Corrigé du contrôle de maths L1 : suites, convergence et suites adjacentes

Exercice 1 : Théorème de Bolzano-Weierstrass (4 points)

1. Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Autrement dit, si \((u_n)\) est bornée, il existe \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \((u_{\varphi(k)})\) converge.
2. Soit \((u_n)\) une suite bornée : il existe \(m \leq\, M\) tels que \(m \leq\, u_n \leq\, M\) pour tout \(n\).

   Construction des intervalles. On pose \(a_0 = m\) et \(b_0 = M\). L’intervalle \([a_0, b_0]\) contient tous les termes, donc une infinité de termes (au sens : l’ensemble des indices \(n\) tels que \(u_n \in [a_0, b_0]\) est infini). Supposons construits \(a_k \leq\, b_k\) tels que l’ensemble \(I_k = \{n \in \mathbb{N} : u_n \in [a_k, b_k]\}\) soit infini. On pose \(c_k = \dfrac{a_k + b_k}{2}\). Comme \(I_k\) est la réunion des ensembles d’indices associés à \([a_k, c_k]\) et à \([c_k, b_k]\), l’un des deux est infini. Si celui de \([a_k, c_k]\) est infini, on pose \(a_{k+1} = a_k\) et \(b_{k+1} = c_k\) ; sinon, \(a_{k+1} = c_k\) et \(b_{k+1} = b_k\).

   Les suites sont adjacentes. Par construction, \(a_k \leq\, a_{k+1}\), \(b_{k+1} \leq\, b_k\) et \(b_k – a_k = \dfrac{M – m}{2^k}\), qui tend vers \(0\). Donc \((a_k)\) et \((b_k)\) sont adjacentes. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite \(\ell\).

   Construction de l’extractrice. On pose \(\varphi(0) = 0\). Si \(\varphi(k)\) est construit, l’ensemble \(I_{k+1}\) est infini, donc il contient un entier strictement supérieur à \(\varphi(k)\) : on note \(\varphi(k+1)\) le plus petit (il existe car toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) a un plus petit élément). Ainsi \(\varphi\) est strictement croissante et \(a_k \leq\, u_{\varphi(k)} \leq\, b_k\) pour tout \(k \geq\, 1\).

   Conclusion. Par le théorème des gendarmes, \(u_{\varphi(k)}\) tend vers \(\ell\). La suite extraite \((u_{\varphi(k)})\) converge : le théorème est démontré.

Barème : a) 1 point (0,5 si « bornée » ou « extraite » manque) ; b) 3 points : 1 point pour la dichotomie et le choix d’une moitié contenant une infinité de termes, 0,5 point pour les suites adjacentes, 1 point pour la construction de \(\varphi\) strictement croissante, 0,5 point pour la conclusion par les gendarmes.

Exercice 2 : Convergence et divergence par la définition (4 points)

1. Pour tout \(n \geq\, 0\) :

   \[u_n – 2 = \frac{2n + 1 – 2(n+3)}{n+3} = \frac{-5}{n+3}, \quad \text{donc} \quad |u_n – 2| = \frac{5}{n+3}.\]

   Soit \(\varepsilon > 0\). On pose \(N = \lfloor \dfrac{5}{\varepsilon} \rfloor + 1\), qui vérifie \(N > \dfrac{5}{\varepsilon}\) et \(N \geq\, 1\) (propriété d’Archimède). Pour tout \(n \geq\, N\) :

   \[|u_n – 2| = \frac{5}{n+3} < \frac{5}{n} \leq\, \frac{5}{N} < \varepsilon.\]

   Pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que \(n \geq\, N\) entraîne \(|u_n – 2| < \varepsilon\) : la suite \((u_n)\) converge vers \(2\).

2. Pour tout \(n\), \(v_{2n} = \dfrac{2n}{2n+1} = 1 – \dfrac{1}{2n+1}\), qui tend vers \(1\), et \(v_{2n+1} = -\dfrac{2n+1}{2n+2} = -1 + \dfrac{1}{2n+2}\), qui tend vers \(-1\).

   Si \((v_n)\) convergeait vers un réel \(L\), toute suite extraite de \((v_n)\) convergerait aussi vers \(L\). On aurait alors \(L = 1\) et \(L = -1\) par unicité de la limite, ce qui est absurde. Deux suites extraites ont des limites différentes : la suite \((v_n)\) diverge.

