Corrigé du bac blanc de maths 2024 n° 3

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac de maths 2024 blanc n°3 : sujet et corrigé du baccalauréat en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités, 4 points

Une concession vend des véhicules à moteur électrique et à moteur thermique. On sait que 20 % des clients s’intéressent à l’électrique et 80 % au thermique ; parmi les clients intéressés par l’électrique, la probabilité d’avoir consulté la plate-forme numérique est 0,5 ; parmi ceux intéressés par le thermique, elle vaut 0,375. On note \(C\) : « le client a consulté la plate-forme », \(E\) : « il souhaite un véhicule électrique » et \(T\) : « il souhaite un véhicule thermique ».

1. a. On traduit l’énoncé par un arbre pondéré, puis on calcule la probabilité qu’un client souhaite un véhicule électrique et ait consulté la plate-forme.

On a \(P(E)=0{,}2\), \(P(T)=0{,}8\), \(P_E(C)=0{,}5\) et \(P_T(C)=0{,}375\). Les probabilités des branches complémentaires s’en déduisent : \(P_E(\overline{C})=1-0{,}5=0{,}5\) et \(P_T(\overline{C})=1-0{,}375=0{,}625\).

En suivant la branche \(E\) puis \(C\) :

\[P(E\cap C)=P(E)\times P_E(C)=0{,}2\times 0{,}5=0{,}1.\]

La probabilité cherchée vaut \(0{,}1\).

1. b. On calcule \(P(C)\). Les événements \(E\) et \(T\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

\[P(C)=P(E\cap C)+P(T\cap C)=0{,}1+0{,}8\times 0{,}375=0{,}1+0{,}3=0{,}4.\]

\(P(C)=0{,}4\).

1. c. Un client a consulté la plate-forme ; on cherche la probabilité qu’il souhaite un véhicule électrique, c’est-à-dire \(P_C(E)\) :

\[P_C(E)=\frac{P(E\cap C)}{P(C)}=\frac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.\]

Sachant que le client a consulté la plate-forme, la probabilité qu’il souhaite un véhicule électrique est \(0{,}25\).

2. La concession reçoit en moyenne 17 clients par jour. \(X\) désigne le nombre de clients, parmi ces 17, qui souhaitent un véhicule électrique.

2. a. Il faut justifier la loi de \(X\). Pour chaque client, on a une épreuve de Bernoulli dont le succès « il souhaite un véhicule électrique » a pour probabilité \(p=0{,}2\). Les clients choisissent indépendamment les uns des autres : on répète donc 17 fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=17\) et \(p=0{,}2\).

2. b. On cherche la probabilité qu’au moins trois clients souhaitent un véhicule électrique dans la journée, soit \(P(X\geq\, 3)\). On passe par l’événement contraire :

\[P(X\geq\, 3)=1-P(X\leq\, 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)].\]

Avec \(P(X=k)=\binom\,{17}{k}0{,}2^k\,0{,}8^{17-k}\) (ou la calculatrice), \(P(X\leq\, 2)\approx 0{,}3096\), d’où

\[P(X\geq\, 3)\approx 1-0{,}3096=0{,}6904.\]

La probabilité qu’au moins trois clients souhaitent un véhicule électrique est d’environ \(0{,}69\).

Exercice 2 :

Fonctions, 6 points

Partie A

On étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x+\dfrac{1}{2})\mathrm{e}^{-x}+x\).

1. On détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

En \(-\infty\). On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+\frac{1}{2})=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+\frac{1}{2})\mathrm{e}^{-x}=-\infty\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x=-\infty\), par somme :

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.\]

En \(+\infty\). On développe : \(f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+x=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}+x\).

Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0\). De plus \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\). Par somme :

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]

2. On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

2. a. On calcule \(f^{\prime}(x)\) puis \(f^{\prime\prime}(x)\). Avec \(u(x)=x+\frac{1}{2}\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x}\), on a \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}\), donc :

\[f^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+(x+\frac{1}{2})\times (-\mathrm{e}^{-x})+1=(-x+\frac{1}{2})\mathrm{e}^{-x}+1.\]

On dérive de nouveau, avec cette fois \(u(x)=-x+\frac{1}{2}\), \(u^{\prime}(x)=-1\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=-1\times \mathrm{e}^{-x}+(-x+\frac{1}{2})\times (-\mathrm{e}^{-x})=(x-\frac{3}{2})\mathrm{e}^{-x}.\]

2. b. On étudie les variations de \(f^{\prime}\), données par le signe de \(f^{\prime\prime}\). Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x-\frac{3}{2}\).

