Déterminants : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Signature de permutations

Dans \(S_5\), on considère la permutation \(\sigma\) définie par \(\sigma(1) = 3\), \(\sigma(2) = 5\), \(\sigma(3) = 4\), \(\sigma(4) = 1\) et \(\sigma(5) = 2\), représentée ci-dessous. On considère aussi le cycle \(\tau = (1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5)\).

1. Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints, puis en produit de transpositions. En déduire \(\varepsilon(\sigma)\).
2. Compter les inversions de \(\sigma\) et retrouver \(\varepsilon(\sigma)\).
3. Vérifier que \(\tau = (1 \ 2)(2 \ 3)(3 \ 4)(4 \ 5)\) et donner \(\varepsilon(\tau)\).
4. Calculer \(\sigma \circ \tau\), le décomposer en cycles disjoints et vérifier que \(\varepsilon(\sigma \circ \tau) = \varepsilon(\sigma)\, \varepsilon(\tau)\).
5. Donner sans calcul \(\varepsilon(\sigma^{-1})\) et \(\varepsilon(\sigma^{2})\).

Exercice 2 : Déterminants d’ordre 2 et 3

Calculer les déterminants suivants, puis préciser lesquelles des matrices correspondantes sont inversibles.

\[D_1 = \begin{vmatrix} 2 3 \\ 5 7 \end{vmatrix}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 10 \end{vmatrix}, \quad D_3 = \begin{vmatrix} 2 -1 0 \\ 1 3 1 \\ 0 2 4 \end{vmatrix}, \quad D_4 = \begin{vmatrix} \cos\theta -\sin\theta \\ \sin\theta \cos\theta \end{vmatrix}.\]

Exercice 3 : Calcul par opérations élémentaires

Calculer les déterminants suivants par la méthode du pivot, en justifiant chaque opération.

\[M = \begin{vmatrix} 1 1 1 1 \\ 1 2 2 2 \\ 1 2 3 3 \\ 1 2 3 4 \end{vmatrix}, \qquad P = \begin{vmatrix} 0 1 2 3 \\ 1 0 1 2 \\ 2 1 0 1 \\ 3 2 1 0 \end{vmatrix}.\]

Exercice 4 : Développement selon une ligne ou une colonne

1. Calculer, en choisissant judicieusement la ligne ou la colonne de développement,
   \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 0 2 0 \\ 3 1 0 1 \\ 0 0 5 0 \\ 2 0 1 4 \end{vmatrix}.\]
2. Pour \(x \in \mathbb{R}\), calculer \(f(x) = \begin{vmatrix} x 1 0 \\ 1 x 1 \\ 0 1 x \end{vmatrix}\) en développant selon la première ligne.
3. Pour quelles valeurs de \(x\) la matrice correspondante est-elle inversible ?

Exercice 5 : Base ou non selon un paramètre

Pour \(m \in \mathbb{R}\), on pose \(u_1 = (1, 1, m)\), \(u_2 = (1, m, 1)\) et \(u_3 = (m, 1, 1)\) dans \(\mathbb{R}^3\).

1. Calculer \(\det_{\mathcal{B}}(u_1, u_2, u_3)\), où \(\mathcal{B}\) est la base canonique, et le factoriser.
2. En déduire les valeurs de \(m\) pour lesquelles \((u_1, u_2, u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
3. Pour chaque valeur exclue, donner une relation de dépendance linéaire explicite.

Exercice 6 : Résolution d’un système de Cramer

On considère le système

\[\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + z = 3 \\ x + 2y – z = 2 \end{cases}\]

1. Montrer que c’est un système de Cramer.
2. Le résoudre à l’aide des formules de Cramer, puis vérifier la solution.

Exercice 7 : Aire d’un parallélogramme et d’un triangle

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points \(A(1, 1)\), \(B(5, 2)\), \(C(2, 4)\) et \(E(9, 3)\), placés sur la figure ci-dessous.

1. Calculer \(\det(\vec{AB}, \vec{AC})\). La base \((\vec{AB}, \vec{AC})\) est-elle directe ?
2. Déterminer le point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme, puis son aire.
3. En déduire l’aire du triangle \(ABC\).
4. Les points \(A\), \(B\) et \(E\) sont-ils alignés ?

Exercice 8 : Formes bilinéaires alternées du plan

On note \(\mathcal{B} = (e_1, e_2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\) et, pour \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\), \(\det_{\mathcal{B}}(x, y) = x_1 y_2 – x_2 y_1\).

1. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire alternée sur \(\mathbb{R}^2\). Montrer que \(\varphi(e_2, e_1) = -\varphi(e_1, e_2)\), puis que \(\varphi = \varphi(e_1, e_2) \det_{\mathcal{B}}\), sans utiliser le théorème général du cours.
2. Les applications \(f(x, y) = 2x_1 y_2 – 2x_2 y_1\) et \(g(x, y) = x_1 y_1\) sont-elles des formes bilinéaires alternées ? Le cas échéant, écrire la forme comme multiple de \(\det_{\mathcal{B}}\).
3. Montrer que toute forme trilinéaire alternée sur \(\mathbb{R}^2\) est nulle.

