Corrigé du bac de maths 2024 en France (jour 2)

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac de maths 2024 en France : sujet n° 2 et corrigé pour l’enseignement de spécialité. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités : arbre pondéré, loi binomiale, somme de variables aléatoires, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1. On lit dans l’énoncé les deux probabilités données :

\[ P(Q)=0{,}917 \qquad \text{et} \qquad P_{\overline{R}}(\overline{Q})=0{,}65. \]

2. a) On note \( x=P(R) \). On complète l’arbre pondéré : sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches vaut 1, donc \( P_R(\overline{Q})=1-0{,}98=0{,}02 \) et \( P_{\overline{R}}(Q)=1-0{,}65=0{,}35 \).

2. b) On veut montrer que \( x=0{,}9 \). Les événements \( R \) et \( \overline{R} \) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[ P(Q)=P(R\cap Q)+P(\overline{R}\cap Q)=0{,}98x+0{,}35(1-x). \]

On obtient \( 0{,}917=0{,}63x+0{,}35 \), soit \( 0{,}63x=0{,}567 \) et donc \( x=\dfrac{0{,}567}{0{,}63}=0{,}9 \). On a bien \( P(R)=0{,}9 \).

3. On cherche la probabilité conditionnelle \( P_Q(R) \) :

\[ P_Q(R)=\frac{P(R\cap Q)}{P(Q)}=\frac{0{,}9\times 0{,}98}{0{,}917}=\frac{0{,}882}{0{,}917}\approx 0{,}962. \]

\( P_Q(R)\approx 0{,}962 \).

4. La note \( N \) d’un étudiant suit la loi binomiale \( \mathcal{B}(20\,;\,0{,}615) \). On cherche la note minimale \( k \) à partir de laquelle un étudiant est récompensé, sachant que \( 65\,\% \) des étudiants doivent l’être : on cherche donc le plus grand entier \( k \) tel que \( P(N\geq\, k)\geq\, 0{,}65 \).

Or \( P(N\geq\, k)=1-P(N\leq\, k-1) \), donc la condition équivaut à \( P(N\leq\, k-1)\leq\, 0{,}35 \).

À la calculatrice : \( P(N\leq\, 10)\approx 0{,}203 \) et \( P(N\leq\, 11)\approx 0{,}351 \). Le plus grand entier \( m \) tel que \( P(N\leq\, m)\leq\, 0{,}35 \) est donc \( m=10 \), d’où \( k-1=10 \) et \( k=11 \).

Vérification : \( P(N\geq\, 11)\approx 0{,}797\geq\, 0{,}65 \) mais \( P(N\geq\, 12)\approx 0{,}649\lt 0{,}65 \).

Les étudiants sont récompensés à partir de la note 11.

5. On considère \( S=N_1+N_2+\dots+N_{10} \), où les \( N_i \) sont indépendantes et suivent toutes la même loi que \( N \).

Pour la loi binomiale \( \mathcal{B}(20\,;\,0{,}615) \) :

\[ E(N)=20\times 0{,}615=12{,}3 \qquad V(N)=20\times 0{,}615\times 0{,}385=4{,}7355. \]

Par linéarité de l’espérance : \( E(S)=10\,E(N)=123 \).

Comme les variables \( N_i \) sont indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances : \( V(S)=10\,V(N)=47{,}355 \).

\( E(S)=123 \) et \( V(S)=47{,}355 \).

6. a) \( M=\dfrac{S}{10} \) est la moyenne des notes obtenues par les 10 étudiants choisis.

6. b) On a :

\[ E(M)=\frac{1}{10}E(S)=12{,}3 \qquad V(M)=\frac{1}{10^2}V(S)=\frac{47{,}355}{100}=0{,}47355. \]

6. c) On cherche une minoration de \( P(10{,}3\lt M\lt 14{,}3) \). Comme \( 10{,}3=12{,}3-2 \) et \( 14{,}3=12{,}3+2 \) :

\[ P(10{,}3\lt M\lt 14{,}3)=P(|M-12{,}3|\lt 2)=P(|M-E(M)|\lt 2). \]

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

\[ P(|M-E(M)|\geq\, 2)\leq\, \frac{V(M)}{2^2}=\frac{0{,}47355}{4}\approx 0{,}118. \]

En passant à l’événement contraire :

\[ P(|M-E(M)|\lt 2)\geq\, 1-\frac{0{,}47355}{4}\approx 0{,}882. \]

La probabilité que la moyenne des notes de 10 étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 0,88 (donc en particulier supérieure à 0,8).

