Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. On commence par traduire l’énoncé. 21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans : \(P(J) = 0{,}21\), donc \(P(\overline{J}) = 0{,}79\). Parmi les moins de 35 ans, 68 % roulent uniquement pour les loisirs, donc les autres, soit \(100 – 68 = 32\) %, utilisent le vélo pour le travail : \(P_J(T) = 0{,}32\) et \(P_J(\overline{T}) = 0{,}68\). Parmi les 35 ans ou plus : \(P_{\overline{J}}(T) = 0{,}20\) et \(P_{\overline{J}}(\overline{T}) = 0{,}80\).
Ces données forment un arbre pondéré à deux niveaux (d’abord \(J\) ou \(\overline{J}\), puis \(T\) ou \(\overline{T}\)) :
| Premier niveau | Second niveau | Probabilité du chemin |
|---|---|---|
| \(J\) : 0,21 | \(T\) : 0,32 | \(0{,}067\,2\) |
| \(J\) : 0,21 | \(\overline{T}\) : 0,68 | \(0{,}142\,8\) |
| \(\overline{J}\) : 0,79 | \(T\) : 0,20 | \(0{,}158\) |
| \(\overline{J}\) : 0,79 | \(\overline{T}\) : 0,80 | \(0{,}632\) |
On cherche \(P(J \cap T)\) ; on multiplie les probabilités le long du chemin \(J \to T\) :
\[P(J \cap T) = P(J) \times P_J(T) = 0{,}21 \times 0{,}32 = 0{,}067\,2.\]
La probabilité cherchée est \(0{,}067\,2\).
2. Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :
\[P(T) = P(J \cap T) + P(\overline{J} \cap T) = 0{,}067\,2 + 0{,}79 \times 0{,}20 = 0{,}067\,2 + 0{,}158 = 0{,}225\,2.\]
La valeur exacte est \(P(T) = 0{,}225\,2\).
3. On sait que la personne utilise son vélo pour le travail : on cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(J)\).
\[P_T(J) = \dfrac{P(J \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}067\,2}{0{,}225\,2} \approx 0{,}298\,4.\]
Arrondie au centième, cette probabilité vaut bien 0,30.
Partie B
1. Pour chaque personne de l’échantillon, on observe une épreuve à deux issues : « elle a moins de 35 ans » (succès, de probabilité \(p = 0{,}3\)) ou non. La sélection étant assimilée à un tirage avec remise, les 120 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 120\) et \(p = 0{,}3\).
2. On cherche \(P(X \geq\, 50)\). On passe par l’évènement contraire \(X \leq\, 49\), que la calculatrice sait traiter avec la fonction de répartition :
\[P(X \geq\, 50) = 1 – P(X \leq\, 49) \approx 1 – 0{,}995\,6 \approx 0{,}004.\]
La probabilité qu’au moins 50 personnes de l’échantillon aient moins de 35 ans est environ 0,004 : c’est très peu probable, ce qui est cohérent avec l’espérance \(E(X) = 120 \times 0{,}3 = 36\).
Exercice 2 :
1. a. Dans la représentation paramétrique de \(d_2\), les coefficients du paramètre \(k\) donnent un vecteur directeur : \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\).
b. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. S’il existait un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda\vec{u}\), la troisième coordonnée donnerait \(0 = \lambda \times 1\), donc \(\lambda = 0\), puis la première donnerait \(2 = 0\) : c’est impossible. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, donc \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.
c. La droite \(d_1\) passe par \(\text{H}(2~;~3~;~0)\) et est dirigée par \(\vec{u}\) ; elle admet la représentation paramétrique \(x = 2 + t\), \(y = 3 – t\), \(z = t\), avec \(t \in \mathbb{R}\). Un point commun aux deux droites correspondrait à des réels \(t\) et \(k\) vérifiant le système :
\[\{\begin{array}{l}2 + t = 2k – 3\\3 – t = k\\t = 5\end{array}.\]
La troisième équation donne \(t = 5\), la deuxième donne alors \(k = 3 – 5 = -2\). La première devient \(2 + 5 = 2 \times (-2) – 3\), soit \(7 = -7\), ce qui est faux. Le système n’a pas de solution : \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas sécantes.
d. Deux droites de l’espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes ne sont contenues dans aucun plan commun : \(d_1\) et \(d_2\) sont non coplanaires.