Exercice 9 : Propriétés algébriques du déterminant

Soit \(n \geq\, 1\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. On suppose \(A\) antisymétrique (\(A^{T} = -A\)) et \(n\) impair. Montrer que \(\det A = 0\).
2. Vérifier ce résultat par un calcul direct pour \(A = \begin{pmatrix} 0 1 -2 \\ -1 0 3 \\ 2 -3 0 \end{pmatrix}\).
3. Montrer que si \(n\) est impair, il n’existe aucune matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = -I_n\). Donner un exemple pour \(n = 2\).
4. Montrer qu’une matrice nilpotente (\(A^p = 0\) pour un entier \(p \geq\, 1\)) a un déterminant nul.
5. Montrer que deux matrices semblables ont le même déterminant.

Exercice 10 : Déterminant de quelques endomorphismes

Calculer le déterminant de chacun des endomorphismes suivants et dire s’il est bijectif.

1. \(t : M \mapsto M^{T}\) sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. \(v : P \mapsto P + P^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\).
3. \(w : P \mapsto P(X + 1)\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) ; on donnera sa matrice dans la base \((1, X, X^2)\).
4. La symétrie \(s\) de \(\mathbb{R}^3\) par rapport à un plan \(F\), parallèlement à une droite \(G\) supplémentaire, puis la projection \(p\) sur \(F\) parallèlement à \(G\).

Exercice 11 : Inverse par la comatrice

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 0 1 1 \\ 1 0 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\det A\).
2. Calculer les neuf cofacteurs de \(A\) et écrire \(\operatorname{com}(A)\).
3. En déduire \(A^{-1}\) et vérifier que \(A A^{-1} = I_3\).

Exercice 12 : Système de Cramer à paramètre

Pour \(m \in \mathbb{R}\), on étudie le système \(mx + y = 2\), \(x + my = 2\).

1. Pour quelles valeurs de \(m\) est-ce un système de Cramer ? Donner alors la solution.
2. Résoudre le système dans les cas restants.
3. Interpréter géométriquement les trois situations à l’aide des deux droites d’équations \(mx + y = 2\) et \(x + my = 2\).

Exercice 13 : Un déterminant tridiagonal

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(D_n\) le déterminant de taille \(n\) dont les coefficients diagonaux valent 2, ceux situés juste au-dessus et juste au-dessous de la diagonale valent \(-1\), et tous les autres valent 0.

1. Calculer \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\).
2. Montrer que \(D_n = 2D_{n-1} – D_{n-2}\) pour \(n \geq\, 3\), puis en déduire \(D_n\).
3. On note \(\Delta_n\) le déterminant tridiagonal de taille \(n\) de diagonale 1, de sur-diagonale 1 et de sous-diagonale \(-1\). Établir une relation de récurrence et exprimer \(\Delta_n\) à l’aide de la suite de Fibonacci \(F_1 = F_2 = 1\), \(F_{k+2} = F_{k+1} + F_k\).

Exercice 14 : Déterminant de Vandermonde numérique

1. Calculer \(\begin{vmatrix} 1 1 1 \\ 1 2 3 \\ 1 4 9 \end{vmatrix}\) de deux façons : par opérations élémentaires, puis en reconnaissant un déterminant de Vandermonde.
2. Pour \(a, b, c \in \mathbb{K}\), montrer directement, par opérations sur les colonnes, que \(\begin{vmatrix} 1 a a^2 \\ 1 b b^2 \\ 1 c c^2 \end{vmatrix} = (b – a)(c – a)(c – b)\).
3. Calculer \(\begin{vmatrix} 1 1 1 1 \\ 1 2 4 8 \\ 1 3 9 27 \\ 1 4 16 64 \end{vmatrix}\).

Exercice 15 : Matrice à diagonale constante

Soit \(n \geq\, 2\) et \(a, b \in \mathbb{K}\). On note \(A_n(a, b)\) la matrice de taille \(n\) dont les coefficients diagonaux valent \(a\) et tous les autres valent \(b\).

1. Montrer que \(\det A_n(a, b) = (a + (n-1)b)(a – b)^{n-1}\).
2. Retrouver le résultat pour \(n = 4\), \(a = 2\), \(b = 1\).
3. Soit \(J_n\) la matrice dont tous les coefficients valent 1. Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels \(J_n – \lambda I_n\) n’est pas inversible.

Exercice 16 : Matrices entières inversibles

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})\), c’est-à-dire une matrice carrée à coefficients entiers.

1. Justifier que \(\det A \in \mathbb{Z}\).
2. Montrer que si \(A\) est inversible et \(A^{-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})\), alors \(\det A \in \{-1, 1\}\).
3. Réciproquement, montrer que si \(\det A = \pm 1\), alors \(A\) est inversible et \(A^{-1}\) est à coefficients entiers.
4. Appliquer aux matrices \(\begin{pmatrix} 2 3 \\ 1 2 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 2 1 \\ 0 2 \end{pmatrix}\), en calculant leurs inverses.

