, ce qui est cohérent avec un produit scalaire négatif.
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