Cette fiche rassemble plus d’une trentaine d’exercices pour travailler le barycentre en 1ère, de la simple construction sur un segment jusqu’aux problèmes de lieux géométriques. Les premiers énoncés font placer le barycentre de deux ou trois points pondérés, vérifier son existence (somme des coefficients non nulle) et le situer à l’aide d’une égalité vectorielle.
Viennent ensuite les grandes propriétés : l’associativité (barycentre partiel), l’isobarycentre et le centre de gravité d’un triangle, utilisés pour démontrer un alignement, un parallélisme ou des droites concourantes. D’autres exercices se traitent dans un repère, avec les coordonnées, et plusieurs demandent de déterminer un ensemble de points (cercle, médiatrice ou droite) en réduisant des sommes vectorielles. Une situation de physique, avec une balance à crochet, montre l’intérêt concret de la notion.
Cherchez chaque question au brouillon en traçant une figure soignée, puis comparez votre démarche avec le corrigé détaillé de ces exercices, qui justifie chaque étape du raisonnement.
Exercice 1 – Barycentre de points pondérés (barycentre en 1ère)
1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .
3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .
4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .
Exercice n° 2 :
1. Puis, Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .\)
2. Également, Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .\)
3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .\)
4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .\)
Exercice n° 3 (barycentre en 1ère)
Soit R un repère orthonormé du plan .
1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnées, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .
2. On note \(C_1\) l’ensemble des points M du plan tels que \(\|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 .\).
Déterminer l’équation de l’ensemble \(C_1\) .
3. On note \(C_2\) l’ensemble des points M du plan tels que \(\|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\| .\).
Déterminer l’équation de l’ensemble \(C_2\) .
Trouver un lieu de points
ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.
Déterminer l’ensemble \(\Gamma\) des points M du plan tels que :
\(\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|=\|\vec{MB}+3\vec{MC}\|\).
Exercice 4 – Déterminer un lieu de points
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].
1. Placer le point F tel que \(\vec{BF}=-\vec{BA}\) et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.
2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
\(\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}\)
\(-\vec{PA}+2\vec{PB}\)
\(2\vec{PB}-2\vec{PA}\)
3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
\(\|\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}\|=\|-\vec{MA}+2\vec{MB}\|\)
4. Déterminer et représenter l’ensemble des points N du plan vérifiant :
\(\|\vec{NB}+\vec{NC}\|=\|2\vec{NB}-2\vec{NA}\|\)
Exercice 5 – Exercice dans un repère (barycentre en 1ère)
1. Placer dans un repère les points A(1,2); B(- 3 , 4) et C(- 2 , 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A,3), (B,2) et (C, – 4).
2. Quelles sont les coordonnées de G ?Placer G.
3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? (Justifier)
Exercice 6 – Alignement de points
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,15).
Démontrer que G,C et E sont alignés .
Exercice 7 – Barycentre classique (barycentre en 1ère)
ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,3) (D,3).
Construire le point G. (Argumenter)
Exercice 8 – Isobarycentre et quadrilatère
ABCD est un quadrilatère.
On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.
1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.
2) Conclure et faire une figure.
Exercice 9 – Sciences physiques (barycentre en 1ère)
Une balance est constituée d’une masse M et d’un plateau fixé aux extrémités d’une tige.
Pour peser une masse m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige.
Cette balance a l’avantage pour le commerçant de ne pas manipuler plusieurs masses.
1. Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?
(M = 2 kg)
On pourra reproduire ces schémas à l’échelle de son choix.
2. Le point G est tel que \(\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AB}\).
Quelle est la masse m pesée ? (M = 2 kg).
Exercice 10 – Déterminer la position d’un barycentre
ABC est un triangle. On note G le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (C ; 1).
Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du point G.
1. Soit I le milieu de [BC].
Montrer que :
\(\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GI}\)
2. En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on précisera.
3. Conclure.
Exercice 11 – Construction et positionnement (barycentre en 1ère)
On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; – 3).
1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ; – 3).
2. Montrer que \(\vec{GA}+\vec{GI}=\vec{0}\) .
3. En déduire la position de G sur (AI).
Exercice 12 – Démontrer que des points sont alignés
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 2) et (C ; 15).
Démontrer que G, C et E sont alignés.
Exercice 13 – Barycentres confondus (barycentre en 1ère)
B est le milieu de [AC].
Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).
Exercice 14 – Construction de barycentre dans un triangle
ABC est un triangle.
1. G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.
2. G ‘ est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3). Construire le point G ‘ . Expliquer.
3. Démontrer que (AG’) est parallèle à (BC).
Exercice 15 – Construction d’un barycentre (barycentre en 1ère)
ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3).
Construire le point G. Expliquer.
Exercice 16 – Ensemble de points
ABCD est un carré de centre G et de côté 4 cm.
1. Calculer la longueur GA .
2. Réduire la somme \(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\) ( à l’aide du point G).
3. Déterminer et représenter l’ensemble \(\Gamma_1\) des points M tel que :
\(\|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\|=8\sqrt{2}\)
4. Déterminer et représenter l’ensemble \(\Gamma_2\) des points M tel que :
\(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\) soit colinéaire à \(\vec{AD}\) .
