Suites numériques : cours de maths en L1 en PDF.

Une suite réelle est une application \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), \(n \mapsto u_n\). On la note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\). Le réel \(u_n\) est le terme de rang \(n\). Une suite peut aussi n’être définie qu’à partir d’un rang \(n_0\).

La suite \((u_n)\) est majorée s’il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq\, M\). Elle est minorée s’il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \geq\, m\). Enfin, elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, autrement dit s’il existe \(K \geq\, 0\) tel que \(\forall n,\ |u_n| \leq\, K\).

La suite \((u_n)\) est croissante si \(\forall n,\ u_{n+1} \geq\, u_n\), et décroissante si \(\forall n,\ u_{n+1} \leq\, u_n\). Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante. On parle de monotonie stricte avec des inégalités strictes.

Pour étudier le sens de variation de \((u_n)\), on dispose de trois outils.

• Étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\).
• Si tous les termes sont strictement positifs, comparer le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).
• Si \(u_n = f(n)\), étudier les variations de \(f\) sur \([0, +\infty[\).

Soit \(u_n = \frac{n}{2^n}\). Pour \(n \geq\, 1\), les termes sont strictement positifs et \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{2n} \leq\, 1\), car \(n + 1 \leq\, 2n\). Donc \((u_n)_{n \geq\, 1}\) est décroissante. De plus, \(0 \leq\, u_n \leq\, u_1 = \frac{1}{2}\) : la suite est bornée.

Soit \(\ell \in \mathbb{R}\). La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si :

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq\, N,\ |u_n – \ell| \leq\, \varepsilon.\]

On écrit alors \(u_n \to \ell\) ou \(\lim u_n = \ell\). Une suite qui ne converge vers aucun réel est dite divergente.

Montrons que \(u_n = \frac{2n+1}{n+1}\) converge vers \(2\). On calcule \(|u_n – 2| = \frac{1}{n+1}\). Soit \(\varepsilon > 0\). D’après la propriété d’Archimède, il existe un entier \(N\) tel que \(N \geq\, \frac{1}{\varepsilon}\). Alors, pour tout \(n \geq\, N\), on a \(|u_n – 2| \leq\, \frac{1}{N+1} < \frac{1}{N} \leq\, \varepsilon\). Ainsi \(u_n \to 2\).

Pour démontrer \(u_n \to \ell\) avec la définition :

1. majorer \(|u_n – \ell|\) par une expression simple \(v_n\) qui tend visiblement vers \(0\) (par exemple \(\frac{C}{n}\) ou \(\frac{C}{\sqrt{n}}\)) ;
2. fixer \(\varepsilon > 0\) et résoudre \(v_n \leq\, \varepsilon\), ce qui fournit un rang \(N\) explicite ;
3. conclure par « pour tout \(n \geq\, N\), \(|u_n – \ell| \leq\, v_n \leq\, \varepsilon\) ».

Inutile de chercher le plus petit \(N\) possible : n’importe quel rang qui convient suffit.

Si une suite converge, sa limite est unique.

Supposons \(u_n \to \ell\) et \(u_n \to \ell^{\prime}\) avec \(\ell \neq \ell^{\prime}\). Posons \(\varepsilon = \frac{|\ell – \ell^{\prime}|}{3} > 0\). Il existe \(N_1\) tel que \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N_1\), et \(N_2\) tel que \(|u_n – \ell^{\prime}| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N_2\). Pour \(n = \max(N_1, N_2)\), l’inégalité triangulaire donne \(|\ell – \ell^{\prime}| \leq\, |\ell – u_n| + |u_n – \ell^{\prime}| \leq\, 2\varepsilon\). Or \(2\varepsilon < 3\varepsilon = |\ell – \ell^{\prime}|\) : c’est absurde. Donc \(\ell = \ell^{\prime}\).

Toute suite convergente est bornée.