• si \(x\lt \frac{3}{2}\), \(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\) : \(f^{\prime}\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\frac{3}{2}]\) ;
• si \(x\gt \frac{3}{2}\), \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\) : \(f^{\prime}\) est strictement croissante sur \([\frac{3}{2}\,;+\infty[\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{3}{2}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f^{\prime}\)		décroissante	\(1-\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}\)	croissante

\(f^{\prime}\) admet donc un minimum en \(\frac{3}{2}\), égal à

\[f^{\prime}(\frac{3}{2})=(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}+1=1-\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}.\]

2. c. On en déduit le signe de \(f^{\prime}\). Comme \(-\frac{3}{2}\lt 0\), on a \(\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}\lt \mathrm{e}^{0}=1\), donc \(1-\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}\gt 0\) (sa valeur est environ \(0{,}78\)). Le minimum de \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\) est strictement positif, donc pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\).

2. d. Il faut montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

• \(f\) est dérivable, donc continue, sur \(\mathbb{R}\) ;
• \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour tout \(x\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ;
• \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), et \(0\) est compris entre ces deux limites.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).

2. e. On cherche une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près. Par balayages successifs à la calculatrice, en utilisant la croissance de \(f\) :

• \(f(-1)\approx -2{,}36\lt 0\) et \(f(0)=0{,}5\gt 0\), donc \(\alpha\in[-1\,;0]\) ;
• \(f(-0{,}3)\approx -0{,}030\lt 0\) et \(f(-0{,}2)\approx 0{,}166\gt 0\), donc \(\alpha\in[-0{,}3\,;-0{,}2]\) ;
• \(f(-0{,}29)\approx -0{,}009\lt 0\) et \(f(-0{,}28)\approx 0{,}011\gt 0\), donc \(\alpha\in[-0{,}29\,;-0{,}28]\) ;
• \(f(-0{,}286)\approx -0{,}001\lt 0\) et \(f(-0{,}285)\approx 0{,}000\,9\gt 0\), donc \(\alpha\in[-0{,}286\,;-0{,}285]\).

En fait \(\alpha\approx -0{,}285\,4\), donc \(\alpha\approx -0{,}285\) à \(10^{-3}\) près.

Partie B

On considère une fonction \(h\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de la forme \(h(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x}+x\) avec \(a\) et \(b\) réels. Le graphique fourni montre sa courbe \(\mathscr{C}_h\) ainsi que les points \(\mathrm{A}(-2\,;-2{,}5)\) et \(\mathrm{B}(2\,;3{,}5)\), la droite \((\mathrm{AB})\) étant tangente à \(\mathscr{C}_h\) au point d’abscisse 0.

1. On conjecture graphiquement le nombre de points d’inflexion. Sur la gauche, la courbe est située sous ses tangentes (fonction concave), puis, vers la droite, elle passe au-dessus de ses tangentes (fonction convexe). Le changement se produit en un seul point, où la tangente (en rouge) traverse la courbe : son abscisse est voisine de \(1{,}5\). On conjecture que \(\mathscr{C}_h\) admet un unique point d’inflexion, d’abscisse \(1{,}5\).

2. On admet que \(h^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}\) et on vérifie la conjecture. On factorise :

\[h^{\prime\prime}(x)=(x-\frac{3}{2})\mathrm{e}^{-x}.\]

Comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), on a \(h^{\prime\prime}(x)=0 \iff x-\frac{3}{2}=0 \iff x=1{,}5\), et \(h^{\prime\prime}(x)\) est négatif pour \(x\lt 1{,}5\), positif pour \(x\gt 1{,}5\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe uniquement en \(1{,}5\) : \(h\) est concave sur \(]-\infty\,;1{,}5]\) puis convexe sur \([1{,}5\,;+\infty[\). La conjecture est vérifiée : \(\mathscr{C}_h\) a un unique point d’inflexion, d’abscisse \(1{,}5\).

