Corrigé du sujet
Exercice 1 (brevet maths 2024)
- Dans le triangle EFG, le plus long côté est [EG].
\(EG^2 = 30^2 = 900\) et \(EF^2 + FG^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900\).
Comme \(EG^2 = EF^2 + FG^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F. - Dans le triangle EFG rectangle en F, [EF] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{EGF}\) et [FG] le côté adjacent :
\(\tan \widehat{EGF} = \dfrac{EF}{FG} = \dfrac{18}{24} = 0{,}75\).
À la calculatrice, \(\widehat{EGF} \approx 36{,}87^\circ\), soit \(\widehat{EGF} \approx 37^\circ\) à l’unité près. - Le triangle EGF est rectangle en F et le triangle LGH est rectangle en H, car (LH) est perpendiculaire à (FH) : ils ont chacun un angle droit.
De plus, \(\widehat{EGF} = \widehat{LGH}\).
Les deux triangles ont donc deux angles deux à deux égaux : les triangles EGF et LGH sont semblables. - Dans la correspondance, les angles droits F et H se correspondent, ainsi que les angles égaux en G. Le côté [GF] du petit triangle correspond donc au côté [GH] du grand.
Le coefficient d’agrandissement vaut \(\dfrac{GH}{GF} = \dfrac{38{,}4}{24} = 1{,}6\).
Le coefficient d’agrandissement est 1,6 (c’est bien un agrandissement car 1,6 est supérieur à 1). - Le périmètre du triangle EFG vaut \(18 + 24 + 30 = 72\) cm. Dans un agrandissement de coefficient 1,6, les longueurs, donc le périmètre, sont multipliées par 1,6 :
\(72 \times 1{,}6 = 115{,}2\).
Le périmètre du triangle LGH est 115,2 cm.
Exercice 2 :
Première partie
- Le triangle AEF est rectangle isocèle en A, donc AF = AE = 3 cm.
\(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{AE \times AF}{2} = \dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\).
L’aire du triangle AEF est 4,5 cm². - L’aire de la feuille est \(10 \times 8 = 80\) cm². On lui retire les quatre triangles identiques :
\(80 – 4 \times 4{,}5 = 80 – 18 = 62\).
L’aire du polygone FELKJIHG est 62 cm².
Deuxième partie
3. a. Ensuite, le triangle AEF est rectangle isocèle en A avec AE = AF = x, donc \(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{x \times x}{2} = \dfrac{x^2}{2}\) (en cm²).
b. Puis l’aire du polygone est celle du rectangle moins celle des quatre triangles :
\(80 – 4 \times \dfrac{x^2}{2} = 80 – 2x^2\).
L’aire du polygone FELKJIHG est bien \(80 – 2x^2\) cm².
4. De plus, on peut saisir en B2 la formule =80-2*B1^2 (ou =80-2*B1*B1).
Remarque : le tableau de l’énoncé original affichait 45,5 en E2, ce qui est une coquille : \(f(1{,}5) = 80 – 2 \times 1{,}5^2 = 80 – 4{,}5 = 75{,}5\).
5. a. Ensuite, la courbe représentative de f n’est pas une droite (l’expression \(80 – 2x^2\) contient un terme en \(x^2\)). La fonction f n’est pas affine.
b. Par ailleurs, on cherche l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 60. Par lecture graphique, on trouve AE ≈ 3,2 cm.
c. Puis on résout \(80 – 2x^2 = 60\), soit \(2x^2 = 20\), donc \(x^2 = 10\).
Comme x est une longueur, x est positif : \(x = \sqrt{10}\).
La valeur exacte est AE = \(\sqrt{10}\) cm, soit environ 3,16 cm (valeur arrondie au centième), ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
Exercice 3 (brevet maths 2024)
Affirmation 1 : fausse.
\(\dfrac{1{,}10}{1} = 1{,}10\) mais \(\dfrac{4}{4} = 1\). Ensuite, le prix d’une baguette n’est pas le même dans toutes les colonnes : le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité (4 baguettes proportionnellement coûteraient \(4 \times 1{,}10 = 4{,}40\) €, et non 4 €).
Affirmation 2 : vraie.
Entre 1 et 2, l’unité est partagée en 8 intervalles égaux : chaque graduation vaut \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\). Puis le point A est situé 2 graduations après 2, donc son abscisse est \(2 + 2 \times 0{,}125 = 2{,}25\).