Soit \(u_n \to \ell\). Avec \(\varepsilon = 1\), il existe \(N\) tel que \(|u_n – \ell| \leq\, 1\) pour \(n \geq\, N\). Pour ces rangs, \(|u_n| \leq\, |\ell| + 1\). Par conséquent, \(K = \max(|u_0|, \ldots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1)\) majore \(|u_n|\) pour tout \(n\).

La réciproque est fausse. La suite \(((-1)^n)\) est bornée par \(1\) mais elle diverge, comme on le verra avec les suites extraites.

La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si \(\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq\, N,\ u_n \geq\, A\). De même, elle tend vers \(-\infty\) si \(\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N,\ \forall n \geq\, N,\ u_n \leq\, A\).

Soient \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell^{\prime}\), avec \(\ell, \ell^{\prime}\) réels, et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :

• \(u_n + v_n \to \ell + \ell^{\prime}\) et \(\lambda u_n \to \lambda \ell\) ;
• \(u_n v_n \to \ell \ell^{\prime}\) ;
• si \(\ell^{\prime} \neq 0\), alors \(v_n \neq 0\) à partir d’un certain rang et \(\frac{u_n}{v_n} \to \frac{\ell}{\ell^{\prime}}\).

Traitons la somme et le produit. Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N_1\) et \(N_2\) tels que \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N_1\) et \(|v_n – \ell^{\prime}| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N_2\). Pour \(n \geq\, \max(N_1, N_2)\), on obtient \(|(u_n + v_n) – (\ell + \ell^{\prime})| \leq\, 2\varepsilon\). Comme \(\varepsilon\) est arbitraire, la somme converge vers \(\ell + \ell^{\prime}\).

Pour le produit, on écrit d’abord :

\[u_n v_n – \ell \ell^{\prime} = u_n (v_n – \ell^{\prime}) + \ell^{\prime} (u_n – \ell).\]

Ensuite, \((u_n)\) converge, donc elle est bornée par un réel \(K > 0\). Ainsi, pour \(n \geq\, \max(N_1, N_2)\), on a \(|u_n v_n – \ell \ell^{\prime}| \leq\, (K + |\ell^{\prime}|)\,\varepsilon\). La constante \(K + |\ell^{\prime}|\) ne dépend pas de \(\varepsilon\), ce qui conclut.

Pour \(u_n = \sqrt{n^2 + n} – n\), on a une forme \(\infty – \infty\). On multiplie par la quantité conjuguée :

\[u_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} \to \frac{1}{2}.\]

Si \(u_n \to \ell\), \(v_n \to \ell^{\prime}\) et \(u_n \leq\, v_n\) à partir d’un certain rang, alors \(\ell \leq\, \ell^{\prime}\).

La suite \(w_n = v_n – u_n\) est positive à partir d’un rang \(n_0\) et converge vers \(L = \ell^{\prime} – \ell\). Supposons \(L < 0\) et prenons \(\varepsilon = -\frac{L}{2}\). Pour \(n\) assez grand, \(w_n \leq\, L + \varepsilon = \frac{L}{2} < 0\). C’est contradictoire avec \(w_n \geq\, 0\). Donc \(L \geq\, 0\).

Les inégalités strictes deviennent larges à la limite. Par exemple, \(\frac{1}{n} > 0\) pour tout \(n \geq\, 1\), pourtant la limite vaut \(0\).

Théorème des gendarmes. Soient trois suites telles que \(w_n \leq\, u_n \leq\, v_n\) à partir d’un certain rang. Si \((w_n)\) et \((v_n)\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \((u_n)\) converge aussi vers \(\ell\).

Soit \(\varepsilon > 0\). Pour \(n\) assez grand, on a à la fois \(\ell – \varepsilon \leq\, w_n\), \(v_n \leq\, \ell + \varepsilon\) et l’encadrement. Donc \(\ell – \varepsilon \leq\, u_n \leq\, \ell + \varepsilon\), c’est-à-dire \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon\).

