Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Traduisons l’énoncé en probabilités : \(p(G)=0{,}2\), \(p(G\cap D)=0{,}002\) et \(p(D)=0{,}082\). L’arbre se complète ainsi : branche vers \(G\) de probabilité 0,2 puis vers \(D\) de probabilité 0,01 (et vers \(\overline{D}\) de probabilité 0,99) ; branche vers \(\overline{G}\) de probabilité 0,8 puis vers \(D\) de probabilité 0,1 (et vers \(\overline{D}\) de probabilité 0,9). Les calculs sont détaillés ci-dessous.
1. Réponse b.
Par définition d’une probabilité conditionnelle : \(p_G(D)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}2}=0{,}01\). Réponse b.
2. Réponse b.
Les évènements \(G\cap D\) et \(\overline{G}\cap D\) sont incompatibles et leur réunion est \(D\) (formule des probabilités totales). Donc \(p(\overline{G}\cap D)=p(D)-p(G\cap D)=0{,}082-0{,}002=0{,}08\). Réponse b.
3. Réponse b.
On sait que la machine est défectueuse : on cherche \(p_D(G)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}082}=\dfrac{1}{41}\approx 0{,}0244\), soit 0,024 à \(10^{-3}\) près. Réponse b.
4. Réponse b.
On passe par l’évènement contraire : \(p(X\gt 2)=1-p(X\leq\, 2)\). Avec \(X\) de loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}082)\), la calculatrice donne \(p(X\leq\, 2)\approx 0{,}2114\), donc \(p(X\gt 2)\approx 1-0{,}2114\approx 0{,}789\). Réponse b.
5. Réponse c.
« Toutes les machines du lot fonctionnent » correspond à \(X=0\), et \(p(X=0)=(1-0{,}082)^n=0{,}918^n\). On veut \(0{,}918^n\gt 0{,}4\). La fonction ln est strictement croissante, donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}918)\gt\ln(0{,}4)\), puis, en divisant par \(\ln(0{,}918)\lt 0\) (ce qui change le sens) :
\[n\lt\dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}\approx 10{,}71.\]
Le plus grand entier possible est donc 10 (contrôle : \(0{,}918^{10}\approx 0{,}425\gt 0{,}4\) et \(0{,}918^{11}\approx 0{,}390\lt 0{,}4\)). Réponse c.
Exercice 2 :
1. Quand \(x\) tend vers 0 (par valeurs positives), \(x^2\) tend vers 0 et \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(-8\ln(x)\) tend vers \(+\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty\).
2. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\) (on peut l’écrire \(\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac1x\), produit de deux quantités qui tendent vers 0). Donc \(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\) tend vers 1, et comme \(x^2\) tend vers \(+\infty\), par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
3. Pour tout \(x\gt 0\), la dérivée de \(x^2\) est \(2x\) et celle de \(\ln(x)\) est \(\dfrac1x\). Donc :
\[f^{\prime}(x)=2x-\dfrac8x=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2(x^2-4)}{x}.\]
4. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), on a \(x\gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Comme \(x+2\gt 0\), ce signe est celui de \(x-2\) : négatif sur \(]0\,;\,2[\), nul en 2, positif sur \(]2\,;\,+\infty[\).
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,2]\) et strictement croissante sur \([2\,;\,+\infty[\). Son minimum est atteint en 2 :
\[f(2)=4-8\ln(2)\approx -1{,}545.\]
| \(x\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(4-8\ln(2)\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La valeur exacte du minimum de \(f\) est \(4-8\ln(2)\).
5. Sur \(]0\,;\,2]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante. Sa limite en 0 est \(+\infty\) et \(f(2)=4-8\ln(2)\lt 0\) (car \(8\ln(2)\approx 5{,}55\gt 4\)). L’image de \(]0\,;\,2]\) par \(f\) est donc \([4-8\ln(2)\,;\,+\infty[\), qui contient 0.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,2]\). (La calculatrice donne \(\alpha\approx 1{,}18\), mais ce n’est pas demandé.)
6. On combine le sens de variation et les deux racines \(\alpha\lt 2\lt\beta\) :
- sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f\) est décroissante et \(f(\alpha)=0\), donc \(f(x)\gt 0\) ;
- sur \(]\alpha\,;\,2]\), \(f\) est décroissante, donc \(f(x)\lt f(\alpha)=0\) ;
- sur \([2\,;\,\beta[\), \(f\) est croissante, donc \(f(x)\lt f(\beta)=0\) ;
- sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante, donc \(f(x)\gt f(\beta)=0\).
