Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Choisissons comme base le triangle FIG, contenu dans la face supérieure EFGH du premier cube. Dans le repère, les arêtes du cube mesurent 1. Le triangle FIG est rectangle en F, car les arêtes [FE] et [FG] du carré EFGH sont perpendiculaires ; ses côtés de l’angle droit mesurent \(\text{FI}=\dfrac12\text{EF}=\dfrac12\) (I milieu de [EF]) et \(\text{FG}=1\). Son aire vaut donc \(\dfrac{\text{FI}\times \text{FG}}{2}=\dfrac{1}{4}\).
L’arête [BF] est perpendiculaire à la face EFGH : c’est la hauteur issue de B, de longueur \(\text{BF}=1\). Ainsi \(V=\dfrac13\times \dfrac14\times 1\), c’est-à-dire \(V_{\text{FIGB}}=\dfrac{1}{12}\) unité de volume.
2. On a \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\) et \(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\). Les coordonnées du milieu s’obtiennent en faisant la moyenne des coordonnées des extrémités : \(x_{\text{I}}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac12\), \(y_{\text{I}}=0\), \(z_{\text{I}}=1\). Donc \(\text{I}(\dfrac12\,;\,0\,;\,1)\).
3. Avec \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{J}(2\,;\,0\,;\,1)\), on obtient \(\vec{\text{DJ}}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Avec \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\), on calcule deux vecteurs du plan (BIG) : \(\vec{\text{BI}}\begin{pmatrix}-\frac12\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BG}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de \(\vec{\text{BG}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{BI}}\) ne l’est pas, tandis que la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{BI}}\) est nulle et pas celle de \(\vec{\text{BG}}\). Ils dirigent donc le plan (BIG).
Calculons les produits scalaires : \(\vec{\text{DJ}}\cdot\vec{\text{BI}}=2\times (-\dfrac12)+(-1)\times 0+1\times 1=-1+0+1=0\) et \(\vec{\text{DJ}}\cdot\vec{\text{BG}}=2\times 0+(-1)\times 1+1\times 1=0\).
Le vecteur \(\vec{\text{DJ}}\), non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BIG) : \(\vec{\text{DJ}}\) est un vecteur normal au plan (BIG).
4. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) admet une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\). Avec \(\vec{\text{DJ}}\), le plan (BIG) a une équation du type \(2x-y+z+d=0\). Le point \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) appartient au plan, donc \(2\times 1-0+0+d=0\), d’où \(d=-2\). Une équation cartésienne de (BIG) est bien \(2x-y+z-2=0\).
Contrôle : \(\text{I}\) donne \(1-0+1-2=0\) et \(\text{G}\) donne \(2-1+1-2=0\).
5. La droite \(d\) est orthogonale au plan (BIG), donc elle est dirigée par un vecteur normal à ce plan, par exemple \(\vec{\text{DJ}}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Elle passe par \(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\). Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à \(d\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{F}M}=t\,\vec{\text{DJ}}\), ce qui donne la représentation paramétrique :
\[d:\ \begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
6. a. Le point L’ est sur \(d\) : ses coordonnées sont de la forme \((1+2t\,;\,-t\,;\,1+t)\). Il est aussi dans le plan (BIG), donc ces coordonnées vérifient son équation :
\[2(1+2t)-(-t)+(1+t)-2=0\iff 2+4t+t+1+t-2=0\iff 6t+1=0\iff t=-\dfrac16.\]
On remplace \(t\) par \(-\dfrac16\) : \(x=1-\dfrac26=\dfrac23\), \(y=\dfrac16\) et \(z=1-\dfrac16=\dfrac56\). Donc \(\text{L}^{\prime}(\dfrac23\,;\,\dfrac16\,;\,\dfrac56)\).
b. On a \(\vec{\text{FL}^{\prime}}\begin{pmatrix}\frac23-1\\\frac16-0\\\frac56-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac13\\\frac16\\-\frac16\end{pmatrix}\), donc \(\text{FL}^{\prime}^2=\dfrac19+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{4+1+1}{36}=\dfrac{6}{36}=\dfrac16\).
Ainsi \(\text{FL}^{\prime}=\sqrt{\dfrac16}=\dfrac{1}{\sqrt6}\), soit \(\text{FL}^{\prime}=\dfrac{\sqrt6}{6}\approx0{,}41\).
c. L’ est le point d’intersection de la droite \(d\), perpendiculaire au plan (BIG) et passant par F, avec ce plan : c’est le projeté orthogonal de F sur (BIG). Si l’on prend maintenant le triangle IGB comme base du tétraèdre FIGB, la hauteur correspondante est donc FL’.
