Bases et dimension : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Familles libres ou liées dans l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u_1 = (1, 2, -1)\), \(u_2 = (2, 1, 1)\), \(u_3 = (0, 3, -3)\) et \(\varepsilon_1 = (1, 0, 0)\).

1. Montrer que la famille \((u_1, u_2)\) est libre.
2. Montrer que la famille \((u_1, u_2, u_3)\) est liée et donner une relation de dépendance linéaire.
3. Montrer que \((u_1, u_2, \varepsilon_1)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
4. Donner les coordonnées de \(u_3\) dans cette base.

Exercice 2 : Famille génératrice du plan et extraction de bases

Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(u = (1, 1)\), \(v = (1, -1)\) et \(w = (2, 3)\). La figure ci-dessous représente ces trois vecteurs.

1. Montrer que \((u, v)\) engendre \(\mathbb{R}^2\) en écrivant tout \((x,y)\) comme combinaison de \(u\) et \(v\).
2. En déduire que \((u, v, w)\) est génératrice et liée. Écrire \(w\) en fonction de \(u\) et \(v\).
3. Déterminer toutes les bases de \(\mathbb{R}^2\) que l’on peut extraire de \((u, v, w)\).
4. Donner les coordonnées du vecteur \((4, 2)\) dans la base \((u, v)\).

Exercice 3 : Coordonnées dans une base de l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(v_1 = (1, 0, 0)\), \(v_2 = (1, 1, 0)\) et \(v_3 = (1, 1, 1)\).

1. Montrer que \(\mathcal{B} = (v_1, v_2, v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur quelconque \((x,y,z)\) dans la base \(\mathcal{B}\).
3. En déduire les coordonnées de \(w = (3, -1, 2)\) et de \(\varepsilon_2 = (0, 1, 0)\) dans \(\mathcal{B}\).

Exercice 4 : Base de Taylor des polynômes de degré au plus 2

On travaille dans \(\mathbb{R}_2[X]\).

1. Montrer que \(\mathcal{B} = (1, X-1, (X-1)^2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Déterminer les coordonnées de \(P = X^2 + 3X + 1\) dans \(\mathcal{B}\).
3. Plus généralement, exprimer les coordonnées de \(P = a + bX + cX^2\) dans \(\mathcal{B}\) à l’aide de \(P(1)\), \(P^{\prime}(1)\) et \(P^{\prime\prime}(1)\).

Exercice 5 : Dimensions de référence

Donner une base et la dimension de chacun des espaces suivants, en justifiant brièvement.

1. \(\mathcal{M}_{2, 3}(\mathbb{R})\) et \(\mathbb{R}_4[X]\).
2. \(\mathbb{C}^3\), vu comme \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel puis comme \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
3. Le sous-espace des polynômes pairs de \(\mathbb{R}_4[X]\), c’est-à-dire tels que \(P(-X) = P(X)\).
4. Le sous-espace des matrices de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de trace nulle.

Exercice 6 : Vrai ou faux sur les familles de vecteurs

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifier par une preuve ou par un contre-exemple.

1. Si \((u, v)\) et \((v, w)\) sont libres, alors \((u, v, w)\) est libre.
2. Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
3. Si \((u, v, w)\) est liée, alors \(w \in \mathrm{Vect}(u, v)\).
4. Dans \(\mathbb{R}^3\), une famille de quatre vecteurs est toujours liée.
5. Dans \(\mathbb{R}^3\), trois vecteurs deux à deux non colinéaires forment une base.
6. Si \(F\) et \(G\) sont deux plans vectoriels de \(\mathbb{R}^4\), alors \(\dim(F + G) = 4\).