Exercice 17 – Alignement de points (barycentre en 1ère)
Dans le triangle ABC, le point E est le milieu de [AB]
et G est le barycentre de (A ; -2) (B;-2) et (C;8).
1. Exprimer E comme le barycentre de A et B .
2. Démontrer que G,C et E sont alignés .
3. C est-il le milieu de [EG] ?
Exercice 18 – Triangle équilatéral et droites parallèles
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.
1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).
2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.
Exercice 19 – Centre de gravité et droites concourantes (barycentre en 1ère)
ABC est un triangle de centre de gravité G.
On note I, J, M, N, R et S les points définis par :
\(\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB};\vec{AJ}=\frac{2}{3}\vec{AB};\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AC};\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{AC};\vec{BR}=\frac{1}{3}\vec{BC};\vec{BS}=\frac{2}{3}\vec{BC}\)
Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) sont concourantes en G.
Exercice 20 – Démontrer que des droites sont concourantes
ABC est un triangle.
On considère le barycentre A’ de (B ; 2) et (C ; – 3), le barycentre B ‘ de (A ; 5) et (C ; – 3)
et le barycentre C ‘ de (A ; 5) et (B ; 2).
Démontrer que les droites (AA ‘), (BB ‘) et (CC ‘) sont concourantes.
Exercice 21 – Démontrer que des droites sont parallèles (barycentre en 1ère)
ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).
Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.
Exercice 22 – Barycentre et repère
1. Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( – 3 ; 4) et C( – 2 ; 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).
2. Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.
3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.
Exercice 23 – Un lieu géométrique (barycentre en 1ère)
[AB] est un segment de longueur 10 cm et G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}
1. Développez et réduire \(2(\vec{MG}+\vec{GA})^2+3(\vec{MG}+\vec{GB})^2\)
2. Démontrez alors que pour tout point M du plan on a 2MA² + 3MB² = 5MG² + 120.
3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que 2MA² + 3MB² = 245.
Exercice 24 – Ensemble de points
A, B et C sont 3 points du plan non alignés et k un nombre réel quelconque.
I bar { (B ;1), (C ;2)} et G le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)
1. Exprimer \(\vec{IG}\) en fonction de \(\vec{IA}\) , \(\vec{IB}\) et \(\vec{IC}\) .
2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit \(\mathbb{R}\).
3. Représentez graphiquement (E) dans le cas AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm.
Exercice 25 – Associativité du barycentre (barycentre en 1ère)
A, B, C et D sont quatre points distincts.
On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 26 – Barycentre et paramètre
ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point Gm barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).
On note O le milieu de [BC].
1. Expliquer pourquoi Gm existe toujours et démontrer que, lorsque m décrit \(\mathbb{R}\) , Gm décrit une droite D que vous préciserez.
2. a) Construisez G2 et G-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et BC = 6cm
b) On suppose m différent de 2 et -2.
Soit Gm un point de D distinct de A, G2 etG-2 .
Démontrer que (BGm) coupe (AC) en un point noté I et que (CGm) coupe (AB) en un point noté J.
3. Dans le repère \((A,\vec{AB},\vec{AC})\),
calculez en fonction de m les coordonnées de I et J.
Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés.
(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs).
Exercice 27 – Centre de gravité
Soit ABC un triangle, A’ , B’ , et C’ les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.
On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M par rapport à A’ , B’ , et C’ .
On désigne par M’ barycentre des points (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)
1. Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M ‘.
2. Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG).
Exercice 28 – Trouver un ensemble de points du plan
ABCD est un carré.
1. Quel est l’ensemble E des points M du plan tels que :
\(\| 2\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC} \|=AB\)
2. Représenter cet ensemble E.
Exercice 29 – Carré
Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; – 1), (C ; 2) et (D ; 1).
On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; – 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).
1. Placer I et J en justifiant.
2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :
\(2\vec{KA}-\vec{KB}\text{ et }2\vec{KC}+\vec{KD}.\)
En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).
3. Placer K en justifiant.
Exercice 30 – Barycentre et placement de points
Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :
\(\vec{AB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}\)
Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.
Exercice 31 – Isobarycentre, centre de gravité et repère
Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\),
1.Placer les points A(2 ; 1), B( – 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ; \(\frac{5}{2}\) ).
2. Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.
3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.
4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.
Exercice 32 – Ensemble de points
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].
1. Placer le point F tel que \(\vec{BF}=-\frac{1}{3}\vec{BA}\) .
et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.
2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
\(\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}\) ; \(-\vec{PA}+2\vec{PB}\) ; \(2\vec{PB}-2\vec{PA}\)
3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
\(\|\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC} \|= \| -\vec{MA}+2\vec{MB} \|\)
4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
\(\|\vec{NB}+\vec{NC} \|= \| 2\vec{NB}-2\vec{NA} \|\)
Barycentre en 1ère : méthode de travail
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, barycentre en 1ère en première demande surtout de la régularité.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec géométrie dans l’espace : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
