Corrigés des exercices de maths en 1ère
Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur le barycentre n points pondérés. Utiliser les propriétés de stabilité et d’associativité du barycentre en première.

Exercice 1 :

1. Le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. des points mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour coordonnées :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. cm, on peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. en fonction de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. : mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.. Ainsi, on peut écrire :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour abscisse mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

2. Le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. des points mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour coordonnées :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Comme mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. cm, on peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. en fonction de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. : mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.. Ainsi, on peut écrire :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour abscisse mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

3. Le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. des points mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour coordonnées :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Comme mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. cm, on peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. en fonction de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. : mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.. Ainsi, on peut écrire :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour abscisse mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

4. Le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. des points mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour coordonnées :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Comme  alt= Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. en fonction de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. : mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.. Ainsi, on peut écrire :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc le barycentre mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. a pour abscisse mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

A vous d’effectuer ces constructions en sachant que le barycentre est forcément aligné avec les points A et B.

Exercice 2 :

1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que mimetex.cgi? \|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
Considérons I barycentre des points (A,5) et (B,6)
mimetex.cgi? 5\vec{MA}+6\vec{MB}=11\vec{MI}+5\vec{IA}+6\vec{IB}=11\vec{MI}+\vec{0}=11\vec{MI}  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
donc l’ensemble correspond au cercle de centre I et de rayon 2 .

2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que mimetex.cgi? \|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
Considérons I barycentre des points (A,-5) et (B,8)
mimetex.cgi? -5\vec{MA}+8\vec{MB}=3\vec{MI}-5\vec{IA}+8\vec{IB}=3\vec{MI}+\vec{0}=3\vec{MI}  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
donc l’ensemble correspond au cercle de centre I et de rayon 4 .

3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que mimetex.cgi? \|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\|  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
Considérons I barycentre des points (A,5) et (B,-6) et J barycentre des points (A,7) et (B;-6)
mimetex.cgi? 5\vec{MA}-6\vec{MB}=-\vec{MI}+5\vec{IA}-6\vec{IB}=-\vec{MI}+\vec{0}=-\vec{MI}  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
De même : mimetex.cgi? 7\vec{MA}-6\vec{MB}=\vec{MJ}+7\vec{JA}-6\vec{JB}=-\vec{MJ}+\vec{0}=\vec{MJ}  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
donc nous recherchons les points M tels que MI=MJ, l’ensemble est donc la médiatrice du segment [IJ].

Exercice 3  :
Soit R un repère orthonormé du plan .

1. Effectuer la construction

2. On note mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. l’ensemble des points M du plan tels que mimetex.cgi? \|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45  Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..
mimetex.cgi?4\vec{MA}+5\vec{MB}=(4(3-x)+5(-1-x);4(4-y)+5(2-y)) \\=(-9x+7;-9y+26) Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..
mimetex.cgi? \|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=\sqrt{(-9x+7)^2+(-9y+26)^2}\\=\sqrt{81[(x-\frac{7}{9})^2+(y-\frac{26}{9})^2]} Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Déterminer l’équation de l’ensemble mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. .
L’équation de cet ensemble est donc :
mimetex.cgi?(x-\frac{7}{9})^2+(y-\frac{26}{9})^2=(\frac{45}{81})^2 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. Montrer que c’est une médiatrice.

Exercice 4 :

Considérons le point G barycentre de (A,1); (B,1) et (C,2)

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Considérons le point K barycentre de (B,1) et (C,3)

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc cela revient à chercher l’ensemble des points du plan tels que :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : l’ensemble des points M est la médiatrice du segment [MK]

Exercice 5 :

1. On trace le repère et on place les points A(1,2), B(-3,4) et C(-2,5):

2. Pour trouver les coordonnées du barycentre G, on utilise la formule:

où xi et yi sont les coordonnées de chaque point pondéré, wi est son poids (c’est-à-dire le coefficient associé) et n est le nombre total de points.

On a donc:

On a donc G(– 3/3, 8/3), soit G(-1, 2.666…). On peut le placer dans le repère:

3. Pour savoir si la droite (BG) passe par l’origine, il suffit de vérifier si les coordonnées de l’origine (0,0) vérifient l’équation de la droite, c’est-à-dire si elles correspondent à des valeurs de x et y qui satisfont l’équation de la droite. L’équation de la droite (BG) peut être trouvée en utilisant les coordonnées de B et G:

On a donc une équation de la forme mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., où m est le coefficient directeur (-2/3) et b est l’ordonnée à l’origine (8/3). Pour vérifier si l’origine appartient à la droite, on remplace x et y par 0 dans l’équation:

y = -2/3(x) + 8/3
y = 8/3

On voit que y est toujours égal à 8/3, quelle que soit la valeur de x. L’origine ne vérifie donc pas cette équation et ne fait pas partie de la droite (BG), qui ne passe donc pas par l’origine.