Exercice 7 : Familles de fonctions

On se place dans l’espace \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que la famille \((\cos, \sin)\) est libre.
2. Montrer que la famille \((1, \cos^2, \sin^2)\) est liée.
3. On note \(c_2 : x \mapsto \cos(2x)\). Déterminer le rang de la famille \((1, \cos^2, \sin^2, c_2)\) et une base du sous-espace qu’elle engendre.
4. Soit \(f : x \mapsto x\) et \(g : x \mapsto |x|\). Montrer que \((f, g)\) est libre dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), mais que les restrictions de \(f\) et \(g\) à \([0, +\infty[\) forment une famille liée.

Exercice 8 : Rang d’une famille par la méthode du pivot

Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère \(v_1 = (1, 2, 0, 1)\), \(v_2 = (2, 1, 3, 1)\), \(v_3 = (0, 3, -3, 1)\), \(v_4 = (1, -1, 3, 0)\), et l’on note \(F = \mathrm{Vect}(v_1, v_2, v_3, v_4)\).

1. Déterminer le rang de \((v_1, v_2, v_3, v_4)\) par la méthode du pivot et en déduire deux relations de dépendance linéaire.
2. Donner une base et la dimension de \(F\).
3. Compléter cette base en une base de \(\mathbb{R}^4\) à l’aide de vecteurs de la base canonique.
4. Montrer que \(F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y – 3t = 0 \text{ et } -3x + z + 3t = 0\}\).

Exercice 9 : Famille dépendant d’un paramètre

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u_1 = (1, 1,a)\), \(u_2 = (1,a,1)\) et \(u_3 = (a,1, 1)\).

1. Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \((u_1, u_2, u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
2. Pour \(a = 1\), donner le rang de la famille et décrire \(\mathrm{Vect}(u_1, u_2, u_3)\).
3. Pour \(a = -2\), donner le rang, une relation de dépendance et une équation de \(\mathrm{Vect}(u_1, u_2, u_3)\).

Exercice 10 : Base d’un sous-espace défini par des équations

Soit \(F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x – y + 2z = 0\}\).

1. Déterminer une base et la dimension de \(F\).
2. Compléter la base obtenue en une base de \(\mathbb{R}^4\) à l’aide de \(\varepsilon_1 = (1, 0, 0, 0)\) et \(\varepsilon_2 = (0, 1, 0, 0)\).
3. En déduire un supplémentaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}^4\).

Exercice 11 : Intersection de deux plans de l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère les plans \(P\) d’équation \(x + y – z = 0\) et \(Q\) d’équation \(x – 2y + z = 0\). La figure ci-dessous les représente.

1. Donner une base de \(P\) et une base de \(Q\).
2. Déterminer \(P \cap Q\) et sa dimension.
3. À l’aide de la formule de Grassmann, déterminer \(P + Q\). La somme est-elle directe ?
4. Construire une base \((w, p, q)\) de \(\mathbb{R}^3\) telle que \((w, p)\) soit une base de \(P\) et \((w, q)\) une base de \(Q\).

Exercice 12 : Somme et intersection dans un espace de dimension 4

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(a_1 = (1, 1, 0, 0)\), \(a_2 = (0, 1, 1, 0)\), \(F = \mathrm{Vect}(a_1, a_2)\) et \[G = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x – y + z = 0 \text{ et } x – t = 0\}.\]

1. Donner la dimension de \(F\), puis une base et la dimension de \(G\).
2. Déterminer une base de \(F \cap G\).
3. En déduire \(\dim(F + G)\) et une base de \(F + G\).
4. Montrer que \(F + G\) est l’hyperplan d’équation \(x – y + z = 0\).

Exercice 13 : Sous-espaces supplémentaires de dimension 2

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(u_1 = (1, 2, 1, 0)\), \(u_2 = (0, 1, 1, 1)\), \(w_1 = (1, 0, 1, 2)\), \(w_2 = (1, 1, 0, 0)\), puis \(F = \mathrm{Vect}(u_1, u_2)\) et \(G = \mathrm{Vect}(w_1, w_2)\).

