Contrôle de maths L1 : suites, continuité et dérivation

Exercice 1 : Somme alternée et suites extraites (5 points)

Calculatrice interdite.

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on pose \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\).

1. Montrez que les suites \((u_{2n})_{n \geq\, 1}\) et \((u_{2n+1})_{n \geq\, 0}\) sont adjacentes. (2 points)
2. Soit \((v_n)\) une suite réelle telle que \((v_{2n})\) et \((v_{2n+1})\) convergent vers une même limite \(\ell\). Démontrez, avec la définition \(\varepsilon\), que \((v_n)\) converge vers \(\ell\). Concluez pour \((u_n)\). (1,5 point)
3. On note \(\ell\) la limite de \((u_n)\). Justifiez que \(u_{2n} \leq\, \ell \leq\, u_{2n+1}\) pour tout \(n \geq\, 1\) et déduisez-en un encadrement de \(\ell\) par deux fractions en prenant \(n = 2\). (1 point)
4. Montrez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(|u_n – \ell| \leq\, \dfrac{1}{n+1}\). (0,5 point)

Exercice 2 : Accroissements finis et valeurs intermédiaires (6 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A. Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), dérivable sur \(]0,1[\), telle que \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 1\).

1. Montrez qu’il existe \(c \in ]0, 1[\) tel que \(f(c) = 1 – c\). (1 point)
2. Déduisez-en qu’il existe deux réels distincts \(a\) et \(b\) de \(]0, 1[\) tels que \(f^{\prime}(a) \, f^{\prime}(b) = 1\). (2 points)

Partie B. Soit \(g\) une fonction dérivable sur \([0, +\infty[\) telle que \(g^{\prime}(x)\) tende vers un réel \(L\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

3. Démontrez que \(\dfrac{g(x)}{x}\) tend vers \(L\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). On pourra, pour \(\varepsilon > 0\) fixé, choisir \(A > 0\) tel que \(|g^{\prime}(t) – L| \leq\, \varepsilon\) pour \(t \geq\, A\), puis appliquer l’égalité des accroissements finis sur \([A, x]\). (3 points)

Exercice 3 : Itérations du cosinus et point fixe (9 points)

On étudie la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 \in [0,1]\) et \(u_{n+1} = \cos(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La figure ci-dessous représente les premiers termes pour \(u_0 = 0\).

Partie A : existence et localisation du point fixe.

1. On pose \(h(x) = \cos x – x\). Montrez que \(h\) s’annule en un unique point \(\alpha\) de \([0, 1]\). (1,5 point)
2. Montrez que \(\dfrac{1}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{4}\). (1 point)

Partie B : convergence par contraction.

3. Montrez que l’intervalle \([0, 1]\) est stable par la fonction cosinus. En déduire que \(u_n \in [0,1]\) pour tout \(n\). (1 point)
4. Montrez que, pour tous \(x\) et \(y\) de \([0, 1]\), \(|\cos x – \cos y| \leq\, \sin(1) \, |x – y|\). (1 point)
5. Montrez que, pour tout \(n\), \(|u_n – \alpha| \leq\, (\sin 1)^n\), puis que \((u_n)\) converge vers \(\alpha\). (1 point)

Partie C : allure et vitesse de convergence. On suppose désormais \(u_0 \neq \alpha\).

6. Montrez que, pour tout \(n\), \(u_n \neq \alpha\) et que \(u_{n+1} – \alpha\) et \(u_n – \alpha\) sont de signes contraires. (1,5 point)
7. Montrez que \(\dfrac{u_{n+1} – \alpha}{u_n – \alpha}\) tend vers \(-\sin \alpha\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (1,5 point)
8. À l’aide des questions f) et g), expliquez l’allure en spirale de la figure, et rapprochez-la de la situation de l’exercice 1. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : suites, continuité et dérivation

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Suites numériques » en L1 et « Limites et continuité » en L1 et « Dérivation » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés suites numériques, limites et continuité, dérivation.

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