Exercice 2 :

Taux de chlore d’une piscine : suite arithmético-géométrique, récurrence, Python, équation différentielle

Partie A

1. On ajoute \( 15 \) g de chlore, soit \( 15\,000 \) mg, dans une piscine de \( 50\ \text{m}^3 \), soit \( 50\,000 \) L d’eau. Le taux de chlore augmente donc de :

\[ \frac{15\,000}{50\,000}=0{,}3\ \text{mg.L}^{-1}. \]

C’est ce qui justifie le terme \( +0{,}3 \) dans la relation \( v_{n+1}=0{,}92\,v_n+0{,}3 \), avec \( v_0=0{,}7 \).

2. a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), la propriété \( \mathcal{P}_n \) : « \( v_n\leq\, v_{n+1}\leq\, 4 \) » est vraie.

Initialisation. \( v_0=0{,}7 \) et \( v_1=0{,}92\times 0{,}7+0{,}3=0{,}944 \). On a bien \( 0{,}7\leq\, 0{,}944\leq\, 4 \) : \( \mathcal{P}_0 \) est vraie.

Hérédité. Soit \( k \) un entier naturel tel que \( \mathcal{P}_k \) est vraie : \( v_k\leq\, v_{k+1}\leq\, 4 \). En multipliant par \( 0{,}92 \), qui est positif, l’ordre est conservé :

\[ 0{,}92\,v_k\leq\, 0{,}92\,v_{k+1}\leq\, 3{,}68 \]

puis, en ajoutant \( 0{,}3 \) :

\[ 0{,}92\,v_k+0{,}3\leq\, 0{,}92\,v_{k+1}+0{,}3\leq\, 3{,}98, \]

c’est-à-dire \( v_{k+1}\leq\, v_{k+2}\leq\, 3{,}98\leq\, 4 \). Donc \( \mathcal{P}_{k+1} \) est vraie.

Conclusion. La propriété est initialisée et héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout \( n\in\mathbb{N} \), \( v_n\leq\, v_{n+1}\leq\, 4 \).

2. b) D’après la question précédente, la suite \( (v_n) \) est croissante et majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \( \ell \).

La fonction \( x\mapsto 0{,}92x+0{,}3 \) étant continue, en passant à la limite dans \( v_{n+1}=0{,}92\,v_n+0{,}3 \), la limite vérifie :

\[ \ell=0{,}92\,\ell+0{,}3 \iff 0{,}08\,\ell=0{,}3 \iff \ell=3{,}75. \]

La suite \( (v_n) \) converge vers 3,75.

3. Le taux de chlore doit rester compris entre 1 et 3 mg.L⁻¹. Or la suite croissante \( (v_n) \) tend vers \( 3{,}75\gt 3 \) : à partir d’un certain rang, le taux dépasse 3 mg.L⁻¹. Le protocole ne convient donc pas sur le long terme.

4. La fonction alerte_chlore(s) doit renvoyer le premier rang \( n \) pour lequel \( v_n \) dépasse le seuil \( s \). Une version complète :

def alerte_chlore(s):
    n = 0
    v = 0.7
    while v <= s:
        n = n + 1
        v = 0.92 * v + 0.3
    return n

5. À la calculatrice (ou en exécutant le programme), on trouve \( v_{16}\approx 2{,}99 \) et \( v_{17}\approx 3{,}01 \). alerte_chlore(3) renvoie 17 : au bout de 17 jours, le taux de chlore dépasse 3 mg.L⁻¹.

