Dérivation : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de la dérivation en L1 : dérivabilité en un point, dérivée d’une réciproque, théorème de Rolle, accroissements finis et formule de Leibniz. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Dérivation et accroissements finis du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Dérivation - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelles sont les hypothèses du théorème de Rolle pour \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\), avec \(a < b\) ?

A \(f\) continue sur \([a, b]\) et \(f(a) = f(b)\)

B \(f\) continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\)

C \(f\) dérivable sur \(]a, b[\) et \(f(a) = f(b)\)

D \(f\) continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b[\) et \(f(a) = f(b)\)

Question 2

La fonction \(x \mapsto |x|\) sur \([-1, 1]\) vérifie \(f(-1) = f(1)\) mais sa dérivée ne s’annule jamais. Quelle hypothèse de Rolle fait défaut ?

A La continuité sur \([-1, 1]\)

B L’égalité \(f(-1) = f(1)\)

C La dérivabilité sur \(]-1, 1[\)

D La dérivabilité aux bornes \(-1\) et \(1\)

Question 3

Par l’égalité des accroissements finis appliquée à \(t \mapsto \sqrt{t}\), pour \(x > 0\), quel encadrement obtient-on ?

A \(\sqrt{x} \leqslant \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \leqslant \sqrt{x+1}\)

B \(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \leqslant \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

C \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \leqslant \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\)

D \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}} \leqslant \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

Question 4

Soit \(f(x) = x^3 + x\), bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Que vaut \((f^{-1})'(2)\) ?

A \(\frac{1}{4}\)

B \(\frac{1}{13}\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(4\)

Question 5

Pour \(n \geqslant 2\), que vaut la dérivée \(n\)-ième de \(x \mapsto x^2 e^x\) ?

A \(\left(x^2 + 2nx + n(n-1)\right) e^x\)

B \(\left(x^2 + nx + n(n-1)\right) e^x\)

C \(\left(x^2 + 2x + 2\right) e^x\)

D \(\left(x^2 + 2nx + n^2\right) e^x\)

Question 6

Soit \(f(x) = x \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\). Que dire de \(f\) en \(0\) ?

A Elle est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 1\)

B Elle est continue mais non dérivable en \(0\)

C Elle est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 0\)

D Elle n’est pas continue en \(0\)

Question 7

Soit \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f'(0) = 0\). Que peut-on en conclure ?

A \(f\) admet un extremum local en \(0\)

B \(f\) est constante au voisinage de \(0\)

C Rien sur l’existence d’un extremum en \(0\) : \(x \mapsto x^3\) n’en a pas

D \(f\) admet un minimum local en \(0\)

Question 8

Sur \(\mathbb{R}^*\), \(f(x) = \frac{1}{x}\) vérifie \(f'(x) < 0\). La fonction \(f\) est-elle décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) ?

A Non, car sa dérivée n’est pas définie en \(0\)

B Non : elle décroît sur chacun des deux intervalles, mais \(f(-1) < f(1)\)

C Oui, car sa dérivée est strictement négative

D Oui, mais seulement au sens large

Question 9

Quelle est la régularité de \(g(x) = x|x|\) sur \(\mathbb{R}\) ?

A Dérivable, mais de dérivée non continue en \(0\)

B Continue mais non dérivable en \(0\)

C De classe \(\mathcal{C}^\infty\)

D De classe \(\mathcal{C}^1\), mais pas deux fois dérivable en \(0\)

Question 10

Quelle est la dérivée de \(x \mapsto x^x = e^{x \ln x}\) sur \(]0, +\infty[\) ?

A \(x^x (\ln x + 1)\)

B \(x^x (\ln x - 1)\)

C \(x \cdot x^{x-1}\)

D \(x^x \ln x\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de dérivation en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

l’étude de la dérivabilité en un point par le taux d’accroissement ;
la dérivée d’une fonction réciproque \((f^{-1})’ = \frac{1}{f’ \circ f^{-1}}\) ;
le théorème de Rolle et ses hypothèses ;
l’inégalité des accroissements finis pour majorer un écart ;
la formule de Leibniz et les fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que \(f'(c) = 0\) implique un extremum local en \(c\). C’est seulement une condition nécessaire en un point intérieur : \(x \mapsto x^3\) a une dérivée nulle en \(0\) sans extremum.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour étudier la dérivabilité en un point « à problème » (raccord, valeur absolue, racine), revenez systématiquement au taux d’accroissement plutôt que de calculer \(f’\) ailleurs puis de passer à la limite, ce qui suppose un résultat supplémentaire. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Dérivation et accroissements finis, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Suites numériques, Limites et continuité, Fonctions usuelles, Arithmétique dans Z. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Une fonction dérivable est-elle de classe \(\mathcal{C}^1\) ?

Non : \(x \mapsto x^2 \sin\frac1x\) prolongée par \(0\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais sa dérivée n’a pas de limite en \(0\), donc n’est pas continue.

Pourquoi le signe de \(f’\) ne donne-t-il la monotonie que sur un intervalle ?

La preuve utilise l’égalité des accroissements finis entre deux points, qui exige que tout le segment qui les joint soit dans le domaine. Sur une réunion d’intervalles, la conclusion peut tomber.