3. On cherche une équation de la droite \((\mathrm{AB})\). Son coefficient directeur est

\[m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{3{,}5-(-2{,}5)}{2-(-2)}=\frac{6}{4}=1{,}5.\]

L’équation s’écrit \(y=1{,}5x+p\). Comme \(\mathrm{A}\) appartient à la droite : \(-2{,}5=1{,}5\times (-2)+p\), d’où \(p=-2{,}5+3=0{,}5\).

La droite \((\mathrm{AB})\) a pour équation \(y=1{,}5x+0{,}5\). (Vérification avec B : \(1{,}5\times 2+0{,}5=3{,}5\).)

4. On détermine \(a\) et \(b\), sachant que \((\mathrm{AB})\) est tangente à \(\mathscr{C}_h\) au point d’abscisse 0.

D’abord la dérivée : pour tout réel \(x\),

\[h^{\prime}(x)=a\mathrm{e}^{-x}+(ax+b)\times (-\mathrm{e}^{-x})+1=(-ax+a-b)\mathrm{e}^{-x}+1.\]

• Le coefficient directeur de la tangente en 0 est \(h^{\prime}(0)\), qui doit valoir \(1{,}5\) : \(h^{\prime}(0)=(a-b)\mathrm{e}^{0}+1=a-b+1=1{,}5\), donc \(a-b=0{,}5\).
• Le point de contact d’abscisse 0 est sur la droite, dont l’ordonnée à l’origine est \(0{,}5\) : \(h(0)=b\,\mathrm{e}^{0}+0=b=0{,}5\).

On obtient \(b=0{,}5\) puis \(a=0{,}5+b=1\). Ainsi

\[h(x)=(x+\frac{1}{2})\mathrm{e}^{-x}+x=f(x).\]

\(a=1\) et \(b=0{,}5\) : la fonction \(h\) est la fonction \(f\) de la partie A. C’est cohérent avec la partie A, où l’on avait trouvé \(f^{\prime\prime}(x)=(x-\frac{3}{2})\mathrm{e}^{-x}\).

Exercice 3 :

Suites et algorithmique, 5 points

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x+3\).

1. On dresse le tableau de variations de \(f\) avec ses limites.

\(f\) est un polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2}x-2=\dfrac{3}{2}(x-\dfrac{4}{3})\). Donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x-\frac{4}{3}\) : négatif avant \(\frac{4}{3}\), positif après.

Limites : un polynôme a la même limite en l’infini que son terme de plus haut degré, donc \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{4}x^2=+\infty\) et de même \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Minimum : \(f(\dfrac{4}{3})=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{16}{9}-\dfrac{8}{3}+3=\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{5}{3}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{4}{3}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)	\(+\infty\)	décroissante	\(\frac{5}{3}\)	croissante	\(+\infty\)

2. Il faut montrer que si \(x\in[\frac{4}{3}\,;2]\), alors \(f(x)\in[\frac{4}{3}\,;2]\).

D’après la question 1, \(f\) est croissante sur \([\frac{4}{3}\,;2]\). Donc si \(\frac{4}{3}\leq\, x\leq\, 2\), alors \(f(\frac{4}{3})\leq\, f(x)\leq\, f(2)\). Or \(f(\frac{4}{3})=\frac{5}{3}\) et \(f(2)=\frac{3}{4}\times 4-4+3=2\). On a donc \(\frac{5}{3}\leq\, f(x)\leq\, 2\), et comme \(\frac{4}{3}\lt \frac{5}{3}\) :

\[\frac{4}{3}\leq\, f(x)\leq\, 2.\]

L’intervalle \([\frac{4}{3}\,;2]\) est stable par \(f\).

3. On montre que, pour tout réel \(x\), \(x\leq\, f(x)\). On étudie la différence :

\[f(x)-x=\frac{3}{4}x^2-3x+3=\frac{3}{4}(x^2-4x+4)=\frac{3}{4}(x-2)^2.\]

Un carré est positif, donc \(f(x)-x\geq\, 0\) : pour tout réel \(x\), \(x\leq\, f(x)\) (avec égalité seulement pour \(x=2\)).

