Corrigé France 2023 : la correction en un coup d’œil
D’abord, précisons que ce corrigé France 2023 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en France (jour 1), avec une rédaction complète des réponses. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, la géométrie dans l’espace et les probabilités conditionnelles. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Traduisons l’énoncé en probabilités : \(p(G)=0{,}2\), \(p(G\cap D)=0{,}002\) et \(p(D)=0{,}082\). L’arbre se complète ainsi : branche vers \(G\) de probabilité 0,2 puis vers \(D\) de probabilité 0,01 (et vers \(\overline{D}\) de probabilité 0,99) ; branche vers \(\overline{G}\) de probabilité 0,8 puis vers \(D\) de probabilité 0,1 (et vers \(\overline{D}\) de probabilité 0,9). Les calculs sont détaillés ci-dessous.
1. Réponse b.
Par définition d’une probabilité conditionnelle : \(p_G(D)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}2}=0{,}01\). Réponse b.
2. Réponse b.
Les évènements \(G\cap D\) et \(\overline{G}\cap D\) sont incompatibles et leur réunion est \(D\) (formule des probabilités totales). Donc \(p(\overline{G}\cap D)=p(D)-p(G\cap D)=0{,}082-0{,}002=0{,}08\). Réponse b.
3. Réponse b.
On sait que la machine est défectueuse : on cherche \(p_D(G)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}082}=\dfrac{1}{41}\approx 0{,}0244\), soit 0,024 à \(10^{-3}\) près. Réponse b.
4. Réponse b.
On passe par l’évènement contraire : \(p(X\gt 2)=1-p(X\leq\, 2)\). Avec \(X\) de loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}082)\), la calculatrice donne \(p(X\leq\, 2)\approx 0{,}2114\), donc \(p(X\gt 2)\approx 1-0{,}2114\approx 0{,}789\). Réponse b.
5. Réponse c.
« Toutes les machines du lot fonctionnent » correspond à \(X=0\), et \(p(X=0)=(1-0{,}082)^n=0{,}918^n\). On veut \(0{,}918^n\gt 0{,}4\). La fonction ln est strictement croissante, donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}918)\gt\ln(0{,}4)\), puis, en divisant par \(\ln(0{,}918)\lt 0\) (ce qui change le sens) :
\[n\lt\dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}\approx 10{,}71.\]
Le plus grand entier possible est donc 10 (contrôle : \(0{,}918^{10}\approx 0{,}425\gt 0{,}4\) et \(0{,}918^{11}\approx 0{,}390\lt 0{,}4\)). Réponse c.
Exercice 2 :
1. Quand \(x\) tend vers 0 (par valeurs positives), \(x^2\) tend vers 0 et \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(-8\ln(x)\) tend vers \(+\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty\).
2. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\) (on peut l’écrire \(\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac1x\), produit de deux quantités qui tendent vers 0). Donc \(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\) tend vers 1, et comme \(x^2\) tend vers \(+\infty\), par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
3. Pour tout \(x\gt 0\), la dérivée de \(x^2\) est \(2x\) et celle de \(\ln(x)\) est \(\dfrac1x\). Donc :
\[f^{\prime}(x)=2x-\dfrac8x=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2(x^2-4)}{x}.\]
4. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), on a \(x\gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Comme \(x+2\gt 0\), ce signe est celui de \(x-2\) : négatif sur \(]0\,;\,2[\), nul en 2, positif sur \(]2\,;\,+\infty[\).
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,2]\) et strictement croissante sur \([2\,;\,+\infty[\). Son minimum est atteint en 2 :
\[f(2)=4-8\ln(2)\approx -1{,}545.\]
| \(x\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(4-8\ln(2)\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La valeur exacte du minimum de \(f\) est \(4-8\ln(2)\).
5. Sur \(]0\,;\,2]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante. Sa limite en 0 est \(+\infty\) et \(f(2)=4-8\ln(2)\lt 0\) (car \(8\ln(2)\approx 5{,}55\gt 4\)). L’image de \(]0\,;\,2]\) par \(f\) est donc \([4-8\ln(2)\,;\,+\infty[\), qui contient 0.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,2]\). (La calculatrice donne \(\alpha\approx 1{,}18\), mais ce n’est pas demandé.)