Comparaison. Si \(|u_n – \ell| \leq\, \alpha_n\) à partir d’un certain rang et \(\alpha_n \to 0\), alors \(u_n \to \ell\). De même, si \(u_n \geq\, v_n\) à partir d’un certain rang et \(v_n \to +\infty\), alors \(u_n \to +\infty\).

Pour \(n \geq\, 1\), on a \(n! \geq\, n\). En effet, les facteurs \(1, 2, \ldots, n-1\) sont tous supérieurs ou égaux à \(1\). Par comparaison, \(n! \to +\infty\).

Soit \((u_n)\) une suite croissante.

• Si \((u_n)\) est majorée, elle converge vers \(\ell = \sup\{u_n,\ n \in \mathbb{N}\}\).
• Sinon, elle tend vers \(+\infty\).

De même, une suite décroissante minorée converge vers sa borne inférieure, et une suite décroissante non minorée tend vers \(-\infty\).

Supposons \((u_n)\) croissante et majorée. L’ensemble \(E = \{u_n,\ n \in \mathbb{N}\}\) est non vide et majoré, donc il possède une borne supérieure \(\ell\). Soit \(\varepsilon > 0\). Comme \(\ell – \varepsilon\) n’est pas un majorant de \(E\), il existe \(N\) tel que \(u_N > \ell – \varepsilon\). Ensuite, pour \(n \geq\, N\), la croissance donne \(u_n \geq\, u_N > \ell – \varepsilon\). De plus, \(u_n \leq\, \ell\) puisque \(\ell\) majore \(E\). Ainsi \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N\).

Supposons maintenant \((u_n)\) croissante et non majorée. Soit \(A \in \mathbb{R}\). Puisque \(A\) ne majore pas la suite, il existe \(N\) tel que \(u_N > A\). Par croissance, \(u_n \geq\, u_N > A\) pour tout \(n \geq\, N\). Donc \(u_n \to +\infty\).

Soit \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\). La suite est croissante, car \(u_{n+1} – u_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0\). Pour \(k \geq\, 2\), on a \(\frac{1}{k^2} \leq\, \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} – \frac{1}{k}\). Par télescopage, \(u_n \leq\, 1 + 1 – \frac{1}{n} \leq\, 2\). La suite converge donc, vers un réel \(\ell \leq\, 2\).

On peut montrer que \(\ell = \frac{\pi^2}{6}\), mais c’est hors programme à ce stade de l’année. L’intérêt du théorème est précisément de prouver la convergence sans connaître la limite.

Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante, et si \(v_n – u_n \to 0\).

Deux suites adjacentes convergent vers la même limite \(\ell\). Si \((u_n)\) est la croissante, on a de plus \(u_n \leq\, \ell \leq\, v_n\) pour tout \(n\).

Supposons \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante. La suite \(d_n = v_n – u_n\) est décroissante, comme différence d’une suite décroissante et d’une suite croissante. Elle tend vers \(0\), donc \(d_n \geq\, 0\) pour tout \(n\), par passage à la limite dans \(d_m \leq\, d_n\) pour \(m \geq\, n\). Par conséquent, \(u_0 \leq\, u_n \leq\, v_n \leq\, v_0\). Ainsi \((u_n)\) est croissante et majorée par \(v_0\) : elle converge vers \(\ell\). De même, \((v_n)\) converge vers \(\ell^{\prime}\). Enfin, \(\ell^{\prime} – \ell = \lim d_n = 0\). L’encadrement découle de \(u_n \leq\, \sup_k u_k = \ell\) et \(v_n \geq\, \inf_k v_k = \ell\).

Pour \(n \geq\, 1\), posons \(u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) et \(v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}\). La suite \((u_n)\) croît. Un calcul direct donne \(v_{n+1} – v_n = -\frac{1}{n(n+1)\,(n+1)!} < 0\). Enfin, \(v_n – u_n = \frac{1}{n \cdot n!} \to 0\). Les suites sont donc adjacentes. Leur limite commune est le nombre \(\mathrm{e}\).

