Déterminants : cours de maths en L1 en PDF.

On appelle permutation de \(\{1, \ldots, n\}\) toute bijection de cet ensemble dans lui-même. L’ensemble de ces permutations, muni de la composition, est un groupe noté \(S_n\) : c’est le groupe symétrique. Il possède \(n!\) éléments et n’est pas commutatif dès que \(n \geq\, 3\).

Soit \(i \neq j\) dans \(\{1, \ldots, n\}\). La transposition \((i \ j)\) échange \(i\) et \(j\) et fixe tous les autres éléments. Plus généralement, si \(a_1, \ldots, a_p\) sont distincts, le cycle \((a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_p)\) envoie \(a_1\) sur \(a_2\), \(a_2\) sur \(a_3\), et ainsi de suite jusqu’à \(a_p\), qui est envoyé sur \(a_1\). Les autres éléments sont fixes. L’entier \(p\) est la longueur du cycle.

Toute permutation de \(S_n\) est un produit (une composée) de transpositions. En particulier, le cycle \((a_1 \ \cdots \ a_p)\) s’écrit \((a_1 \ a_2)(a_2 \ a_3) \cdots (a_{p-1} \ a_p)\), la composition se lisant de droite à gauche.

On raisonne par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 1\), l’identité est le produit vide. Supposons le résultat vrai pour \(n – 1\) et prenons \(\sigma \in S_n\). Si \(\sigma(n) = n\), alors \(\sigma\) induit une permutation de \(\{1, \ldots, n-1\}\), et l’hypothèse de récurrence conclut. Sinon, posons \(\tau = (n \ \sigma(n))\). Ainsi \(\tau \circ \sigma\) fixe \(n\), donc c’est un produit de transpositions. Enfin \(\sigma = \tau \circ (\tau \circ \sigma)\), car \(\tau \circ \tau = \mathrm{id}\). La formule pour un cycle se vérifie en suivant l’image de chaque \(a_k\).

Une inversion de \(\sigma \in S_n\) est un couple \((i, j)\) avec \(i < j\) et \(\sigma(i) > \sigma(j)\). Si \(N(\sigma)\) désigne le nombre d’inversions, la signature de \(\sigma\) est \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^{N(\sigma)}\). On dit que \(\sigma\) est paire si \(\varepsilon(\sigma) = 1\), impaire sinon.

Pour cette permutation, les inversions sont \((1, 3)\), \((2, 3)\) et \((2, 4)\). Donc \(N(\sigma) = 3\) et \(\varepsilon(\sigma) = -1\). D’ailleurs, \(\sigma\) est le cycle \((1 \ 2 \ 4 \ 3)\) de longueur 4, produit de trois transpositions.

Pour tous \(\sigma, \sigma^{\prime} \in S_n\), on a \(\varepsilon(\sigma \circ \sigma^{\prime}) = \varepsilon(\sigma)\, \varepsilon(\sigma^{\prime})\). Autrement dit, \(\varepsilon\) est un morphisme de groupes de \(S_n\) dans \(\{-1, 1\}\). De plus, toute transposition a pour signature \(-1\), et un cycle de longueur \(p\) a pour signature \((-1)^{p-1}\).

D’abord, on vérifie que \(\varepsilon(\sigma) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(j) – \sigma(i)}{j – i}\). En effet, \(\sigma\) permute les paires \(\{i, j\}\), donc le produit des numérateurs vaut, au signe près, celui des dénominateurs. De plus, un facteur est négatif exactement pour une inversion.

Ensuite, on écrit \(\varepsilon(\sigma \circ \sigma^{\prime})\) comme le produit de \(\prod_{i < j} \frac{\sigma(\sigma^{\prime}(j)) – \sigma(\sigma^{\prime}(i))}{\sigma^{\prime}(j) – \sigma^{\prime}(i)}\) et de \(\varepsilon(\sigma^{\prime})\). Le quotient \(\frac{\sigma(b) – \sigma(a)}{b – a}\) est symétrique en \(a\) et \(b\). Par conséquent, lorsque \(\{\sigma^{\prime}(i), \sigma^{\prime}(j)\}\) parcourt toutes les paires, le premier produit vaut \(\varepsilon(\sigma)\).