La formule du volume donne \(\dfrac{1}{12}=\dfrac13\times \mathcal{A}_{\text{IGB}}\times \dfrac{\sqrt6}{6}\), d’où \(\mathcal{A}_{\text{IGB}}=\dfrac{3}{12}\times \dfrac{6}{\sqrt6}=\dfrac{1}{4}\times \sqrt6\).
L’aire du triangle IGB est \(\mathcal{A}_{\text{IGB}}=\dfrac{\sqrt6}{4}\approx0{,}61\) unité d’aire.
Exercice 2 :
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire
1. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(2x\) tend aussi vers \(-\infty\) ; comme \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), on obtient par composition \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{2x}=0\), et de même \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x}=0\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0-0+1=1\).
2. La somme \(\text{e}^{2x}-\text{e}^x\) donne une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ». On factorise par le terme dominant \(\text{e}^{2x}\) : pour tout réel \(x\), \(g(x)=\text{e}^{2x}(1-\text{e}^{-x}+\text{e}^{-2x})\).
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\text{e}^{-x}\) et \(\text{e}^{-2x}\) tendent vers 0, donc la parenthèse tend vers 1, tandis que \(\text{e}^{2x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
3. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{2x}\) est \(x\mapsto 2\text{e}^{2x}\) (dérivée de \(\text{e}^{u}\) : \(u^{\prime}\text{e}^{u}\)). Donc \(g^{\prime}(x)=2\text{e}^{2x}-\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^{2x}=\text{e}^x\times \text{e}^x\), on factorise par \(\text{e}^x\) : \(g^{\prime}(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-1)\).
4. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^x\gt0\), donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(2\text{e}^x-1\). Or, la fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[2\text{e}^x-1\gt0\iff\text{e}^x\gt\dfrac12\iff x\gt\ln(\dfrac12)\iff x\gt-\ln2.\]
Donc \(g^{\prime}(x)\lt0\) sur \(]-\infty\,;\,-\ln2[\), \(g^{\prime}(-\ln2)=0\) et \(g^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]-\ln2\,;\,+\infty[\) : \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,-\ln2]\) et strictement croissante sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\).
Elle admet un minimum en \(-\ln2\). Comme \(\text{e}^{-\ln2}=\dfrac12\) et \(\text{e}^{-2\ln2}=(\text{e}^{-\ln2})^2=\dfrac14\), on a \(g(-\ln2)=\dfrac14-\dfrac12+1=\dfrac34\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\ln2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(g^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| variations de \(g\) | 1 | ↘ | \(\dfrac34\) | ↗ | \(+\infty\) |
5. D’après le tableau, le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) est \(\dfrac34\), qui est strictement positif. Donc pour tout réel \(x\), \(g(x)\geq\,\dfrac34\gt0\) : \(g\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
6. Avec \(X=\text{e}^x\), on a \(\text{e}^{2x}=X^2\), donc \(g(x)=X^2-X+1\). Il suffit alors d’étudier le signe du trinôme \(X^2-X+1\) : son discriminant vaut \(\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1=-3\lt0\), donc il n’a pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant 1, c’est-à-dire qu’il est strictement positif pour tout réel \(X\) (en particulier pour \(X=\text{e}^x\gt0\)). On retrouve que \(g(x)\gt0\) pour tout \(x\). On pouvait aussi utiliser la forme canonique \(X^2-X+1=(X-\dfrac12)^2+\dfrac34\).
Partie B
1. On a \(f(x)=\ln(g(x))\). La fonction \(\ln\) est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) et, d’après la partie A, \(g(x)\gt0\) pour tout réel \(x\). Donc \(f(x)\) existe pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
2. La fonction \(g\) est dérivable et strictement positive sur \(\mathbb{R}\). On utilise la dérivée de \(\ln(u)\), qui est \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) lorsque \(u\) est dérivable et strictement positive. Avec \(u=g\), on obtient \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\) pour tout réel \(x\).
3. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\).
On a \(g(0)=1-1+1=1\), donc \(f(0)=\ln1=0\), et \(g^{\prime}(0)=\text{e}^0(2\text{e}^0-1)=1\), donc \(f^{\prime}(0)=\dfrac{1}{1}=1\). La tangente a pour équation \(y=x\).
4. Comme \(g(x)\gt0\), le quotient \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\) a le même signe que \(g^{\prime}(x)\). D’après la partie A, \(g^{\prime}(x)\gt0\) pour \(x\gt-\ln2\) (et \(g^{\prime}(-\ln2)=0\) en un seul point). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\). On remarque de même que \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,-\ln2]\).
5. Sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\) :
- \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante ;
- \(f(-\ln2)=\ln(\dfrac34)\approx-0{,}29\), qui est inférieur à 2 ;
- \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\), donc par composition \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Le nombre 2 est compris entre \(f(-\ln2)\) et \(+\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d’une fonction strictement monotone), l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\).
Avec la calculatrice : \(f(1{,}1)\approx1{,}949\) et \(f(1{,}2)\approx2{,}164\), donc \(1{,}1\lt\alpha\lt1{,}2\) ; puis \(f(1{,}12)\approx1{,}992\) et \(f(1{,}13)\approx2{,}013\), donc \(1{,}12\lt\alpha\lt1{,}13\). Plus précisément \(\alpha\approx1{,}1238\), d’où \(\alpha\approx1{,}12\) à \(10^{-2}\) près.
Partie C
Conjecture 1 : vraie. La question B.5 prouve que l’équation \(f(x)=2\) a une solution, \(\alpha\approx1{,}12\) (et même une seule sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\)).
Conjecture 2 : fausse. \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,-\ln2]\) et strictement croissante sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\). Le plus grand intervalle où \(f\) est croissante est donc \([-\ln2\,;\,+\infty[\), avec \(-\ln2\approx-0{,}69\), et non \([-0{,}5\,;\,+\infty[\), qui en est seulement une partie.
Conjecture 3 : fausse. D’après B.3, la tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=x\) : son coefficient directeur est 1, et non 1,5.
Exercice 3 :
1. a. Au départ, on a 2 g de polonium et chaque gramme contient \(3\times 10^{21}\) noyaux, donc \(v_0=2\times 3\times 10^{21}=6\times 10^{21}\).
b. Au bout de \(n\) jours, l’échantillon contient \(v_n\) noyaux. Durant les 24 heures suivantes, 0,5 % d’entre eux se désintègrent : il en reste 99,5 %, soit \((1-\dfrac{0{,}5}{100})v_n=0{,}995v_n\). On ajoute ensuite 0,005 g de polonium, qui apporte \(0{,}005\times 3\times 10^{21}=1{,}5\times 10^{19}\) noyaux. Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}\).
2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) la propriété « \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\) ».
Initialisation. \(v_1=0{,}995\times 6\times 10^{21}+1{,}5\times 10^{19}=5{,}97\times 10^{21}+0{,}015\times 10^{21}=5{,}985\times 10^{21}\). On a bien \(0\leq\,5{,}985\times 10^{21}\leq\,6\times 10^{21}\), c’est-à-dire \(0\leq\, v_1\leq\, v_0\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\). En multipliant par 0,995, qui est positif, l’ordre est conservé : \(0\leq\,0{,}995v_{n+1}\leq\,0{,}995v_n\). En ajoutant \(1{,}5\times 10^{19}\) : \(1{,}5\times 10^{19}\leq\,0{,}995v_{n+1}+1{,}5\times 10^{19}\leq\,0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}\), c’est-à-dire \(1{,}5\times 10^{19}\leq\, v_{n+2}\leq\, v_{n+1}\). Comme \(1{,}5\times 10^{19}\gt0\), on obtient \(0\leq\, v_{n+2}\leq\, v_{n+1}\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\).
b. L’inégalité \(v_{n+1}\leq\, v_n\) pour tout \(n\) signifie que la suite \((v_n)\) est décroissante, et \(v_n\geq\,0\) pour tout \(n\) (déjà \(v_0\gt0\), puis \(v_{n+1}\geq\,0\)) signifie qu’elle est minorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge : \((v_n)\) est convergente.
3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :
\[u_{n+1}=v_{n+1}-3\times 10^{21}=0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}-3\times 10^{21}=0{,}995v_n-2{,}985\times 10^{21}.\]
Or \(2{,}985\times 10^{21}=0{,}995\times 3\times 10^{21}\), donc \(u_{n+1}=0{,}995(v_n-3\times 10^{21})=0{,}995u_n\). La suite \((u_n)\) est géométrique de raison 0,995, de premier terme \(u_0=6\times 10^{21}-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}\).
b. D’après le cours sur les suites géométriques, \(u_n=u_0\times 0{,}995^n=3\times 10^{21}\times 0{,}995^n\). Comme \(v_n=u_n+3\times 10^{21}\), on obtient \(v_n=3\times 10^{21}\times 0{,}995^n+3\times 10^{21}\), soit en factorisant \(v_n=3\times 10^{21}(0{,}995^n+1)\).
c. Comme \(0\lt0{,}995\lt1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}995^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}(0{,}995^n+1)=1\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3\times 10^{21}\).