2. a. Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec les coordonnées :
\[\vec{w} \cdot \vec{u} = (-1) \times 1 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = -1 – 2 + 3 = 0,\]
\[\vec{w} \cdot \vec{v} = (-1) \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0.\]
Les deux produits scalaires sont nuls : \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
b. Un point de \(d_2\), de paramètre \(k\), a pour coordonnées \((2k – 3~;~k~;~5)\). Il appartient au plan \(P\) si et seulement si :
\[5(2k – 3) + 4k – 5 – 22 = 0 \iff 10k – 15 + 4k – 27 = 0 \iff 14k = 42 \iff k = 3.\]
Cette équation a une seule solution, donc \(P\) et \(d_2\) ont un seul point commun, obtenu pour \(k = 3\) : \(x = 2 \times 3 – 3 = 3\), \(y = 3\), \(z = 5\). L’intersection de \(P\) et de \(d_2\) est bien le point \(\text{M}(3~;~3~;~5)\).
3. a. Les vecteurs directeurs \(\vec{w}\) de \(\Delta\) et \(\vec{u}\) de \(d_1\) sont orthogonaux (question 2. a.), donc les droites sont orthogonales. Pour qu’elles soient perpendiculaires, il reste à montrer qu’elles sont sécantes. On résout, avec les paramètres \(t\) (pour \(d_1\)) et \(r\) (pour \(\Delta\)) :
\[\{\begin{array}{l}2 + t = -r + 3\\3 – t = 2r + 3\\t = 3r + 5\end{array}.\]
La deuxième équation donne \(t = -2r\). En reportant dans la troisième : \(-2r = 3r + 5\), donc \(r = -1\) et \(t = 2\). On contrôle la première équation : \(2 + 2 = 4\) et \(-(-1) + 3 = 4\), elle est vérifiée. Les droites sont donc sécantes au point obtenu pour \(t = 2\) : \(x = 4\), \(y = 1\), \(z = 2\).
Les droites \(\Delta\) et \(d_1\) sont perpendiculaires au point \(\text{L}(4~;~1~;~2)\).
b. La droite \(\Delta\) passe par M, qui appartient à \(d_2\) (question 2. b.), et son vecteur directeur \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{v}\) : \(\Delta\) et \(d_2\) sont donc sécantes en M et orthogonales, c’est-à-dire perpendiculaires en M. D’après la question 3. a., \(\Delta\) est aussi perpendiculaire à \(d_1\) en L. La droite \(\Delta\) est donc perpendiculaire à la fois à \(d_1\) et à \(d_2\) : elle répond au problème posé (c’est la perpendiculaire commune aux deux droites).
Exercice 3 :
1. Vrai. La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{\prime}(x) = \text{e}^x – 1\) et \(f^{\prime\prime}(x) = \text{e}^x\). Or \(\text{e}^x \gt 0\) pour tout réel \(x\) : la dérivée seconde est positive sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. Vrai. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
- \(2\text{e}^x – 6 = 0 \iff \text{e}^x = 3 \iff x = \ln(3)\) ;
- \(\text{e}^x + 2 = 0 \iff \text{e}^x = -2\), qui n’a pas de solution car une exponentielle est toujours strictement positive.
L’équation a donc \(\ln(3)\) pour unique solution.
3. Faux. Pour lever l’indétermination, on factorise par le terme dominant au numérateur (\(\text{e}^{2x}\)) et au dénominateur (\(\text{e}^x\)) :
\[\dfrac{\text{e}^{2x} – 1}{\text{e}^x – x} = \dfrac{\text{e}^{2x}(1 – \text{e}^{-2x})}{\text{e}^x(1 – \dfrac{x}{\text{e}^x})} = \text{e}^x \times \dfrac{1 – \text{e}^{-2x}}{1 – \dfrac{x}{\text{e}^x}}.\]
On a \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-2x} = 0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\). La fraction tend donc vers \(\dfrac{1 – 0}{1 – 0} = 1\), tandis que \(\text{e}^x\) tend vers \(+\infty\). Par produit, la limite vaut \(+\infty\) et non 0.