Une extraction est une application \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante. La suite \((u_{\varphi(n)})\) est appelée suite extraite (ou sous-suite) de \((u_n)\). Par exemple, \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont extraites de \((u_n)\).

Si \(\varphi\) est une extraction, alors \(\varphi(n) \geq\, n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

On raisonne par récurrence. D’abord, \(\varphi(0) \geq\, 0\) car \(\varphi(0) \in \mathbb{N}\). Ensuite, si \(\varphi(n) \geq\, n\), alors \(\varphi(n+1) > \varphi(n) \geq\, n\). Comme ce sont des entiers, \(\varphi(n+1) \geq\, n + 1\).

Si \(u_n \to \ell\) (avec \(\ell\) réel ou infini), alors toute suite extraite de \((u_n)\) tend aussi vers \(\ell\).

Traitons \(\ell\) réel. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) tel que \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N\). Pour \(n \geq\, N\), le lemme donne \(\varphi(n) \geq\, n \geq\, N\). Donc \(|u_{\varphi(n)} – \ell| \leq\, \varepsilon\).

Pour prouver qu’une suite diverge, il suffit d’exhiber :

• deux suites extraites qui ont des limites différentes ;
• ou une suite extraite qui n’a pas de limite.

Soit \(u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}\). D’une part, \(u_{2p} = \frac{2p}{2p+1} \to 1\). D’autre part, \(u_{2p+1} = -\frac{2p+1}{2p+2} \to -1\). Les deux limites diffèrent, donc \((u_n)\) diverge.

Si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \((u_n)\) converge vers \(\ell\).

Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N_1\) tel que \(|u_{2p} – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(p \geq\, N_1\), et \(N_2\) tel que \(|u_{2p+1} – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(p \geq\, N_2\). Posons \(N = \max(2N_1, 2N_2 + 1)\). Tout \(n \geq\, N\) s’écrit \(2p\) avec \(p \geq\, N_1\), ou \(2p + 1\) avec \(p \geq\, N_2\). Dans les deux cas, \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon\).

Bolzano-Weierstrass. De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

On procède par dichotomie. Soit \(a_0 \leq\, u_n \leq\, b_0\) pour tout \(n\). L’intervalle \([a_0, b_0]\) contient une infinité de termes, au sens d’une infinité d’indices. On le coupe en deux moitiés : l’une d’elles contient encore une infinité d’indices, on la note \([a_1, b_1]\). En itérant, on construit des intervalles emboîtés \([a_k, b_k]\), de longueur \(\frac{b_0 – a_0}{2^k}\), qui contiennent chacun une infinité d’indices.

Ensuite, on choisit \(\varphi(0) = 0\), puis \(\varphi(k) > \varphi(k-1)\) tel que \(u_{\varphi(k)} \in [a_k, b_k]\). Ce choix est possible car il reste une infinité d’indices. Les suites \((a_k)\) et \((b_k)\) sont adjacentes : \((a_k)\) croît, \((b_k)\) décroît et \(b_k – a_k \to 0\). Elles ont donc une limite commune \(\ell\). Enfin, \(a_k \leq\, u_{\varphi(k)} \leq\, b_k\), et les gendarmes donnent \(u_{\varphi(k)} \to \ell\).

Le théorème affirme l’existence d’une sous-suite convergente, sans en donner la limite. Par exemple, \((\sin n)\) est bornée : elle admet donc une suite extraite convergente, alors qu’elle-même diverge.

Un intervalle \(I\) est stable par \(f\) si \(f(I) \subset I\). Si \(u_0 \in I\) et \(I\) est stable, une récurrence immédiate montre que la suite est bien définie et que \(u_n \in I\) pour tout \(n\).

Si \(u_n \to \ell\), si \(\ell \in I\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\) : la limite est un point fixe de \(f\).

Soit \(I\) un intervalle stable contenant \(u_0\).

• Si \(f\) est croissante sur \(I\), la suite \((u_n)\) est monotone : croissante si \(u_1 \geq\, u_0\), décroissante si \(u_1 \leq\, u_0\).
• Si \(f\) est décroissante sur \(I\), les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones, de sens contraires.