En résumé : \(f\) est strictement positive sur \(]0\,;\,\alpha[\) et sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), strictement négative sur \(]\alpha\,;\,\beta[\), et s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\).
7. Pour tout \(x\gt 0\), \(g_k(x)=f(x)+k\). La fonction \(g_k\) a donc les mêmes variations que \(f\), et son minimum sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(f(2)+k=4-8\ln(2)+k\), atteint en 2.
La fonction \(g_k\) est positive sur \(]0\,;\,+\infty[\) si et seulement si son minimum est positif ou nul :
\[4-8\ln(2)+k\geq\, 0\iff k\geq\, 8\ln(2)-4.\]
La plus petite valeur de \(k\) qui convient est donc \(k=8\ln(2)-4\approx 1{,}545\) (pour cette valeur, \(g_k\) s’annule en 2 et reste positive ailleurs).
Exercice 3 :
Partie A
1. \(u_2=0{,}9\times 3+1{,}3=2{,}7+1{,}3=4\) et \(u_3=0{,}9\times 4+1{,}3=3{,}6+1{,}3=4{,}9\).
Interprétation : selon ce modèle, la FAQ contient 400 questions le deuxième mois et 490 questions le troisième mois (on garde 90 % des questions du mois précédent et on en ajoute 130).
2. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\) ».
Initialisation. Pour \(n=1\) : \(13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9=13-\dfrac{90}{9}=13-10=3=u_1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\geq\, 1\). Alors :
\[u_{n+1}=0{,}9(13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n)+1{,}3=11{,}7-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+1{,}3=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}.\]
C’est exactement \(\mathcal{P}(n+1)\).
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\).
3. Étudions le signe de la différence de deux termes consécutifs, pour \(n\geq\, 1\) :
\[u_{n+1}-u_n=-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n=\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\times (1-0{,}9)=\dfrac{10}{9}\times 0{,}9^n.\]
Comme \(0{,}9^n\gt 0\), cette différence est strictement positive : la suite \((u_n)\) est croissante.
4. Le programme part de \(n=1\) et \(u=u_1=3\), puis calcule les termes successifs tant que \(u\leq\, p\). Il s’arrête dès que \(u\gt p\) et renvoie le rang correspondant : c’est le premier rang \(n\) tel que \(u_n\gt p\) (la suite étant croissante, elle reste ensuite au-dessus de \(p\)).
Avec la formule explicite, \(u_n\gt 8{,}5\) équivaut à \(\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\lt 4{,}5\), soit \(0{,}9^n\lt 0{,}405\), puis \(n\ln(0{,}9)\lt\ln(0{,}405)\), c’est-à-dire \(n\gt\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)}\approx 8{,}58\) (on a divisé par \(\ln(0{,}9)\lt 0\)). On vérifie : \(u_8\approx 8{,}22\) et \(u_9\approx 8{,}70\).
La saisie de seuil(8.5) renvoie donc 9 : selon le premier modèle, c’est au neuvième mois que la FAQ compte pour la première fois plus de 850 questions.
Partie B
1. \(v_1=9-6\times \text{e}^0=9-6=3\), donc \(v_1=3{,}00\) ; \(v_2=9-6\,\text{e}^{-0{,}19}\approx 9-6\times 0{,}8270\), donc \(v_2\approx 4{,}04\).
2. On résout l’inéquation \(v_n\gt 8{,}5\) :
\[9-6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\gt 8{,}5\iff 6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt 0{,}5\iff\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt\dfrac{1}{12}.\]
La fonction ln étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[-0{,}19(n-1)\lt\ln(\dfrac{1}{12})=-\ln(12)\iff n-1\gt\dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\iff n\gt 1+\dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\approx 14{,}08.\]
La plus petite valeur de \(n\) cherchée est donc \(n=15\) (contrôle : \(v_{14}\approx 8{,}49\) et \(v_{15}\approx 8{,}58\)).