4. Vrai. On dérive \(F\) comme produit : avec \(u(x) = 2x + 1\), \(u^{\prime}(x) = 2\), et \(v(x) = \text{e}^{3x}\), \(v^{\prime}(x) = 3\text{e}^{3x}\) :
\[F^{\prime}(x) = 2\text{e}^{3x} + (2x + 1) \times 3\text{e}^{3x} = (2 + 6x + 3)\text{e}^{3x} = (6x + 5)\text{e}^{3x} = f(x).\]
Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(F(0) = (0 + 1)\text{e}^0 + 4 = 1 + 4 = 5\). Comme deux primitives de \(f\) diffèrent d’une constante, il n’y en a qu’une qui vaut 5 en 0 : c’est bien \(F\).
5. Faux. La boucle parcourt tous les indices de la liste et ajoute chaque élément à S : à la fin, S contient la somme des éléments. La fonction renvoie cette somme divisée par le nombre d’éléments, c’est-à-dire la moyenne de la liste.
Ici, la somme vaut \(1 + 9 + 9 + 5 + 0 + 3 + 6 + 12 + 0 + 5 = 50\) et la liste compte 10 éléments. L’appel renvoie donc \(\dfrac{50}{10} = 5\) (affiché 5.0 en Python), et non 50.
Exercice 4 :
1. a. Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(u_n = 2 \times 0{,}9^n – 3\) ».
Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(2 \times 0{,}9^0 – 3 = 2 – 3 = -1 = u_0\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. Alors :
\[u_{n+1} = 0{,}9u_n – 0{,}3 = 0{,}9(2 \times 0{,}9^n – 3) – 0{,}3 = 2 \times 0{,}9^{n+1} – 2{,}7 – 0{,}3 = 2 \times 0{,}9^{n+1} – 3.\]
\(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par récurrence, \(u_n = 2 \times 0{,}9^n – 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
b. Comme \(0 \lt 0{,}9 \lt 1\), on a pour tout entier naturel \(n\) : \(0 \lt 0{,}9^n \leq\, 1\) (la valeur 1 étant atteinte pour \(n = 0\)). En multipliant par 2, puis en retranchant 3 :
\[0 \lt 2 \times 0{,}9^n \leq\, 2 \quad \text{donc} \quad -3 \lt 2 \times 0{,}9^n – 3 \leq\, -1.\]
Ainsi, \(-3 \lt u_n \leq\, -1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
c. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), grâce à la formule explicite :
\[u_{n+1} – u_n = 2 \times 0{,}9^{n+1} – 2 \times 0{,}9^n = 2 \times 0{,}9^n \times (0{,}9 – 1) = -0{,}2 \times 0{,}9^n.\]
Comme \(0{,}9^n \gt 0\), cette différence est strictement négative : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
d. Comme \(-1 \lt 0{,}9 \lt 1\), on a \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0\), donc par opérations sur les limites \(\lim\limits_{n \to +\infty} (2 \times 0{,}9^n – 3) = -3\). La suite \((u_n)\) converge vers \(-3\). (On pouvait aussi invoquer le théorème de convergence monotone : la suite est décroissante et minorée par \(-3\), mais la formule explicite donne directement la limite.)
2. a. Ensemble de définition. \(g(x)\) existe si \(0{,}5x + 1{,}5 \gt 0\), c’est-à-dire \(x \gt -3\) : c’est bien le cas sur \(]-3~;~-1]\), et la barre double en \(-3\) dans le tableau indique que \(g\) n’y est pas définie.
Limite en \(-3\). Quand \(x\) tend vers \(-3\) par valeurs supérieures, \(0{,}5x + 1{,}5\) tend vers 0 par valeurs positives, donc \(\ln(0{,}5x + 1{,}5)\) tend vers \(-\infty\) ; comme \(-x\) tend vers 3, par somme \(\lim\limits_{x \to -3} g(x) = -\infty\).
Variations. La fonction \(g\) est dérivable sur \(]-3~;~-1]\) et, avec \((\ln u)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) :
\[g^{\prime}(x) = \dfrac{0{,}5}{0{,}5x + 1{,}5} – 1 = \dfrac{0{,}5 – 0{,}5x – 1{,}5}{0{,}5x + 1{,}5} = \dfrac{-0{,}5x – 1}{0{,}5x + 1{,}5}.\]
Le dénominateur est strictement positif sur l’intervalle, donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(-0{,}5x – 1\), qui est positif si et seulement si \(x \leq\, -2\). Ainsi \(g^{\prime}\) est positive sur \(]-3~;~-2]\) et négative sur \([-2~;~-1]\) (nulle seulement en \(-2\)) : \(g\) est croissante sur \(]-3~;~-2]\) et décroissante sur \([-2~;~-1]\).