Enfin, pour \(\tau = (i \ j)\) avec \(i < j\), les inversions sont \((i, j)\), les \((i, k)\) et les \((k, j)\) avec \(i < k < j\). Il y en a \(2(j – i – 1) + 1\), nombre impair. La formule pour un cycle découle alors de sa décomposition en \(p – 1\) transpositions.

Pour calculer la signature d’une permutation, on la décompose en cycles à supports disjoints en suivant les images successives de chaque élément. On multiplie ensuite les signatures \((-1)^{p-1}\) des cycles. Le comptage des inversions reste une vérification commode pour les petites valeurs de \(n\).

Une application \(\varphi : E^n \to \mathbb{K}\) est une forme \(n\)-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables, les autres étant fixées. Elle est alternée si \(\varphi(x_1, \ldots, x_n) = 0\) dès que deux des vecteurs \(x_i\) sont égaux.

Soit \(\varphi\) une forme \(n\)-linéaire alternée sur \(E\).

• Elle est antisymétrique : échanger deux vecteurs change \(\varphi\) en son opposé.
• Pour toute \(\sigma \in S_n\), \(\varphi(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, \varphi(x_1, \ldots, x_n)\).
• Si la famille \((x_1, \ldots, x_n)\) est liée, alors \(\varphi(x_1, \ldots, x_n) = 0\).
• La valeur de \(\varphi\) ne change pas si l’on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.

Développons \(\varphi(\ldots, x + y, \ldots, x + y, \ldots) = 0\) par bilinéarité. Les termes en \((x, x)\) et \((y, y)\) sont nuls, donc \(\varphi(\ldots, x, \ldots, y, \ldots) = -\varphi(\ldots, y, \ldots, x, \ldots)\). Ensuite, on écrit \(\sigma\) comme un produit de transpositions : chacune multiplie la valeur par \(-1\), d’où le facteur \(\varepsilon(\sigma)\).

Si la famille est liée, un vecteur, disons \(x_k\), est combinaison linéaire des autres. En développant par linéarité en la \(k\)-ième place, chaque terme contient deux vecteurs égaux, donc il est nul. Le dernier point s’obtient de la même façon.

Soit \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\). Il existe une unique forme \(n\)-linéaire alternée \(\det_{\mathcal{B}}\) telle que \(\det_{\mathcal{B}}(e_1, \ldots, e_n) = 1\). Si \(x_j = \sum_{i=1}^{n} x_{ij}\, e_i\) pour tout \(j\), elle est donnée par la formule

\[\det_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} x_{\sigma(j) j}.\]

De plus, toute forme \(n\)-linéaire alternée \(\varphi\) sur \(E\) vérifie \(\varphi = \varphi(e_1, \ldots, e_n)\, \det_{\mathcal{B}}\). L’espace de ces formes est donc une droite vectorielle.

Analyse. Soit \(\varphi\) une forme \(n\)-linéaire alternée. Par linéarité en chaque variable, \(\varphi(x_1, \ldots, x_n)\) est la somme, sur toutes les applications \(f\) de \(\{1, \ldots, n\}\) dans lui-même, des termes \(x_{f(1) 1} \cdots x_{f(n) n}\, \varphi(e_{f(1)}, \ldots, e_{f(n)})\). Si \(f\) n’est pas injective, deux vecteurs sont égaux et le terme est nul. Il reste donc les permutations \(\sigma\), pour lesquelles \(\varphi(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, \varphi(e_1, \ldots, e_n)\). Cela donne la formule annoncée et l’unicité.