Partie B

1. L’équation différentielle est \( (E) : y^{\prime}=-0{,}08\,y+\dfrac{q}{50} \), de la forme \( y^{\prime}=ay+b \) avec \( a=-0{,}08 \) et \( b=\dfrac{q}{50} \). Ses solutions sont les fonctions \( x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac{b}{a} \), \( C\in\mathbb{R} \). Ici :

\[ -\frac{b}{a}=-\frac{q/50}{-0{,}08}=\frac{q}{4}, \]

donc \( f(x)=Ce^{-0{,}08x}+\dfrac{q}{4} \), avec \( C\in\mathbb{R} \).

2. a) On a \( \lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}08x)=-\infty \) et \( \lim\limits_{X\to-\infty}e^{X}=0 \), donc par composition \( \lim\limits_{x\to+\infty}e^{-0{,}08x}=0 \). Par produit et somme :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{q}{4}. \]

2. b) Le taux doit se stabiliser autour de 2 mg.L⁻¹, c’est-à-dire \( \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2 \) : \( \dfrac{q}{4}=2 \), donc \( q=8 \).

De plus \( f(0)=0{,}7 \) donne \( C+\dfrac{q}{4}=0{,}7 \), soit \( C=0{,}7-2=-1{,}3 \).

\( q=8 \) et \( C=-1{,}3 \), d’où \( f(x)=-1{,}3\,e^{-0{,}08x}+2 \).

Exercice 3 :

Fonction logarithme : lecture graphique, variations, valeurs intermédiaires, convexité, distance minimale

On étudie sur \( ]-2\,;+\infty[ \) la fonction \( f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2) \), dont la courbe est représentée ci-dessous avec sa tangente au point d’abscisse \( -1 \).

Partie A (lectures graphiques)

1. Le point de la courbe d’abscisse \( -1 \) a pour ordonnée \( -2 \), et la tangente en ce point a pour coefficient directeur 1 : \( f(-1)=-2 \) et \( f^{\prime}(-1)=1 \). On le confirme par le calcul : \( f(-1)=1-2-1+\ln 1=-2 \).

2. Non, \( f \) n’est pas convexe sur tout son ensemble de définition : près de \( -2 \), la courbe est située sous ses tangentes (fonction concave), puis au-dessus (fonction convexe). La courbe semble présenter un point d’inflexion d’abscisse environ \( -1{,}3 \).

3. La courbe ne coupe l’axe des abscisses qu’une seule fois : l’équation \( f(x)=0 \) semble avoir une unique solution, environ 0,1 à 0,1 près.

Partie B

1. Limite en \( -2 \) : \( \lim\limits_{x\to-2}(x^2+2x-1)=4-4-1=-1 \). Par ailleurs \( \lim\limits_{x\to-2,\ x\gt -2}(x+2)=0^{+} \) et \( \lim\limits_{X\to 0^{+}}\ln X=-\infty \), donc par composition \( \lim\limits_{x\to-2,\ x\gt -2}\ln(x+2)=-\infty \). Par somme :

\[ \lim_{x\to-2,\ x\gt -2}f(x)=-\infty. \]

La courbe admet une asymptote verticale d’équation \( x=-2 \).

2. \( f \) est dérivable sur \( ]-2\,;+\infty[ \) et :

\[ f^{\prime}(x)=2x+2+\frac{1}{x+2}=\frac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}=\frac{2x^2+6x+5}{x+2}. \]

3. Sur \( ]-2\,;+\infty[ \), \( x+2\gt 0 \), donc \( f^{\prime}(x) \) a le signe du trinôme \( 2x^2+6x+5 \). Son discriminant vaut \( \Delta=36-40=-4\lt 0 \) : le trinôme est toujours du signe de \( a=2 \), donc strictement positif. Ainsi \( f \) est strictement croissante sur \( ]-2\,;+\infty[ \).

En \( +\infty \) : \( \lim\limits_{x\to+\infty}(x^2+2x-1)=+\infty \) et \( \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x+2)=+\infty \), donc \( \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \).