Exercice 6 :

Pour démontrer que G, C et E sont alignés, il suffit de montrer que la droite (GC) passe par le point E qui est le milieu de [AB].

Calculons les coordonnées de E, sachant que E est le milieu de [AB], donc que les coordonnées de E sont la moyenne des coordonnées de A et de B:

xe = (xa + xb)/2
ye = (ya + yb)/2

Calculons les coordonnées de G, sachant que G est le barycentre de (A,-2), (B,-2) et (C,15):

xg = (xa*-2 + xb*-2 + xc*15)/(-2-2+15) = (15xc – 4xa – 4xb)/11
yg = (ya*-2 + yb*-2 + yc*15)/(-2-2+15) = (15yc – 4ya – 4yb)/11

Nous allons montrer que la droite (GC) a pour équation y = kx + p où k et p sont à déterminer.

Soit C(xc, yc), G(xg, yg) et E(xe,ye). La pente de la droite (GC) est donc :

k = (yg-yc)/(xg-xc) = ((15yc – 4ya – 4yb)/11 – yc)/((15xc – 4xa – 4xb)/11 – xc)
k = (15yc – 4ya – 4yb – 11yc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)
k = (11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)

Nous savons également que la droite (GC) passe par le point E, c’est-à-dire qu’elle vérifie l’équation :

ye = k*xe + p

Nous pouvons exprimer p en remplaçant xe, ye et k dans cette équation :

p = ye – k*xe

p = ((ya + yb)/2) – ((11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)) * ((xa + xb)/2)

p = ((ya + yb)/2) – ((11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)) * ((xa + xb)/2)

p = (13ya + 13yb – 11yc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)

Nous avons maintenant une expression pour k et une pour p. Nous allons montrer que la droite (GC) vérifie l’équation y = kx + p.

Soit un point P de la droite (GC) de coordonnées (xp, yp). Ce point vérifie l’équation (GC) :

yp = k*xp + p

En remplaçant k et p par leurs expressions précédentes, on obtient :

yp = (11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp + (13ya + 13yb – 11yc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)

Nous devons maintenant vérifier que ce point P appartient bien à la droite (GC). Pour cela, nous allons montrer que ce point vérifie l’équation du barycentre associé à G :

(-2)*AG + (-2)*BG + 15*CG = 0

En développant, cette équation devient :

(-2)*(xa + xp) + (-2)*(xb + xp) + 15*(xc + xp) = 0

-(2xa + 2xb – 15xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp + (2xa + 2xb + 11xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp = (2xa + 2xb – 15xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp + (2xa + 2xb – 15xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp

En simplifiant, on obtient :

(2xa + 2xb – 15xc) * xp = (2xa + 2xb – 15xc) * xp

Cette équation est toujours vraie et donc P appartient bien à la droite (GC), ce qui prouve que la droite (GC) passe par le point E. Finalement, G, C et E sont alignés.

Exercice 7 :
20101029bary1 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons l’associativité du barycentre

Soit K barycentre de (A,1) (B,1) et L barycentre de (C,3) (D,3)

Les points K et L sont des isobarycentres donc ce sont les milieux de segments.

De plus ces trois barycentre existent car la somme de leurs masses est non nulle.

Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (K,2) (L,6)

Pour construire G, il suffit de placer le point K milieu de [AB] et L milieu de [CD] .

et

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Ensuite il suffit de placer le point K au quart du segment [LK] en partant du point L.

Exercice 8 :

Indication : utiliser l’associativité du barycentre.
ABCD est un quadrilatère.
On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.

1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.

2) Conclure et faire une figure.

barycentre-6 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 9 :
1.  Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?
(M = 2 kg)

cas n° 1 :

Soit G le barycentre de (A,2) et (B,3)
G existe car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : il faut placer le crochet aux mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. de [AB] en partant du point A.

Cas n° 2 :

Soit G le barycentre de (A,2) et (B,5)
G existe car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion :  il faut placer le crochet aux mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. de [AB] en partant du point A.

balance-barycentre Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On pourra reproduire ces schémas à l’échelle de son choix.

Exercice 10 :
1. Soit I le milieu de [BC].

Montrer que :

 mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En utilisant l’associativité du barycentre, on peut affirmer que mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous avons donc :
mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
or
mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  (définition du barycentre G)

donc

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

2.  En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on précisera.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

3. Conclure.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : G est le milieu du segment [AI] .

barycentre-5 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 11 :

Indication : G est le milieu de [AI] et utiliser l’associativité du barycentre.
On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; – 3).

1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ;  – 3).

2. Montrer que mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. .

3. En déduire la position de G sur (AI).

barycentre-4 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 12 :
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 2) et (C ; 15).

Démontrer que G, C et E sont alignés.