Partie C
1. Plus de 850 questions correspond à un terme strictement supérieur à 8,5. Avec le premier modèle, cela arrive dès le 9e mois (Partie A, question 4) ; avec le second, seulement au 15e mois (Partie B, question 2). Comme \(9\lt 15\), c’est la première modélisation, avec la suite \((u_n)\), qui conduit à modifier le site le plus tôt.
2. Comparons les limites des deux suites.
Comme \(-1\lt 0{,}9\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=13\) : à long terme, environ 1 300 questions avec le premier modèle.
Comme \(-0{,}19(n-1)\) tend vers \(-\infty\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=9\) : à long terme, environ 900 questions avec le second modèle.
Puisque \(13\gt 9\), c’est la première modélisation qui prévoit le plus grand nombre de questions à long terme.
Exercice 4 :
1. Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on lit : \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{C}(1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{G}(1\,;\,1\,;\,1)\). On utilisera aussi \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\).
2. La droite (EC) passe par E et est dirigée par \(\vec{\text{EC}}(1\,;\,1\,;\,-1)\). Une représentation paramétrique est :
\[\{\begin{array}{l}x=t\\y=t\\z=1-t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]
3. Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On a \(\vec{\text{BD}}(-1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\vec{\text{BG}}(0\,;\,1\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre). Calculons :
\[\vec{\text{EC}}\cdot\vec{\text{BD}}=1\times (-1)+1\times 1+(-1)\times 0=0,\qquad\vec{\text{EC}}\cdot\vec{\text{BG}}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0.\]
Le vecteur \(\vec{\text{EC}}\) est orthogonal à ces deux vecteurs : la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
4. a. D’après la question 3, \(\vec{\text{EC}}(1\,;\,1\,;\,-1)\) est un vecteur normal au plan (GBD). Ce plan a donc une équation de la forme \(x+y-z+d=0\). Comme B(1 ; 0 ; 0) appartient au plan, \(1+0-0+d=0\), d’où \(d=-1\).
Une équation cartésienne du plan (GBD) est donc \(x+y-z-1=0\). (Vérification avec les deux autres points : D donne \(0+1-0-1=0\) et G donne \(1+1-1-1=0\).)
b. Le point I est sur (EC) : il a pour coordonnées \((t\,;\,t\,;\,1-t)\) pour un certain réel \(t\). Il est aussi dans le plan (GBD), donc \(t+t-(1-t)-1=0\), soit \(3t-2=0\) et \(t=\dfrac23\). On obtient \(x=\dfrac23\), \(y=\dfrac23\), \(z=1-\dfrac23=\dfrac13\) : \(\text{I}(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13)\).
c. La droite (EC) passe par E, est orthogonale au plan (GBD) et coupe ce plan en I : I est donc le projeté orthogonal de E sur le plan, et la distance de E au plan est la longueur EI. Avec \(\vec{\text{EI}}(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,-\dfrac23)\) :
\[\text{EI}=\sqrt{\dfrac49+\dfrac49+\dfrac49}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{\sqrt{12}}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.\]
La distance du point E au plan (GBD) est bien \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).
5. a. Calculons les trois côtés dans ce repère orthonormé :
\[\text{BD}=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt2,\qquad\text{BG}=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad\text{DG}=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2.\]
On pouvait aussi le voir sans calcul : chacun de ces segments est une diagonale d’une face carrée du cube de côté 1. Les trois côtés sont égaux : le triangle BDG est équilatéral, de côté \(\sqrt2\).
b. Dans un triangle équilatéral, la médiane issue de G est aussi hauteur : (GJ) est perpendiculaire à (BD). On a \(\text{J}(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,0)\), donc \(\vec{\text{JG}}(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,1)\) et
\[\text{GJ}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+1}=\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt6}{2}.\]
L’aire du triangle vaut alors :
\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{BD}\times \text{GJ}}{2}=\dfrac12\times \sqrt2\times \dfrac{\sqrt6}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\]
L’aire du triangle BDG est \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) unité d’aire.
6. Prenons comme base du tétraèdre EGBD le triangle BDG. La hauteur relative à cette base est la distance de E au plan (GBD), soit \(\text{EI}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\) (question 4. c). Donc :
\[V=\dfrac13\times \dfrac{\sqrt3}{2}\times \dfrac{2\sqrt3}{3}=\dfrac13\times \dfrac{2\times 3}{6}=\dfrac13.\]
Le volume du tétraèdre EGBD est égal à \(\dfrac13\) unité de volume.
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