Exercice 2 du corrigé France 2023 : questions 6 à 7
6. On combine le sens de variation et les deux racines \(\alpha\lt 2\lt\beta\) :
- sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f\) est décroissante et \(f(\alpha)=0\), donc \(f(x)\gt 0\) ;
- sur \(]\alpha\,;\,2]\), \(f\) est décroissante, donc \(f(x)\lt f(\alpha)=0\) ;
- sur \([2\,;\,\beta[\), \(f\) est croissante, donc \(f(x)\lt f(\beta)=0\) ;
- sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante, donc \(f(x)\gt f(\beta)=0\).
En résumé : \(f\) est strictement positive sur \(]0\,;\,\alpha[\) et sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), strictement négative sur \(]\alpha\,;\,\beta[\), et s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\).
7. Pour tout \(x\gt 0\), \(g_k(x)=f(x)+k\). La fonction \(g_k\) a donc les mêmes variations que \(f\), et son minimum sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(f(2)+k=4-8\ln(2)+k\), atteint en 2.
La fonction \(g_k\) est positive sur \(]0\,;\,+\infty[\) si et seulement si son minimum est positif ou nul :
\[4-8\ln(2)+k\geq\, 0\iff k\geq\, 8\ln(2)-4.\]
La plus petite valeur de \(k\) qui convient est donc \(k=8\ln(2)-4\approx 1{,}545\) (pour cette valeur, \(g_k\) s’annule en 2 et reste positive ailleurs).
Exercice 3 :
Partie A
1. \(u_2=0{,}9\times 3+1{,}3=2{,}7+1{,}3=4\) et \(u_3=0{,}9\times 4+1{,}3=3{,}6+1{,}3=4{,}9\).
Interprétation : selon ce modèle, la FAQ contient 400 questions le deuxième mois et 490 questions le troisième mois (on garde 90 % des questions du mois précédent et on en ajoute 130).
2. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\) ».
Initialisation. Pour \(n=1\) : \(13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9=13-\dfrac{90}{9}=13-10=3=u_1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\geq\, 1\). Alors :
\[u_{n+1}=0{,}9(13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n)+1{,}3=11{,}7-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+1{,}3=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}.\]
C’est exactement \(\mathcal{P}(n+1)\).
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\).
3. Étudions le signe de la différence de deux termes consécutifs, pour \(n\geq\, 1\) :
\[u_{n+1}-u_n=-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n=\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\times (1-0{,}9)=\dfrac{10}{9}\times 0{,}9^n.\]
Comme \(0{,}9^n\gt 0\), cette différence est strictement positive : la suite \((u_n)\) est croissante.
4. Le programme part de \(n=1\) et \(u=u_1=3\), puis calcule les termes successifs tant que \(u\leq\, p\). Il s’arrête dès que \(u\gt p\) et renvoie le rang correspondant : c’est le premier rang \(n\) tel que \(u_n\gt p\) (la suite étant croissante, elle reste ensuite au-dessus de \(p\)).
Avec la formule explicite, \(u_n\gt 8{,}5\) équivaut à \(\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\lt 4{,}5\), soit \(0{,}9^n\lt 0{,}405\), puis \(n\ln(0{,}9)\lt\ln(0{,}405)\), c’est-à-dire \(n\gt\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)}\approx 8{,}58\) (on a divisé par \(\ln(0{,}9)\lt 0\)). On vérifie : \(u_8\approx 8{,}22\) et \(u_9\approx 8{,}70\).
La saisie de seuil(8.5) renvoie donc 9 : selon le premier modèle, c’est au neuvième mois que la FAQ compte pour la première fois plus de 850 questions.
Partie B
1. \(v_1=9-6\times \text{e}^0=9-6=3\), donc \(v_1=3{,}00\) ; \(v_2=9-6\,\text{e}^{-0{,}19}\approx 9-6\times 0{,}8270\), donc \(v_2\approx 4{,}04\).
2. On résout l’inéquation \(v_n\gt 8{,}5\) :
\[9-6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\gt 8{,}5\iff 6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt 0{,}5\iff\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt\dfrac{1}{12}.\]
La fonction ln étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[-0{,}19(n-1)\lt\ln(\dfrac{1}{12})=-\ln(12)\iff n-1\gt\dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\iff n\gt 1+\dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\approx 14{,}08.\]
La plus petite valeur de \(n\) cherchée est donc \(n=15\) (contrôle : \(v_{14}\approx 8{,}49\) et \(v_{15}\approx 8{,}58\)).
Partie C
1. Plus de 850 questions correspond à un terme strictement supérieur à 8,5. Avec le premier modèle, cela arrive dès le 9e mois (Partie A, question 4) ; avec le second, seulement au 15e mois (Partie B, question 2). Comme \(9\lt 15\), c’est la première modélisation, avec la suite \((u_n)\), qui conduit à modifier le site le plus tôt.