Tout d’abord le barycentre G existe car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous avons :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

et  mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons la relation de Chasles :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

or mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  car E milieu de [AB].

donc nous avons l’égalité :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On en conclue que les vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. sont colinéaires .

De plus le point G appartient à ces deux vecteurs

donc les points G,C et E sont alignés .

barycentre-3 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 13 :
B est le milieu de [AC].

Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).

Soit mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous avons :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

soit
mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

en résumé :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.   et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. (car B milieu de [AC] ) et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

ainsi :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : les points G et H sont confondus .

Exercice   14 :
ABC est un triangle.

1.  G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.

Utilisons l’associativité du barycentre.
G est le barycentre de (A,1) (I,5)  avec I barycentre de (B,2) et (C,3)

2.  G ‘ est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3). Construire le point G ‘ . Expliquer.
Utilisons l’associativité du barycentre,
G’ est le barycentre de (K,4) et (C,-3) avec K barycentre de (A,1) et (B,3)

3.  Démontrer que (AG’) est parallèle à (BC).

Indication : montrer que les vecteurs  mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. sont colinéaires.

barycentre-1 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 15 :

Tout d’abord G existe car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Notons mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons l’associativité du barycentre .

alors
mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On place I qui est le milieu de [AB].
On place J le milieu de [CD]

ensuite :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On divise le segment [IJ] en quatre parties égales
et on place le point G aux trois quarts de [IJ] en partant de I.

barycentre Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
Exercice 16 :

1. Le point G étant le centre du carré ABCD, il est également le milieu de [AB] et de [BC]. On a donc GA = GB = 2 cm.

2. En utilisant le point G, on peut réécrire chacun des vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. comme la somme des vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. respectivement :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En additionnant ces quatre expressions, on obtient :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Or, comme mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., on a :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Et donc la somme peut être réduite à mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

3. On sait que mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. donc mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

Donc les points M doivent être situés sur le cercle de centre G et de rayon 2\sqrt{2}. Cet ensemble de points est représenté par le cercle de centre G et de rayon 2\sqrt{2}, noté \Gamma_1.

4. On cherche les points M tels que mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. soit colinéaire à \vec{AD}.

Or, mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., donc être colinéaire à mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. signifie être colinéaire à la diagonale [AC].

Donc on cherche les points M tels que mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., ce qui est équivalent à mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

En utilisant les expressions précédentes pour mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., et \vec{MD}, on a :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En simplifiant :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Or, comme dans la partie 2, on a mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

Donc :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Autrement dit, les points M doivent être situés sur la demi-droite de direction mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et qui part du point G. Cette demi-droite est représentée par la droite (GA’) où A’ est le symétrique de A par rapport à G.

L’ensemble de points M cherché est donc la demi-droite (GA’).

carre-cercle-circonscrit Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 17 :

1. Puisque E est le milieu de [AB], on peut exprimer son vecteur comme la moyenne des vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.:

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

De même, on a mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.. Donc E est barycentre des points A et B avec des coefficients non nuls, et on peut l’exprimer comme tel :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. Pour démontrer que G, C, et E sont alignés, il suffit de montrer que la droite (GC) passe par E. Or, on peut exprimer les coordonnées de G en fonction de celles de A, B, et C :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut exprimer les coordonnées de E en fonction de celles de A et B :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On dit que G, C, et E sont alignés si et seulement si les vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. sont colinéaires, c’est-à-dire si la droite (GC) passe par E.

La pente de la droite (GC) est donnée par :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En utilisant les expressions précédentes, on trouve :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On doit donc vérifier que le point E se trouve sur cette droite, c’est-à-dire que :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Ce qui équivaut à :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En développant :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut réarranger les termes en séparant les x et les y pour obtenir :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut reconnaître une équation de droite de la forme y = kx + p, où k est la pente donnée précédemment et p est l’ordonnée à l’origine de la droite. On a donc :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On doit maintenant vérifier que le point E se trouve sur cette droite, c’est-à-dire que :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Ce qui équivaut à :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En développant :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

En réarrangeant les termes, on obtient :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut alors reconnaître une nouvelle équation de droite dans laquelle les coefficients de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et x_C sont connus, tandis que les coefficients de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. sont inconnus :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut voir que cette équation est vérifiée lorsque A et B sont choisis de telle sorte que les vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. soient colinéaires.

Dans tous les autres cas, cette équation n’est pas vérifiée, ce qui prouve que E ne se trouve pas sur la droite (GC) et donc que G, C et E ne sont pas alignés.

3. Étant donné que G, C et E ne sont pas alignés, C ne peut être le milieu de [EG].

Exercice 18 :

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.

1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

z existe car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.

D’aprè précédemment, mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

Ces vecteurs étant colinéaires, nous avons donc (AZ) parallèle à (BC).

barycentre-11 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 19 :

Indication : utiliser le fait que G est l’isobarycentre du système {(A,1);(B,1);(C,1)}

et utilisez l’associativité du barycentre.