Erreur fréquente : choisir \(N\) dépendant de \(n\). Le rang \(N\) ne doit dépendre que de \(\varepsilon\).

Barème : a) 2 points : 0,5 point pour le calcul de \(|u_n – 2|\), 1 point pour un rang \(N\) explicite et justifié, 0,5 point pour la rédaction avec les quantificateurs ; b) 2 points : 1 point pour les deux limites extraites, 1 point pour l’argument d’unicité de la limite.

Exercice 3 : Suites adjacentes et irrationalité de e (5 points)

1. Pour tout \(n \geq\, 1\), \(u_{n+1} – u_n = \dfrac{1}{(n+1)!} > 0\) : \((u_n)\) est strictement croissante.

   Ensuite, en utilisant \((n+1)(n+1)! = (n+1)^2 \, n!\), on réduit au dénominateur commun \(n(n+1)(n+1)!\) :

   \[v_{n+1} – v_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} – \frac{1}{n \cdot n!} = \frac{n(n+1) + n – (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}.\]

   Le numérateur vaut \(n^2 + 2n – n^2 – 2n – 1 = -1\). Donc \(v_{n+1} – v_n = \dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0\) : \((v_n)\) est strictement décroissante.

2. On a \(v_n – u_n = \dfrac{1}{n \cdot n!}\), qui tend vers \(0\). Avec la question a), les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. D’après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite \(\ell\).
3. Soit \(n \geq\, 1\). La suite \((u_k)\) est strictement croissante et tend vers \(\ell\), donc \(u_n < u_{n+1} \leq\, \ell\). De même, \((v_k)\) est strictement décroissante, donc \(\ell \leq\, v_{n+1} < v_n\). Ainsi \(u_n < \ell < v_n\).

   Pour \(n = 3\) : \(u_3 = 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{3}\) et \(v_3 = \dfrac{8}{3} + \dfrac{1}{3 \times 6} = \dfrac{48}{18} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{49}{18}\).

   Donc \(\dfrac{8}{3} < \mathrm{e} < \dfrac{49}{18}\), soit environ \(2{,}667 < \mathrm{e} < 2{,}723\).

4. Supposons \(\ell = \dfrac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{N}^*\). La question c) pour \(n = q\) donne \(u_q < \dfrac{p}{q} < u_q + \dfrac{1}{q \cdot q!}\). On multiplie par \(q \cdot q! > 0\) :

   \[q \cdot q! \, u_q < p \cdot q! < q \cdot q! \, u_q + 1.\]

   Or \(q! \, u_q = \displaystyle\sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!}\) est un entier, car \(k!\) divise \(q!\) pour \(k \leq\, q\). Donc \(A = q \cdot q! \, u_q\) est un entier et l’entier \(p \cdot q!\) vérifie \(A < p \cdot q! < A + 1\). Aucun entier n’est strictement compris entre deux entiers consécutifs : c’est absurde. Le nombre e est irrationnel.

Barème : a) 2 points : 0,5 point pour \((u_n)\), 1 point pour le calcul de \(v_{n+1} – v_n\), 0,5 point pour la conclusion ; b) 1 point : 0,5 point pour la limite de \(v_n – u_n\), 0,5 point pour le théorème cité ; c) 1 point : 0,5 point pour les inégalités strictes justifiées, 0,5 point pour l’encadrement \(\frac{8}{3} < \mathrm{e} < \frac{49}{18}\) ; d) 1 point : 0,5 point pour l’entier \(A\), 0,5 point pour la contradiction.

Exercice 4 : Suite récurrente et intervalle stable (7 points)

1. La fonction \(x \mapsto 6 + x\) est croissante et positive sur \([0,3]\), et la racine carrée est croissante sur \([0, +\infty[\). Par composition, \(f\) est croissante sur \([0, 3]\). Pour \(x \in [0,3]\), on a donc \(f(0) \leq\, f(x) \leq\, f(3)\), avec \(f(0) = \sqrt{6} \geq\, 0\) et \(f(3) = \sqrt{9} = 3\). Ainsi \(f([0,3]) \subset [\sqrt{6}, 3] \subset [0,3]\).
2. Soit \(P(n)\) : « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\) ».

   Initialisation. \(u_0 = 0\) et \(u_1 = \sqrt{6}\), donc \(0 \leq\, u_0 \leq\, u_1 \leq\, 3\) car \(\sqrt{6} \leq\, \sqrt{9}\).