\( x \)	\( -2 \)		\( +\infty \)
signe de \( f^{\prime}(x) \)	||	\( + \)
variations de \( f \)	\( -\infty \)	↗	\( +\infty \)

4. Sur \( ]-2\,;+\infty[ \), \( f \) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \( \lim\limits_{x\to-2}f(x)=-\infty \) et \( \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \). Comme \( 0\in\,]-\infty\,;+\infty[ \), d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \( f(x)=0 \) admet une unique solution \( \alpha \) sur \( ]-2\,;+\infty[ \).

Par balayage à la calculatrice : \( f(0{,}11)\lt 0\lt f(0{,}12) \), puis \( f(0{,}117)\lt 0\lt f(0{,}118) \). Donc \( \alpha\approx 0{,}12 \) à \( 10^{-2} \) près.

5. Comme \( f \) est strictement croissante et \( f(\alpha)=0 \) :

• \( f(x)\lt 0 \) pour \( x\in\,]-2\,;\alpha[ \) ;
• \( f(\alpha)=0 \) ;
• \( f(x)\gt 0 \) pour \( x\in\,]\alpha\,;+\infty[ \).

6. Pour étudier la convexité, on calcule la dérivée seconde :

\[ f^{\prime\prime}(x)=2-\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)^2-1}{(x+2)^2}=\frac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}. \]

Le dénominateur est strictement positif, donc \( f^{\prime\prime}(x) \) a le signe de \( 2x^2+8x+7 \). Son discriminant vaut \( \Delta=64-56=8 \) ; ses racines sont :

\[ x_1=\frac{-8-2\sqrt{2}}{4}=-2-\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad x_2=\frac{-8+2\sqrt{2}}{4}=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -1{,}29. \]

\( x_1\lt -2 \) n’appartient pas à l’intervalle d’étude. Le trinôme est négatif entre ses racines et positif à l’extérieur :

\( x \)	\( -2 \)		\( x_2 \)		\( +\infty \)
signe de \( f^{\prime\prime}(x) \)	||	\( – \)	0	\( + \)
convexité de \( f \)	||	concave		convexe

\( f^{\prime\prime} \) s’annule en changeant de signe en \( x_2 \) : la courbe admet un unique point d’inflexion, d’abscisse \( -2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \), ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.

Partie C

On note \( g(x)=\ln(x+2) \), \( \mathcal{C}_g \) sa courbe, \( J(0\,;1) \) et \( M \) le point de \( \mathcal{C}_g \) d’abscisse \( x \).

1. Par la formule de la distance, \( M(x\,;g(x)) \) et \( J(0\,;1) \) donnent :

\[ h(x)=JM^2=(x-0)^2+(g(x)-1)^2=x^2+(\ln(x+2)-1)^2. \]

2. a) On dérive (la dérivée de \( u^2 \) est \( 2uu^{\prime} \)) :

\[ h^{\prime}(x)=2x+2(\ln(x+2)-1)\times \frac{1}{x+2}=\frac{2x(x+2)+2\ln(x+2)-2}{x+2}=\frac{2(x^2+2x-1+\ln(x+2))}{x+2}=\frac{2f(x)}{x+2}. \]

Comme \( x+2\gt 0 \), \( h^{\prime}(x) \) a le signe de \( f(x) \), étudié en B5 :

\( x \)	\( -2 \)		\( \alpha \)		\( +\infty \)
signe de \( h^{\prime}(x) \)	||	\( – \)	0	\( + \)
variations de \( h \)	||	↘	\( h(\alpha) \)	↗

2. b) \( h \) admet donc un minimum en \( \alpha \). Comme \( JM=\sqrt{h(x)} \) et que la fonction racine carrée est croissante sur \( [0\,;+\infty[ \), la distance \( JM \) est minimale lorsque \( x=\alpha \), c’est-à-dire au point \( M_\alpha \).

3. a) D’après la partie B, \( f(\alpha)=0 \), soit \( \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \), d’où :

\[ \ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2. \]

3. b) Le coefficient directeur de la tangente à \( \mathcal{C}_g \) en \( M_\alpha \) est \( g^{\prime}(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2} \).