Exercice 17 : Signature du retournement et matrice anti-diagonale

Pour \(n \geq\, 2\), on note \(\omega \in S_n\) la permutation définie par \(\omega(i) = n + 1 – i\).

1. Compter les inversions de \(\omega\) et en déduire \(\varepsilon(\omega) = (-1)^{n(n-1)/2}\).
2. Écrire \(\omega\) comme produit de \(\lfloor n/2 \rfloor\) transpositions à supports disjoints. En déduire une seconde expression de \(\varepsilon(\omega)\) et vérifier la cohérence pour \(n = 2, 3, 4, 5\).
3. Soient \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}\). Calculer le déterminant de la matrice dont le coefficient \((i, n + 1 – i)\) vaut \(a_i\) pour tout \(i\), tous les autres étant nuls.

Exercice 18 : Comatrice, déterminant et rang

Soit \(n \geq\, 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On admet qu’une matrice de rang \(r \geq\, 1\) possède une sous-matrice carrée de taille \(r\) inversible.

1. On suppose \(A\) inversible. Montrer que \(\det(\operatorname{com} A) = (\det A)^{n-1}\) et que \(\operatorname{com}(A) = \det(A)\, (A^{-1})^{T}\).
2. Montrer que si \(\operatorname{rg} A \leq\, n – 2\), alors \(\operatorname{com}(A) = 0\).
3. On suppose \(\operatorname{rg} A = n – 1\). Montrer que \(\operatorname{rg}(\operatorname{com} A) = 1\).
4. Vérifier sur \(A = \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9 \end{pmatrix}\) en calculant \(\operatorname{com}(A)\).
5. Pour \(n = 2\), exprimer \(\operatorname{com}(\operatorname{com} A)\) en fonction de \(A\).

Exercice 19 : Déterminant triangulaire par blocs

Soient \(p, q \geq\, 1\), \(A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\), \(B \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})\) et \(C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\). On pose \(M = \begin{pmatrix} A C \\ 0 B \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\det \begin{pmatrix} I_p 0 \\ 0 B \end{pmatrix} = \det B\) et \(\det \begin{pmatrix} A C \\ 0 I_q \end{pmatrix} = \det A\).
2. Vérifier que \(M = \begin{pmatrix} I_p 0 \\ 0 B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A C \\ 0 I_q \end{pmatrix}\) et en déduire \(\det M = \det A \det B\).
3. Calculer \(\begin{vmatrix} 1 2 5 -1 \\ 3 4 0 2 \\ 0 0 2 1 \\ 0 0 1 3 \end{vmatrix}\).
4. Montrer par un contre-exemple qu’en général \(\det \begin{pmatrix} A B \\ C D \end{pmatrix} \neq \det A \det D – \det B \det C\).

Exercice 20 : Problème : Vandermonde, interpolation et exponentielles

Pour \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\) avec \(n \geq\, 2\), on note \(V(a_1, \ldots, a_n) = \det\big(a_i^{\,j-1}\big)_{1 \leq\, i, j \leq\, n}\).

Partie A : une autre preuve de la formule. On suppose \(a_1, \ldots, a_{n-1}\) deux à deux distincts et, pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(P(x) = V(a_1, \ldots, a_{n-1}, x)\).

1. Que vaut \(V(a_1, \ldots, a_n)\) si deux des \(a_i\) sont égaux ?
2. En développant selon la dernière ligne, montrer que \(P\) est une fonction polynomiale de degré au plus \(n – 1\), de coefficient en \(x^{n-1}\) égal à \(V(a_1, \ldots, a_{n-1})\).
3. Déterminer \(n – 1\) racines de \(P\), puis en déduire que \(P(x) = V(a_1, \ldots, a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (x – a_i)\).
4. En déduire par récurrence que \(V(a_1, \ldots, a_n) = \prod_{1 \leq\, i < j \leq\, n} (a_j – a_i)\), puis que \(V(1, 2, \ldots, n) = \prod_{k=1}^{n-1} k!\).

Partie B : interpolation. Soient \(x_0, \ldots, x_d\) des réels deux à deux distincts et \(y_0, \ldots, y_d\) des réels quelconques.

1. Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{R}_d[X]\) tel que \(P(x_k) = y_k\) pour tout \(k\).
2. Déterminer le polynôme \(P\) de degré au plus 2 qui passe par les points \((0, 1)\), \((1, 3)\) et \((2, 7)\) représentés ci-dessous.

Partie C : indépendance des exponentielles. Soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) des réels deux à deux distincts et \(f_k : x \mapsto e^{\lambda_k x}\).

1. On suppose que \(\sum_{k=1}^{n} c_k f_k = 0\) sur \(\mathbb{R}\). En dérivant \(j\) fois puis en évaluant en 0, écrire un système linéaire vérifié par \((c_1, \ldots, c_n)\).
2. En déduire que la famille \((f_1, \ldots, f_n)\) est libre.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : déterminants, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Matrice d'une application linéaire et changement de base
• Chapitre précédent : Matrice d'une application linéaire et changement de base
• Chapitre suivant : Géométrie du plan et de l'espace
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3