Supposons \(f\) croissante et \(u_1 \geq\, u_0\). Si \(u_{n+1} \geq\, u_n\), alors \(f(u_{n+1}) \geq\, f(u_n)\), soit \(u_{n+2} \geq\, u_{n+1}\). La récurrence conclut. Si \(f\) est décroissante, \(f \circ f\) est croissante, et on applique le premier point aux suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\), qui vérifient \(v_{n+1} = (f \circ f)(v_n)\).

Plan d’étude de \(u_{n+1} = f(u_n)\) :

1. trouver un intervalle stable \(I\) contenant \(u_0\) ;
2. chercher les points fixes de \(f\) dans \(I\) et le signe de \(f(x) – x\) ;
3. établir la monotonie (sens de variation de \(f\), ou signe de \(f(x) – x\)) ;
4. conclure avec le théorème de la limite monotone, puis identifier la limite parmi les points fixes.

Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\). La fonction \(f : x \mapsto \sqrt{x + 6}\) est croissante, et l’intervalle \([0, 3]\) est stable, car \(f(0) = \sqrt{6} \geq\, 0\) et \(f(3) = 3\). Comme \(u_1 = \sqrt{6} \geq\, u_0\), la suite est croissante. Elle est majorée par \(3\), donc elle converge vers \(\ell \in [0, 3]\). Enfin, \(\ell = \sqrt{\ell + 6}\) donne \(\ell^2 – \ell – 6 = 0\), soit \(\ell = 3\) ou \(\ell = -2\). Donc \(\ell = 3\).

Soit \(u_{n+1} = a u_n + b\), avec \(a \neq 1\). Notons \(c = \frac{b}{1 – a}\), l’unique solution de \(c = ac + b\). Alors la suite \(v_n = u_n – c\) est géométrique de raison \(a\), et :

\[u_n = c + a^n (u_0 – c).\]

L’équation caractéristique de la relation \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) est \(r^2 – ar – b = 0\).

Soit \(\Delta = a^2 + 4b\) le discriminant de l’équation caractéristique.

• Si \(\Delta > 0\), de racines réelles \(r_1 \neq r_2\) : \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\).
• Si \(\Delta = 0\), de racine double \(r\) : \(u_n = (\lambda + \mu n)\, r^n\).
• Si \(\Delta < 0\), de racines \(\rho\,\mathrm{e}^{\pm i\theta}\) : \(u_n = \rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta))\).

Dans chaque cas, \(\lambda\) et \(\mu\) sont des réels, uniques, fixés par \(u_0\) et \(u_1\).

Traitons le premier cas. Les suites \((r_1^n)\) et \((r_2^n)\) vérifient la relation, et toute combinaison \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n\) aussi, par linéarité. Ensuite, le système \(\lambda + \mu = u_0\), \(\lambda r_1 + \mu r_2 = u_1\) a une unique solution, car son déterminant \(r_2 – r_1\) est non nul. Enfin, une suite vérifiant la relation est entièrement déterminée par \(u_0\) et \(u_1\), par récurrence. Donc \((u_n)\) coïncide avec la combinaison trouvée. Les deux autres cas se traitent de même : dans le deuxième, on vérifie que \((n r^n)\) est solution grâce à \(2r = a\) ; dans le troisième, on prend les parties réelle et imaginaire de \((\rho\,\mathrm{e}^{i\theta})^n\).

Soit \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n\). L’équation \(r^2 – 5r + 6 = 0\) a pour racines \(2\) et \(3\). Donc \(u_n = \lambda 2^n + \mu 3^n\), avec \(\lambda + \mu = 1\) et \(2\lambda + 3\mu = 4\). On obtient \(\mu = 2\) et \(\lambda = -1\), soit \(u_n = 2 \cdot 3^n – 2^n\). On vérifie : \(u_2 = 5 \times 4 – 6 = 14 = 18 – 4\).