2. Comparons les limites des deux suites.
Comme \(-1\lt 0{,}9\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=13\) : à long terme, environ 1 300 questions avec le premier modèle.
Comme \(-0{,}19(n-1)\) tend vers \(-\infty\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=9\) : à long terme, environ 900 questions avec le second modèle.
Puisque \(13\gt 9\), c’est la première modélisation qui prévoit le plus grand nombre de questions à long terme.
Exercice 4 :
1. Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on lit : \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{C}(1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{G}(1\,;\,1\,;\,1)\). On utilisera aussi \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\).
2. La droite (EC) passe par E et est dirigée par \(\vec{\text{EC}}(1\,;\,1\,;\,-1)\). Une représentation paramétrique est :
\[\{\begin{array}{l}x=t\\y=t\\z=1-t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]
3. Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On a \(\vec{\text{BD}}(-1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\vec{\text{BG}}(0\,;\,1\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre). Calculons :
\[\vec{\text{EC}}\cdot\vec{\text{BD}}=1\times (-1)+1\times 1+(-1)\times 0=0,\qquad\vec{\text{EC}}\cdot\vec{\text{BG}}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0.\]
Le vecteur \(\vec{\text{EC}}\) est orthogonal à ces deux vecteurs : la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
4. a. D’après la question 3, \(\vec{\text{EC}}(1\,;\,1\,;\,-1)\) est un vecteur normal au plan (GBD). Ce plan a donc une équation de la forme \(x+y-z+d=0\). Comme B(1 ; 0 ; 0) appartient au plan, \(1+0-0+d=0\), d’où \(d=-1\).
Une équation cartésienne du plan (GBD) est donc \(x+y-z-1=0\). (Vérification avec les deux autres points : D donne \(0+1-0-1=0\) et G donne \(1+1-1-1=0\).)
b. Le point I est sur (EC) : il a pour coordonnées \((t\,;\,t\,;\,1-t)\) pour un certain réel \(t\). Il est aussi dans le plan (GBD), donc \(t+t-(1-t)-1=0\), soit \(3t-2=0\) et \(t=\dfrac23\). On obtient \(x=\dfrac23\), \(y=\dfrac23\), \(z=1-\dfrac23=\dfrac13\) : \(\text{I}(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13)\).
c. La droite (EC) passe par E, est orthogonale au plan (GBD) et coupe ce plan en I : I est donc le projeté orthogonal de E sur le plan, et la distance de E au plan est la longueur EI. Avec \(\vec{\text{EI}}(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,-\dfrac23)\) :
\[\text{EI}=\sqrt{\dfrac49+\dfrac49+\dfrac49}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{\sqrt{12}}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.\]
Exercice 4 du corrigé France 2023 : questions 5 à 6
La distance du point E au plan (GBD) est bien \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).
5. a. Calculons les trois côtés dans ce repère orthonormé :
\[\text{BD}=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt2,\qquad\text{BG}=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad\text{DG}=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2.\]
On pouvait aussi le voir sans calcul : chacun de ces segments est une diagonale d’une face carrée du cube de côté 1. Les trois côtés sont égaux : le triangle BDG est équilatéral, de côté \(\sqrt2\).
b. Dans un triangle équilatéral, la médiane issue de G est aussi hauteur : (GJ) est perpendiculaire à (BD). On a \(\text{J}(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,0)\), donc \(\vec{\text{JG}}(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,1)\) et
\[\text{GJ}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+1}=\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt6}{2}.\]
L’aire du triangle vaut alors :
\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{BD}\times \text{GJ}}{2}=\dfrac12\times \sqrt2\times \dfrac{\sqrt6}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\]
L’aire du triangle BDG est \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) unité d’aire.
6. Prenons comme base du tétraèdre EGBD le triangle BDG. La hauteur relative à cette base est la distance de E au plan (GBD), soit \(\text{EI}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\) (question 4. c). Donc :
\[V=\dfrac13\times \dfrac{\sqrt3}{2}\times \dfrac{2\sqrt3}{3}=\dfrac13\times \dfrac{2\times 3}{6}=\dfrac13.\]
Le volume du tétraèdre EGBD est égal à \(\dfrac13\) unité de volume.
Corrigé France 2023 : conseils de révision
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou la fonction exponentielle, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction logarithme.
Points de vigilance
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Questions fréquentes sur ce corrigé France 2023
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et la géométrie dans l’espace, mais aussi les probabilités conditionnelles.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
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