Valeurs. \(g(-1) = \ln(-0{,}5 + 1{,}5) + 1 = \ln 1 + 1 = 1\), comme indiqué. Le maximum vaut \(g(-2) = \ln(0{,}5) + 2 = 2 – \ln 2 \approx 1{,}31\).
b. Sur \([-2~;~-1]\) : \(g\) est décroissante, donc pour tout \(x\) de cet intervalle \(g(x) \geq\, g(-1) = 1 \gt 0\). L’équation \(g(x) = 0\) n’y a aucune solution.
Sur \(]-3~;~-2]\) : \(g\) est continue et strictement croissante, avec \(\lim\limits_{x \to -3} g(x) = -\infty\) et \(g(-2) = 2 – \ln 2 \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans cet intervalle.
Au total, l’équation \(g(x) = 0\) a exactement une solution \(\alpha\) sur \(]-3~;~-1]\). Par balayage à la calculatrice : \(g(-2{,}889) \approx -0{,}002\,4 \lt 0\) et \(g(-2{,}888) \approx 0{,}005\,6 \gt 0\), donc :
\[-2{,}889 \lt \alpha \lt -2{,}888.\]
3. a. D’après la question 1. a., \(0{,}5u_n + 1{,}5 = 0{,}5(2 \times 0{,}9^n – 3) + 1{,}5 = 0{,}9^n – 1{,}5 + 1{,}5 = 0{,}9^n\). Donc, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[v_n = \ln(0{,}9^n) = n\ln(0{,}9).\]
On en déduit \(v_{n+1} – v_n = (n+1)\ln(0{,}9) – n\ln(0{,}9) = \ln(0{,}9)\), qui ne dépend pas de \(n\) : la suite \(v\) est arithmétique de raison \(\ln(0{,}9)\) (et de premier terme \(v_0 = 0\)).
b. D’après la question 1. b., \(u_n \in ]-3~;~-1]\), donc \(g(u_n)\) est bien défini. Alors :
\[u_n = v_n \iff u_n = \ln(0{,}5u_n + 1{,}5) \iff \ln(0{,}5u_n + 1{,}5) – u_n = 0 \iff g(u_n) = 0.\]
On a donc bien \(u_n = v_n\) si, et seulement si, \(g(u_n) = 0\).
c. Supposons qu’il existe un rang \(k\) tel que \(u_k = \alpha\). On aurait alors \(-2{,}889 \lt u_k \lt -2{,}888\). Or on calcule avec la formule explicite :
\[u_{27} = 2 \times 0{,}9^{27} – 3 \approx -2{,}883\,7 \quad \text{et} \quad u_{28} = 2 \times 0{,}9^{28} – 3 \approx -2{,}895\,3.\]
La suite étant strictement décroissante :
- si \(k \leq\, 27\), alors \(u_k \geq\, u_{27} \approx -2{,}883\,7 \gt -2{,}888\) ;
- si \(k \geq\, 28\), alors \(u_k \leq\, u_{28} \approx -2{,}895\,3 \lt -2{,}889\).
Dans les deux cas, \(u_k\) n’est pas dans l’intervalle \(]-2{,}889~;~-2{,}888[\) qui contient \(\alpha\). La suite « saute » par-dessus \(\alpha\) entre les rangs 27 et 28 : il n’existe aucun rang \(k\) tel que \(u_k = \alpha\).
d. Soit \(k \in \mathbb{N}\). D’après la question 3. b., \(v_k = u_k \iff g(u_k) = 0\). Comme \(u_k \in ]-3~;~-1]\) et que \(\alpha\) est l’unique solution de \(g(x) = 0\) sur cet intervalle (question 2. b.), cela équivaut à \(u_k = \alpha\), ce qui est impossible d’après la question 3. c. Donc il n’existe aucun rang \(k\) pour lequel \(v_k = u_k\).
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