On définit maintenant la suite \((u_n)\) par un réel \(u_0\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{3}{4}u_n^2-2u_n+3\).

4. Cas où \(\frac{4}{3}\leq\, u_0\leq\, 2\).

4. a. On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 2\) » est vraie. On montre en même temps que \(u_n\in[\frac{4}{3}\,;2]\), ce qui est utile pour l’hérédité.

Initialisation. D’après la question 3, \(u_0\leq\, f(u_0)=u_1\). D’après la question 2, puisque \(u_0\in[\frac{4}{3}\,;2]\), \(u_1=f(u_0)\in[\frac{4}{3}\,;2]\), donc \(u_1\leq\, 2\). Ainsi \(u_0\leq\, u_1\leq\, 2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie, avec \(u_n\in[\frac{4}{3}\,;2]\). Alors \(\frac{4}{3}\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 2\) : les deux nombres \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont dans \([\frac{4}{3}\,;2]\), où \(f\) est croissante. En appliquant \(f\) :

\[f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(2),\quad\text{soit}\quad u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 2.\]

De plus \(u_{n+1}\in[\frac{4}{3}\,;2]\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par récurrence, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 2\).

4. b. On en déduit la convergence. Pour tout \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\) : la suite est croissante ; et \(u_n\leq\, 2\) : elle est majorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\), et par passage à la limite dans \(u_n\leq\, 2\), on a \(\ell\leq\, 2\).

4. c. On détermine \(\ell\). La suite vérifie \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) (c’est un polynôme). En passant à la limite, \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\), c’est-à-dire, d’après la question 3 :

\[f(\ell)-\ell=0 \iff \frac{3}{4}(\ell-2)^2=0 \iff \ell=2.\]

La suite \((u_n)\) converge vers 2.

5. Cas \(u_0=3\) : on admet que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\). On complète la fonction Python seuil pour qu’elle renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\geq\, 100\).

def seuil():
    u = 3
    n = 0
    while u < 100:
        u = 3*u*u/4 - 2*u + 3
        n = n + 1
    return n

La boucle continue tant que \(u_n\lt 100\) ; à chaque tour on calcule le terme suivant et on augmente \(n\) de 1. On a \(u_1=3{,}75\), \(u_2\approx 6{,}05\), \(u_3\approx 18{,}33\) et \(u_4\approx 218{,}3\) : l’appel seuil() renvoie 4.

6. Cas \(u_0\gt 2\) : on montre que la suite ne converge pas.

D’après la question 3, pour tout \(n\), \(u_n\leq\, f(u_n)=u_{n+1}\) : la suite \((u_n)\) est croissante, donc pour tout \(n\), \(u_n\geq\, u_0\).

Supposons que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\). Par passage à la limite, \(\ell\geq\, u_0\gt 2\). Mais, comme à la question 4.c (la continuité de \(f\) donne \(f(\ell)=\ell\)), la seule limite possible est \(\ell=2\). C’est contradictoire.

Pour \(u_0\gt 2\), la suite \((u_n)\) n’est pas convergente (croissante et non majorée, elle tend vers \(+\infty\)).

Exercice 4 :

Géométrie dans l’espace (QCM), 5 points

Dans un repère orthonormé \((\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), on donne \(\mathrm{A}(6\,;-6\,;6)\), \(\mathrm{B}(-6\,;0\,;6)\), \(\mathrm{C}(-2\,;-2\,;11)\), la droite \((d)\) orthogonale aux droites sécantes \((\mathrm{AB})\) et \((\mathrm{BC})\) passant par A, et la droite \((d^{\prime})\) de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=-6-8t\\ y=4t\\ z=6+5t\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).

Question 1. Lequel des vecteurs \(\vec{u_1}(-6\,;3\,;0)\), \(\vec{u_2}(1\,;2\,;6)\), \(\vec{u_3}(1\,;2\,;0{,}2)\), \(\vec{u_4}(1\,;2\,;0)\) dirige \((d)\) ?