   Hérédité. Supposons \(P(n)\) vrai. Les réels \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont dans \([0,3]\), où \(f\) est croissante, donc \(f(u_n) \leq\, f(u_{n+1})\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \leq\, u_{n+2}\). Par stabilité, \(u_{n+2} = f(u_{n+1}) \in [0,3]\). Donc \(P(n+1)\) est vrai.

   Par récurrence, pour tout \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\).

3. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\). D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel \(\ell\), avec \(0 \leq\, \ell \leq\, 3\) par passage à la limite dans les inégalités larges.

   Pour tout \(n\), \(u_{n+1}^2 = 6 + u_n\). La suite \((u_{n+1})\) converge aussi vers \(\ell\). Par opérations sur les limites, \(\ell^2 = 6 + \ell\), donc \(\ell^2 – \ell – 6 = (\ell – 3)(\ell + 2) = 0\). Comme \(\ell \geq\, 0\), on obtient \(\ell = 3\) : la suite \((u_n)\) converge vers \(3\).

4. Pour tout \(n\), en multipliant par la quantité conjuguée :

   \[|u_{n+1} – 3| = |\sqrt{6 + u_n} – 3| = \frac{|6 + u_n – 9|}{\sqrt{6 + u_n} + 3} = \frac{|u_n – 3|}{\sqrt{6 + u_n} + 3}.\]

   Comme \(u_n \geq\, 0\), \(\sqrt{6 + u_n} \geq\, \sqrt{6} \geq\, 2\), donc le dénominateur est supérieur ou égal à \(5\). D’où \(|u_{n+1} – 3| \leq\, \dfrac{1}{5}|u_n – 3|\).

   Par une récurrence immédiate, \(|u_n – 3| \leq\, \dfrac{1}{5^n}|u_0 – 3| = \dfrac{3}{5^n}\). Comme \(u_n \leq\, 3\), on obtient \(0 \leq\, 3 – u_n \leq\, \dfrac{3}{5^n}\).

   Il suffit que \(\dfrac{3}{5^n} \leq\, 10^{-6}\), soit \(5^n \geq\, 3\,000\,000\). Or \(5^9 = 1\,953\,125\) et \(5^{10} = 9\,765\,625\). Pour tout \(n \geq\, 10\), \(u_n\) est une valeur approchée de \(3\) à \(10^{-6}\) près.

5. Sur \([3, +\infty[\), \(f\) est croissante et \(f(x) \geq\, f(3) = 3\) : l’intervalle \([3, +\infty[\) est stable par \(f\). On a \(u_0 = 10\) et \(u_1 = \sqrt{16} = 4\), donc \(3 \leq\, u_1 \leq\, u_0\). Si \(3 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\), la croissance de \(f\) et la stabilité donnent \(3 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1}\). Par récurrence, la suite est décroissante et minorée par \(3\).

   Par le théorème de la limite monotone, elle converge vers \(\ell \geq\, 3\), et le même passage à la limite donne \(\ell^2 = 6 + \ell\). Donc \(\ell = 3\) : la suite converge encore vers \(3\), cette fois en décroissant, comme le montre l’escalier ci-dessous.

   

Erreur fréquente : écrire \(\ell = f(\ell)\) sans justifier le passage à la limite. Ici, on l’obtient sans continuité, en passant à la limite dans \(u_{n+1}^2 = 6 + u_n\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour la croissance, 0,5 point pour la stabilité ; b) 1,5 point : 0,5 point pour l’initialisation, 1 point pour l’hérédité ; c) 1,5 point : 0,5 point pour la limite monotone, 1 point pour \(\ell = 3\) avec l’élimination de \(-2\) ; d) 1,5 point : 0,5 point pour la quantité conjuguée, 0,5 point pour la majoration par \(\frac{3}{5^n}\), 0,5 point pour \(n = 10\) ; e) 1,5 point : 0,5 point pour la stabilité de \([3, +\infty[\), 0,5 point pour la monotonie, 0,5 point pour la limite.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : suites, convergence et suites adjacentes

Pour consolider ce que le corrigé vous a appris, relisez le cours « Suites numériques » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés suites numériques.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L1 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

Autres contrôles de maths de L1 sur ce thème

• Contrôle de maths L1 : suites, continuité et dérivation