Le coefficient directeur de la droite \( (JM_\alpha) \) (qui n’est pas verticale car \( \alpha\neq 0 \)) est :

\[ m=\frac{g(\alpha)-1}{\alpha-0}=\frac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}=\frac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha}=-(\alpha+2). \]

Le produit des coefficients directeurs vaut \( \dfrac{1}{\alpha+2}\times (-(\alpha+2))=-1 \). La droite \( (JM_\alpha) \) est donc perpendiculaire à la tangente à \( \mathcal{C}_g \) en \( M_\alpha \).

Exercice 4 :

Vrai ou faux, géométrie dans l’espace

Points de l’énoncé : \( A(2\,;0\,;0) \), \( B(0\,;4\,;3) \), \( C(4\,;4\,;1) \), \( D(0\,;0\,;4) \) et \( H(-1\,;1\,;2) \). On utilise :

\[ \vec{AB}\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix} \qquad \vec{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix} \qquad \vec{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix} \qquad \vec{DH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} \]

Affirmation 1 : le plan \( P \) d’équation \( 8x-5y+4z-16=0 \) est le plan \( (ACD) \). VRAI.

On vérifie que les trois points appartiennent à \( P \) :

• \( A \) : \( 8\times 2-0+0-16=0 \) ;
• \( C \) : \( 32-20+4-16=0 \) ;
• \( D \) : \( 0-0+16-16=0 \).

Les vecteurs \( \vec{AC} \) et \( \vec{AD} \) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \( \vec{AD} \) est nulle, pas celle de \( \vec{AC} \)) : \( A \), \( C \), \( D \) ne sont pas alignés et définissent un plan, qui est donc \( P \).

Affirmation 2 : les points \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) sont coplanaires. FAUX.

Ils seraient coplanaires si et seulement s’il existait des réels \( a \) et \( b \) tels que \( \vec{AB}=a\vec{AC}+b\vec{AD} \), c’est-à-dire :

\[ \begin{cases} -2=2a-2b\\ 4=4a\\ 3=a+4b \end{cases} \iff \begin{cases} a=1\\ b=2\\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \]

Le système est incompatible. Autre justification : \( B \) n’appartient pas au plan \( (ACD)=P \) car \( 0-20+12-16=-24\neq 0 \). Les quatre points ne sont pas coplanaires.

Affirmation 3 : les droites \( (AC) \) et \( (BH) \) sont sécantes. VRAI.

\( \vec{AC} \) et \( \vec{BH} \) ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Représentations paramétriques :

\[ (AC) : \begin{cases} x=2+2t\\ y=4t\\ z=t \end{cases} \ (t\in\mathbb{R}) \qquad (BH) : \begin{cases} x=-t^{\prime}\\ y=4-3t^{\prime}\\ z=3-t^{\prime} \end{cases} \ (t^{\prime}\in\mathbb{R}) \]

On résout \( 2+2t=-t^{\prime} \), \( 4t=4-3t^{\prime} \), \( t=3-t^{\prime} \). La troisième équation donne \( t^{\prime}=3-t \) ; en reportant dans la première : \( 2+2t=t-3 \), soit \( t=-5 \) et \( t^{\prime}=8 \). La deuxième équation est vérifiée : \( 4\times (-5)=-20=4-24 \).

Le système a une solution : les droites se coupent au point \( (-8\,;-20\,;-5) \).

Affirmation 4 : \( H \) est le projeté orthogonal de \( D \) sur le plan \( (ABC) \). VRAI.

On calcule les produits scalaires :

\[ \vec{DH}\cdot\vec{AB}=2+4-6=0 \qquad \vec{DH}\cdot\vec{AC}=-2+4-2=0. \]

\( \vec{DH} \) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \( (ABC) \) : la droite \( (DH) \) est orthogonale au plan \( (ABC) \), et \( \vec{DH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} \) en est un vecteur normal. Une équation de \( (ABC) \) est donc \( -x+y-2z+d=0 \), et \( A \) donne \( d=2 \), soit \( x-y+2z-2=0 \).

Enfin \( H \) appartient à ce plan : \( -1-1+4-2=0 \). \( H \) est bien le projeté orthogonal de \( D \) sur \( (ABC) \).