Un vecteur directeur de \((d)\) doit être orthogonal à la fois à \(\vec{\mathrm{AB}}\) et à \(\vec{\mathrm{BC}}\). On a \(\vec{\mathrm{AB}}(-12\,;6\,;0)\) et \(\vec{\mathrm{BC}}(4\,;-2\,;5)\). On calcule les produits scalaires :

• \(\vec{u_1}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=72+18+0=90\neq 0\) : non ;
• \(\vec{u_2}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=-12+12+0=0\) mais \(\vec{u_2}\cdot\vec{\mathrm{BC}}=4-4+30=30\neq 0\) : non ;
• \(\vec{u_3}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=0\) mais \(\vec{u_3}\cdot\vec{\mathrm{BC}}=4-4+1=1\neq 0\) : non ;
• \(\vec{u_4}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=-12+12+0=0\) et \(\vec{u_4}\cdot\vec{\mathrm{BC}}=4-4+0=0\) : oui.

Réponse d : \(\vec{u_4}(1\,;2\,;0)\) est un vecteur directeur de \((d)\).

Question 2. Quelle représentation paramétrique convient pour la droite \((\mathrm{AB})\) ?

Les vecteurs directeurs proposés sont \((2\,;0\,;1)\) en a, \((2\,;0\,;-1)\) en b, \((2\,;-1\,;0)\) en c et \((2\,;1\,;0)\) en d. Or \(\vec{\mathrm{AB}}(-12\,;6\,;0)=-6\times (2\,;-1\,;0)\) : seul le vecteur de la proposition c est colinéaire à \(\vec{\mathrm{AB}}\). De plus, pour \(t=0\), la proposition c donne le point \((6\,;-6\,;6)\), c’est-à-dire A, et pour \(t=-6\) le point \((-6\,;0\,;6)\), c’est-à-dire B.

Réponse c.

Question 3. Quel est un vecteur directeur de \((d^{\prime})\) parmi \(\vec{v_1}(-6\,;0\,;6)\), \(\vec{v_2}(-14\,;4\,;11)\), \(\vec{v_3}(8\,;-4\,;-5)\), \(\vec{v_4}(8\,;4\,;5)\) ?

On lit les coefficients de \(t\) dans la représentation paramétrique : \(\vec{v}(-8\,;4\,;5)\) dirige \((d^{\prime})\). Or \(\vec{v_3}=-\vec{v}\), donc \(\vec{v_3}\) est colinéaire à \(\vec{v}\) et dirige aussi \((d^{\prime})\). Les autres ne sont pas colinéaires à \(\vec{v}\).

Réponse c.

Question 4. Lequel des points \(\mathrm{M_1}(50\,;-28\,;-29)\), \(\mathrm{M_2}(-14\,;-4\,;1)\), \(\mathrm{M_3}(2\,;-4\,;-1)\), \(\mathrm{M_4}(-3\,;0\,;3)\) appartient à \((d^{\prime})\) ?

Un point est sur \((d^{\prime})\) si un même \(t\) vérifie les trois équations. Pour \(\mathrm{M_1}\) : \(4t=-28\) donne \(t=-7\), puis \(-6-8\times (-7)=50\) et \(6+5\times (-7)=-29\) : les trois coordonnées concordent. En revanche, pour \(\mathrm{M_2}\) et \(\mathrm{M_3}\), l’équation \(4t=-4\) impose \(t=-1\), qui donne le point \((2\,;-4\,;1)\) : ni \(\mathrm{M_2}\) (abscisse \(-14\)) ni \(\mathrm{M_3}\) (cote \(-1\)) ne conviennent. Pour \(\mathrm{M_4}\), \(t=0\) donne le point \((-6\,;0\,;6)\), différent de \(\mathrm{M_4}\).

Réponse a : \(\mathrm{M_1}\in(d^{\prime})\).

Question 5. Un vecteur normal au plan d’équation \(x=1\) ?

Un plan d’équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) admet \(\vec{n}(a\,;b\,;c)\) pour vecteur normal. L’équation \(x=1\) s’écrit \(1x+0y+0z-1=0\), d’où le vecteur normal \((1\,;0\,;0)\).

Réponse a : \(\vec{n_1}(1\,;0\,;0)\).