Contrôle de maths L1 : polynômes, arithmétique et nombres complexes

Exercice 1 : Question de cours : racines n-ièmes de l’unité (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(n \geq\, 1\) un entier. On note \(\mathbb{U}_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \}\).

1. Démontrez que \(\mathbb{U}_n = \{ e^{2ik\pi/n} \mid k \in \{0, 1, \ldots, n-1\} \}\) et que ces \(n\) nombres sont deux à deux distincts. (1,5 point)
2. Démontrez que, pour \(n \geq\, 2\), la somme des éléments de \(\mathbb{U}_n\) est nulle. (1,5 point)

Exercice 2 : Factorisation de X^6 − 1 (4 points)

1. Factorisez \(X^6 – 1\) en produit de facteurs du premier degré dans \(\mathbb{C}[X]\). (1 point)
2. En regroupant les racines conjuguées, factorisez \(X^6 – 1\) en produit de polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\). (1,5 point)
3. En déduire, sans développer, la factorisation de \(X^4 + X^2 + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\), puis vérifiez-la. (1,5 point)

Exercice 3 : Algorithme d’Euclide pour les polynômes et les entiers (5 points)

On considère \(A = X^4 – 1\) et \(B = X^3 + 2X^2 + 2X + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

1. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminez le pgcd unitaire \(D\) de \(A\) et \(B\). Présentez chaque division euclidienne. (2,5 points)
2. Montrez que, pour tout entier \(n\), l’entier \(n + 1\) divise \(\operatorname{pgcd}(A(n), B(n))\). (1 point)
3. Pour \(n = 10\), on a \(A(10) = 9999\) et \(B(10) = 1221\). Calculez \(\operatorname{pgcd}(9999, 1221)\) par l’algorithme d’Euclide. (1 point)
4. Comparez ce pgcd avec \(D(10)\). Que peut-on en conclure ? (0,5 point)

Exercice 4 : Racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers (4 points)

Soit \(P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0\) un polynôme de degré \(n \geq\, 1\) à coefficients entiers, avec \(a_0 \neq 0\).

1. On suppose que \(P\) admet une racine rationnelle \(\dfrac{p}{q}\), avec \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}^{*}\) et \(\operatorname{pgcd}(p, q) = 1\). Démontrez que \(p\) divise \(a_0\) et que \(q\) divise \(a_n\). (2 points)
2. Déterminez toutes les racines rationnelles de \(2X^3 – 3X^2 – 3X + 2\), puis factorisez ce polynôme dans \(\mathbb{Q}[X]\). (1,5 point)
3. Montrez que \(X^3 – 3X – 1\) n’a aucune racine rationnelle. (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : une équation du troisième degré et cos(π/9) (4 points)

On note \(Q = X^3 – 3X – 1\).

1. Soit \(\theta\) un réel et \(z = e^{i\theta}\). On pose \(x = z + \dfrac{1}{z}\). Montrez que \(x = 2\cos\theta\) et que \(x^3 – 3x = z^3 + \dfrac{1}{z^3} = 2\cos(3\theta)\). (1 point)
2. En déduire que les trois racines de \(Q\) sont \(2\cos\dfrac{\pi}{9}\), \(2\cos\dfrac{5\pi}{9}\) et \(2\cos\dfrac{7\pi}{9}\). (1,5 point)
3. Démontrez que \(\cos\dfrac{\pi}{9}\) est irrationnel. (1 point)
4. Calculez \(\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9} + \cos\dfrac{7\pi}{9}\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : polynômes, arithmétique et nombres complexes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Nombres complexes » en L1 et « Arithmétique dans Z » en L1 et « Polynômes » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés nombres complexes, arithmétique dans z, polynômes.

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