ABC est un triangle de centre de gravité G.

On note I, J, M, N, R et S les points définis par :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) sont concourantes en G.

barycentre-10 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 20 :

Indication :  on pourra considérer le barycentre G de (A ; 5), (B ; 2) et (C ; – 3).
ABC est un triangle.
On considère le barycentre A’ de (B ; 2) et (C ; – 3), le barycentre B ‘ de (A ; 5) et (C ; – 3)
et le barycentre C ‘ de (A ; 5) et (B ; 2).

Démontrer que les droites (AA ‘), (BB ‘) et (CC ‘) sont concourantes.

barycentre-9 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 21 :
ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Tout d’abord le barycentre G existe car mimetex.cgi?1+3-3=1\neq0 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous avons :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons la relation de Chasles :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Les vecteurs mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. sont donc colinéaires ainsi

les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

barycentre-8 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 22 :

1.  Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( – 3 ; 4) et C( – 2 ; 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).
barycentre-26-10-5 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

2.  Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.

3.  La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.

barycentre-7 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 23 :

[AB] est un segment de longueur 10 cm  et  G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}

1. Développez et réduire  mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex.cgi?=5MG^2+2GA^2+3GB^2+4\vec{MG}.\vec{GA}+6\vec{MG} Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. Démontrez alors  que pour tout point M du plan on a   2MA² +  3MB² = 5MG² + 120

3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que  2MA² +  3MB² =  245

Exercice 24 :

Indication : utiliser la définition et les propriétés du barycentre.

A, B et C sont 3 points  du plan non alignés et  k  un nombre réel quelconque.

I  bar { (B ;1), (C ;2)} et  G  le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)

1. Exprimer  mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. en fonction de mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. , mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. .

2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

3. Représentez  graphiquement  (E)  dans le cas  AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm

Exercice 25 :

Conseil :  ne vous compliquez pas la vie avec des calculs infernaux, utilisez plutôt astucieusement

l’associativité barycentrique .

A, B, C et D sont quatre points distincts.

On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1),  J  le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I  le milieu de [AG].

Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 26 :

Indications : utiliser les propriétés du barycentre et l’associativité.

ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point Gm barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).

On note O le milieu de [BC].
1.Expliquer pourquoi Gm existe toujours et démontrer que, lorsque m  décrit mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. ,  Gm décrit  une droite D que vous préciserez.
2.  a) Construisez G2 et G-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et  BC = 6cm >
b) On suppose m différent de 2 et -2.
Soit Gm un point de D distinct de A, G2 etG-2 .
Démontrer que (BGm) coupe  (AC) en un point noté I et que (CGm) coupe (AB) en un point noté J. >
3.Dans le repère mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF., >
calculez en fonction de m  les coordonnées de I et J. >
Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés. >
(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs) >

Exercice 27 :

Indication : utiliser le fait que le centre de gravité est un isobarycentre puis l’associativité du barycentre.

Soit ABC un triangle,  A’ , B’ , et C’  les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.

On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M  par rapport à A’ , B’ , et C’ .

On désigne par M’ barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)
1. Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M ‘. >
2. Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG). >

Exercice 28 :
ABCD est un carré.

1. Quel est l’ensemble E des points M du plan tels que :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Notons mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

G existe car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.  car   mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : l’ensemble de points recherché est le cercle de centre G et de rayon mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. .

2. Représenter cet ensemble E.

barycentre-16 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 29 :
Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; – 1), (C ; 2) et (D ; 1).

On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; – 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).

1.  Placer I et J en justifiant.
Tout d’abord les barycentre I et J existent car mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. et mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : I est le symétrique du point A par rapport à B ou A est le milieu de [IB].

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

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Conclusion :  J est situé aux un tiers de [CD] en partant de C.

2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :

mimetex.cgi?2\vec{KA}-\vec{KB}\,et\,2\vec{KC}+\vec{KD} Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

et

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En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).

prenons une des deux égalités :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

donc K est le barycentre de  (I ; 1) et (J ; 3).

barycentre-15 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 30 :
Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Multiplions cette égalité vectorielle par – 1 .

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.
barycentre-14 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 31 :

Dans un repère mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.,
1.Placer les points A(2 ; 1), B( – 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ; mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. ).

2.  Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.

3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.

indication : utiliser le fait que H est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,1)

4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.

barycentre-13 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 32 :

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].

1. Placer le point F tel que mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. .

et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

Indication : insérer le Point F dans le vecteur mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF. puis transposer le tout dans le premier membre.
2.  P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

Indication : considérer le barycentre de (B,1) (C,1) et le barycentre de (A,-1) (B,2)

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

mimetex Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.

barycentre-12 Barycentre : corrigé  des exercices de maths en 1ère en PDF.


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