Contrôle de maths L1 : limites de fonctions et continuité

Exercice 1 : Théorème des valeurs intermédiaires (4 points)

Calculatrice interdite.

Cette question de cours porte sur les fonctions continues sur un segment.

1. Énoncez le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un segment \([a, b]\). (1 point)
2. Démontrez-le. Vous traiterez d’abord le cas \(f(a) \leq\, 0 \leq\, f(b)\) en considérant la borne supérieure \(c\) de l’ensemble \(E = \{x \in [a,b] : f(x) \leq\, 0\}\), puis vous en déduirez le cas général. (3 points)

Exercice 2 : Limites, epsilon-delta et suites (5 points)

1. Démontrez, à l’aide de la définition avec \(\varepsilon\) et \(\delta\), que \(\displaystyle\lim_{x \to 2} x^2 = 4\). (1,5 point)
2. Démontrez que la fonction \(x \mapsto \sin(\dfrac{1}{x})\), définie sur \(\mathbb{R}^*\), n’admet pas de limite en \(0\). (1,5 point)
3. On pose \(g(x) = x \sin(\dfrac{1}{x})\) pour \(x \neq 0\). Montrez que \(g\) est prolongeable par continuité en \(0\) et précisez la valeur du prolongement. (1 point)
4. On définit \(h\) sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x\) si \(x \in \mathbb{Q}\) et \(h(x) = 0\) sinon. Montrez que \(h\) est continue en \(0\) et en aucun autre point. (1 point)

Exercice 3 : Une fonction définie avec la partie entière (4,5 points)

On note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière du réel \(x\) et on définit \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \lfloor x \rfloor + (x – \lfloor x \rfloor)^2\). La courbe de \(f\) est tracée ci-dessous sur \([-2, 3]\).

1. Soit \(n \in \mathbb{Z}\). Exprimez \(f(x)\) sans partie entière pour \(x \in [n, n+1[\) et justifiez que \(f\) est continue sur \(]n, n+1[\). (0,5 point)
2. Étudiez les limites à gauche et à droite de \(f\) en un entier \(n\). Concluez que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
3. On pose \(\varphi(x) = \dfrac{\sqrt{1+x} – 1}{x}\) pour \(x \in [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[\). Montrez que \(\varphi\) se prolonge par continuité en \(0\) et donnez la valeur du prolongement. (1,5 point)
4. Montrez que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), puis, en citant un théorème du cours, qu’elle réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 4 : Points fixes, extremums et cordes horizontales (6,5 points)

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A : point fixe.

1. Soit \(f : [0,1] \to [0,1]\) une fonction continue. Montrez qu’il existe \(c \in [0,1]\) tel que \(f(c) = c\). (1,5 point)

Partie B : minimum atteint.

2. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue telle que \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). Montrez que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\). (2 points)

Partie C : cordes horizontales. Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).

3. En étudiant \(g(x) = f(x + \dfrac{1}{2}) – f(x)\) sur \([0, \dfrac{1}{2}]\), montrez qu’il existe \(c \in [0, \dfrac{1}{2}]\) tel que \(f(c + \dfrac{1}{2}) = f(c)\). (1,5 point)
4. Soit \(n \geq\, 2\) un entier. Montrez de même qu’il existe \(c \in [0, 1 – \dfrac{1}{n}]\) tel que \(f(c + \dfrac{1}{n}) = f(c)\). On pourra calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} g_n(\frac{k}{n})\) où \(g_n(x) = f(x + \dfrac{1}{n}) – f(x)\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : limites de fonctions et continuité

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Limites et continuité » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés limites et continuité.

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