1. Justifier que \(F\) et \(G\) sont de dimension 2.
2. Montrer que \(F \cap G = \{0\}\).
3. En déduire que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\).
4. Décomposer \(s = (1, 1, 1, 1)\) sous la forme \(s = f + g\) avec \(f \in F\) et \(g \in G\).

Exercice 14 : Matrices symétriques et antisymétriques

Soit \(n \geq\, 1\). On note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des matrices symétriques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), telles que \(M^{T} = M\), et \(\mathcal{A}_n\) celui des matrices antisymétriques, telles que \(M^{T} = -M\). On admet que ce sont des sous-espaces vectoriels.

1. À l’aide des matrices élémentaires \(E_{ij}\), donner une base de \(\mathcal{S}_n\) et montrer que \(\dim \mathcal{S}_n = \frac{n(n+1)}{2}\).
2. De même, montrer que \(\dim \mathcal{A}_n = \frac{n(n-1)}{2}\).
3. Montrer que \(\mathcal{S}_n \cap \mathcal{A}_n = \{0\}\), puis que \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) sont supplémentaires dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
4. Décomposer \(M = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 4 3 \end{pmatrix}\) en somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.

Exercice 15 : Formule de Grassmann dans un espace de polynômes

Dans \(E = \mathbb{R}_3[X]\), on pose \(F = \{P \in E : P(1) = P(-1) = 0\}\) et \(G = \{P \in E : P(0) = 0\}\).

1. Montrer que \(F\) est l’ensemble des \((X^2 – 1)Q\) avec \(Q \in \mathbb{R}_1[X]\). En déduire une base et la dimension de \(F\).
2. Donner une base et la dimension de \(G\).
3. Déterminer \(F \cap G\).
4. En déduire \(F + G\). La somme est-elle directe ?

Exercice 16 : Égalité de sous-espaces par la dimension

1. Soit \(F \subset G\) deux sous-espaces de dimension finie d’un même espace, avec \(\dim F = \dim G\). Démontrer que \(F = G\) à l’aide d’une base de \(F\).
2. Dans \(\mathbb{R}^3\), montrer que \(\mathrm{Vect}((1, 1, 0),(0, 1, 1)) = \mathrm{Vect}((1, 2, 1),(1, 0, -1))\).
3. Montrer que \((X^2, (X-1)^2, (X+1)^2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).

Exercice 17 : Familles de polynômes échelonnées

Soit \(n \in \mathbb{N}\).

1. Soit \((P_0, \ldots, P_n)\) des polynômes tels que \(\deg P_k = k\) pour tout \(k\). Montrer que c’est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. On pose \(S_k = 1 + X + \cdots + X^k\). Montrer que \((S_0, \ldots, S_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\) et donner les coordonnées de \(X^k\) dans cette base.
3. On pose \(Q_k = X^k (1-X)^{n-k}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n\). Ces polynômes sont tous de degré \(n\). Montrer pourtant que \((Q_0, \ldots, Q_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).
4. Donner les coordonnées du polynôme constant \(1\) dans la base \((Q_0, \ldots, Q_n)\).

Exercice 18 : Suites récurrentes linéaires d’ordre deux

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)\) telles que \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites réelles.
2. Soit \(a\) et \(b\) les éléments de \(E\) tels que \((a_0, a_1) = (1, 0)\) et \((b_0, b_1) = (0, 1)\). Montrer que \((a, b)\) est une base de \(E\). Que vaut \(\dim E\) ?
3. Déterminer les réels \(r\) tels que la suite \((r^n)\) appartienne à \(E\). En déduire une autre base de \(E\).
4. Exprimer le terme général de la suite \(u \in E\) telle que \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 3\).

Exercice 19 : Intersection de sous-espaces en dimension n

Soit \(E\) un espace de dimension \(n \geq\, 1\) et \(F\), \(G\) deux sous-espaces de \(E\).