Interprétation : à long terme, le nombre de noyaux se stabilise autour de \(3\times 10^{21}\), ce qui correspond à 1 g de polonium. L’ajout quotidien ne compense pas totalement la désintégration tant qu’il y a plus de 1 g, et l’échantillon se rapproche de cette masse d’équilibre.
4. On résout l’inéquation \(v_n\lt4{,}5\times 10^{21}\) :
\[3\times 10^{21}(0{,}995^n+1)\lt4{,}5\times 10^{21}\iff0{,}995^n+1\lt1{,}5\iff0{,}995^n\lt0{,}5.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc \(0{,}995^n\lt0{,}5\iff n\ln(0{,}995)\lt\ln(0{,}5)\). Comme \(\ln(0{,}995)\lt0\) (car \(0{,}995\lt1\)), en divisant on change le sens : \(n\gt\dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}995)}\approx138{,}3\).
Le plus petit entier qui convient est 139. Vérification : \(v_{138}\approx4{,}502\times 10^{21}\) et \(v_{139}\approx4{,}495\times 10^{21}\). Le nombre de noyaux devient inférieur à \(4{,}5\times 10^{21}\) au bout de 139 jours.
5. a. Dans la boucle, lors du passage numéro \(k\) (\(k\) allant de 0 à \(n-1\)), la variable V contient \(v_k\) et doit recevoir \(v_{k+1}\). Deux possibilités :
- avec la relation de récurrence de la question 1.b :
V = 0.995*V + 1.5*10**19; - avec la forme explicite de la question 3.b, appliquée au rang \(k+1\) :
V = 3*10**21*(0.995**(k+1) + 1).
Par exemple, avec la première solution, la fonction complète s’écrit :
def noyaux (n) :
V =6*10**21
L=[V]
for k in range (n):
V= 0.995*V + 1.5*10**19
L.append(V)
return L
b. 52 semaines représentent \(52\times 7=364\) jours. La liste renvoyée par noyaux(n) contient \(v_0,v_1,\ldots,v_n\), c’est-à-dire les relevés du jour 0 au jour \(n\). Il faut donc exécuter noyaux(364), qui renvoie 365 valeurs (du début de l’expérience jusqu’au 364e jour).
Exercice 4 :
Question 1 : réponse B. Le terme de rang \(k\) (en commençant à \(k=0\)) est \(7+3k\). On cherche \(k\) tel que \(7+3k=2023\), soit \(3k=2016\) et \(k=672\). Les rangs vont de 0 à 672 : la liste compte 673 termes.
Question 2 : réponse C. Les termes \(7+3k\) sont alternativement impairs et pairs : 7 (impair), 10 (pair), 13 (impair)… Le terme est pair exactement lorsque \(k\) est impair. Parmi les entiers \(k\) de 0 à 672, il y a 336 entiers impairs (1, 3, …, 671). La liste contient donc 336 nombres pairs sur 673, et comme le choix se fait au hasard, la probabilité cherchée est \(\dfrac{336}{673}\).
Question 3 : réponse B. « Obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités », c’est réaliser à la fois \(A\) et \(B\). La probabilité cherchée est \(p(A\cap B)\), donnée dans l’énoncé : \(\dfrac{34}{673}\). (La réponse C, \(\dfrac{17}{84}\), est en fait \(P_A(B)=\dfrac{34}{673}\times \dfrac{673}{168}\), une probabilité conditionnelle.)
Question 4 : réponse D. D’abord, \(P(\overline{A})=1-\dfrac{168}{673}=\dfrac{505}{673}\), donc \(P(\overline{A}\cap B)=\dfrac{505}{673}\times \dfrac{33}{505}=\dfrac{33}{673}\). Par la formule des probabilités totales, \(P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=\dfrac{34}{673}+\dfrac{33}{673}=\dfrac{67}{673}\). Enfin \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{34}{673}\times \dfrac{673}{67}\), soit \(P_B(A)=\dfrac{34}{67}\).
Question 5 : réponse A. À chaque tirage, la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 4 est \(P(\overline{A})=\dfrac{505}{673}\). Les 10 tirages se font avec remise, ils sont donc identiques et indépendants : la probabilité qu’aucun des 10 nombres ne soit un multiple de 4 est le produit des 10 probabilités, soit \((\dfrac{505}{673})^{10}\approx0{,}057\).
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