2,25 s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule : c’est un nombre décimal.
Affirmation 3 : vraie.
À chaque instant, la roue A et la roue B font passer le même nombre de dents au point de contact.
De plus, en 6 tours, la roue A fait passer \(6 \times 8 = 48\) dents ; la roue B fait alors \(48 : 12 = 4\) tours.
Ensuite, les deux roues ont fait un nombre entier de tours : l’engrenage est revenu dans sa position initiale.
(Il y revient même dès 24 dents, le plus petit multiple commun de 8 et 12, soit 3 tours de A et 2 tours de B ; 48 est aussi un multiple commun de 8 et de 12.)
Affirmation 4 : vraie.
On développe le membre de gauche : \((x+8)(2x-1) = 2x^2 – x + 16x – 8 = 2x^2 + 15x – 8\).
Par ailleurs, on réduit le membre de droite : \(2x^2 – (8 – 15x) = 2x^2 – 8 + 15x = 2x^2 + 15x – 8\).
Puis les deux expressions sont égales pour tout nombre x.
Exercice 4 :
1. a. Ensuite, l’aire de la base est \(3^2 \times \pi = 9\pi\) cm². Puis le volume de la bougie est :
\(V = 9\pi \times 12 = 108\pi \approx 339{,}29\).
Le volume d’une bougie est d’environ 339 cm³.
b. Volume de cire : \(\dfrac{9}{10} \times 108\pi \approx 305{,}36\) cm³.
Masse de cire : \(305{,}36 \times 0{,}7 \approx 213{,}75\) g.
Il faut environ 214 g de cire pour une bougie.
2. Sur le diagramme, le secteur de la vanille est un angle droit : il représente un quart du disque, soit 25 % de la production.
De plus, le secteur du miel représente 22 %.
Ensuite, les secteurs de la lavande et du jasmin sont codés avec le même angle : ils représentent le même pourcentage.
\(100 – 25 – 22 = 53\) et \(53 : 2 = 26{,}5\).
Les bougies à la lavande représentent 26,5 % de la production de novembre.
3. Par ailleurs, pour une moyenne de 7 900 bougies par mois sur 3 mois, il faut produire au total \(7\,900 \times 3 = 23\,700\) bougies.
Puis en janvier et février, l’entreprise en a produit \(6\,500 + 8\,000 = 14\,500\).
\(23\,700 – 14\,500 = 9\,200\).
L’entreprise doit produire 9 200 bougies en mars.
Exercice 5 :
1. Ensuite, le chiffre des dizaines peut être 1, 2, 3 ou 4 et celui des unités 2, 3 ou 4. Puis les 12 issues possibles sont :
12 ; 13 ; 14 ; 22 ; 23 ; 24 ; 32 ; 33 ; 34 ; 42 ; 43 ; 44.
2. De plus, la roue et l’urne donnent des résultats équiprobables, donc les 12 issues sont équiprobables.
Ensuite, les nombres impairs sont ceux dont le chiffre des unités est 3 : 13 ; 23 ; 33 ; 43, soit 4 issues.
\(P(\text{impair}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
3. a. Parmi les issues inférieures à 30 (12 ; 13 ; 14 ; 22 ; 23 ; 24), les nombres premiers sont 13 et 23 (12, 14, 22 et 24 sont pairs donc divisibles par 2).
\(P(A) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\).
b. Par ailleurs, la probabilité de l’évènement contraire est \(1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).
4. Puis les multiples de 11 parmi les issues sont 22 ; 33 et 44, soit 3 issues.
\(P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
La probabilité d’obtenir un multiple de 11 est bien 0,25.
5. a. Ligne 5 : le chiffre des unités est le numéro d’une boule, entre 2 et 4. Ensuite, on complète par nombre aléatoire entre 2 et 4.
b. Ligne 6 : un nombre de deux chiffres est un multiple de 11 lorsque ses deux chiffres sont égaux. Puis on complète par si Chiffre des dizaines = Chiffre des unités alors.
c. De plus, le programme simule seulement 100 parties. Ensuite, la fréquence observée varie d’une simulation à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Par ailleurs, la probabilité 0,25 est une valeur théorique ; la fréquence s’en rapproche lorsque le nombre de parties simulées devient très grand, mais elle n’a aucune raison d’être exactement égale à 0,25 sur 100 essais.
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