1. Montrer que \(\dim(F \cap G) \geq\, \dim F + \dim G – n\).
2. En déduire que si \(\dim F + \dim G > n\), alors \(F \cap G\) contient un vecteur non nul.
3. Un hyperplan de \(E\) est un sous-espace de dimension \(n – 1\). Montrer par récurrence que l’intersection de \(p\) hyperplans \(H_1, \ldots, H_p\) est de dimension au moins \(n – p\).
4. Dans \(\mathbb{R}^5\), on pose \(F = \mathrm{Vect}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)\) et \(G = \mathrm{Vect}(\varepsilon_3, \varepsilon_4, \varepsilon_5)\), où \((\varepsilon_i)\) est la base canonique. Calculer \(F \cap G\) et comparer à la minoration de la question 1.
5. Deux plans vectoriels de \(\mathbb{R}^4\) peuvent-ils avoir une intersection réduite à \(\{0\}\) ? Et dans \(\mathbb{R}^3\) ?

Exercice 20 : Familles d’exponentielles et dimension infinie

Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on note \(f_\lambda : x \mapsto e^{\lambda x}\), élément de \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).

1. Soit \(\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_p\) des réels distincts. Montrer que \((f_{\lambda_1}, \ldots, f_{\lambda_p})\) est libre. On pourra considérer le plus grand indice \(m\) dont le coefficient est non nul et diviser par \(e^{\lambda_m x}\).
2. En déduire que \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) n’est pas de dimension finie.
3. Montrer que \(\mathrm{Vect}(\mathrm{ch}, \mathrm{sh}) = \mathrm{Vect}(f_1, f_{-1})\) et donner sa dimension.
4. La famille \((x \mapsto e^{x}, x \mapsto e^{x+1})\) est-elle libre ?

Exercice 21 : Polynômes d’interpolation de Lagrange

Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(a_0, \ldots, a_n\) des réels deux à deux distincts. Pour \(0 \leq\, i \leq\, n\), on pose \[L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X – a_j}{a_i – a_j}.\]

1. Calculer \(L_i(a_j)\) pour tous \(i, j\).
2. Montrer que \((L_0, \ldots, L_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).
3. Montrer que les coordonnées de \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) dans cette base sont \(P(a_0), \ldots, P(a_n)\). En déduire \(L_0 + \cdots + L_n\).
4. Application : \(n = 2\), \(a_0 = -1\), \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\). Calculer \(L_0\), \(L_1\), \(L_2\), puis vérifier la décomposition de \(P = X^2 + X + 1\).

Exercice 22 : Problème : commutant d’une matrice carrée d’ordre 2

Pour \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on appelle commutant de \(A\) l’ensemble \(\mathcal{C}(A) = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) : AM = MA\}\). On note \(I\) la matrice identité, \[A = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4 \end{pmatrix}.\] Enfin, \(\mathcal{T}\) désigne l’ensemble des matrices triangulaires supérieures et \(\mathcal{S}\) celui des matrices symétriques de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

1. Montrer que \(\mathcal{C}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pour toute matrice \(A\), et qu’il contient \(I\) et \(A\).
2. Pour la matrice \(A\) ci-dessus, montrer que \(\mathcal{C}(A) = \mathrm{Vect}(I, N)\) et donner sa dimension.
3. Donner une base de \(\mathcal{T}\) et de \(\mathcal{S}\). Déterminer \(\mathcal{S} \cap \mathcal{T}\), puis \(\mathcal{S} + \mathcal{T}\). La somme est-elle directe ?
4. Déterminer \(\mathcal{C}(A) \cap \mathcal{S}\) et \(\mathcal{C}(A) + \mathcal{S}\).
5. Montrer que \(\mathcal{C}(B) = \mathrm{Vect}(I, B)\).
6. Déterminer \(\mathcal{C}(A) \cap \mathcal{C}(B)\), puis la dimension et une base de \(\mathcal{C}(A) + \mathcal{C}(B)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : bases et dimension, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
• Chapitre précédent : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
• Chapitre suivant : Applications linéaires
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3