Synthèse. La formule définit bien une forme \(n\)-linéaire, car chaque produit contient exactement une coordonnée de chaque \(x_j\). Elle vaut 1 sur \(\mathcal{B}\), car seul \(\sigma = \mathrm{id}\) donne un terme non nul. Enfin, supposons \(x_k = x_l\) avec \(k \neq l\) et notons \(\tau = (k \ l)\). L’application \(\sigma \mapsto \sigma \circ \tau\) associe à chaque permutation paire une permutation impaire, avec le même produit. Les termes se compensent donc deux à deux, et la forme est alternée.

Le signe indique l’orientation. Ici \(\det(u, v) = 5 > 0\) : on passe de \(u\) à \(v\) en tournant dans le sens direct. En revanche, \(\det(v, u) = -5\). En dimension 3, de même, la valeur absolue du déterminant est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.

Soient \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) deux bases de \(E\). Alors \(\det_{\mathcal{B}^{\prime}} = \det_{\mathcal{B}^{\prime}}(\mathcal{B})\, \det_{\mathcal{B}}\) et \(\det_{\mathcal{B}^{\prime}}(\mathcal{B})\, \det_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}^{\prime}) = 1\). Par ailleurs, une famille \((x_1, \ldots, x_n)\) de \(n\) vecteurs est une base de \(E\) si et seulement si \(\det_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n) \neq 0\).

La forme \(\det_{\mathcal{B}^{\prime}}\) est \(n\)-linéaire alternée, donc le théorème fondamental donne la première égalité. En l’appliquant à \(\mathcal{B}^{\prime}\), on obtient \(1 = \det_{\mathcal{B}^{\prime}}(\mathcal{B})\, \det_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}^{\prime})\). Si la famille est liée, son déterminant est nul. Si c’est une base \(\mathcal{B}^{\prime}\), le produit précédent vaut 1, donc \(\det_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}^{\prime}) \neq 0\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), les vecteurs \((2, 3)\) et \((4, 6)\) ont pour déterminant \(2 \times 6 – 3 \times 4 = 0\) : ils sont colinéaires. En revanche, \((1, 2)\) et \((3, 5)\) donnent \(5 – 6 = -1\), donc ils forment une base.

Le déterminant de \(u\) est l’unique scalaire \(\det u\) tel que, pour toute base \(\mathcal{B}\) et tous vecteurs \(x_1, \ldots, x_n\),

\[\det_{\mathcal{B}}(u(x_1), \ldots, u(x_n)) = \det u \cdot \det_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n).\]

Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de \(E\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\).

• \(\det(\mathrm{id}_E) = 1\) et \(\det(\lambda u) = \lambda^n \det u\).
• \(\det(u \circ v) = \det u \cdot \det v\).
• \(u\) est bijectif si et seulement si \(\det u \neq 0\), et alors \(\det(u^{-1}) = \frac{1}{\det u}\).

Pour le produit, on applique deux fois la définition : \(\det_{\mathcal{B}}(u(v(e_1)), \ldots) = \det u \cdot \det_{\mathcal{B}}(v(e_1), \ldots) = \det u \cdot \det v\). Ensuite, \(u\) est bijectif si et seulement si \((u(e_1), \ldots, u(e_n))\) est une base. D’après la proposition précédente, cela équivaut à \(\det u \neq 0\). Enfin, \(\det u \cdot \det(u^{-1}) = \det(\mathrm{id}_E) = 1\).

Le déterminant de \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est le déterminant de ses colonnes dans la base canonique de \(\mathbb{K}^n\) :

\[\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} a_{\sigma(j) j}.\]

On le note aussi en remplaçant les parenthèses de la matrice par des barres verticales.

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\).

• \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\) et \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det A\).
• \(\det(A^{T}) = \det A\).
• \(A\) est inversible si et seulement si \(\det A \neq 0\), et alors \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}\).
• Si \(A\) est la matrice de \(u\) dans une base quelconque, alors \(\det A = \det u\).

Le déterminant de \(A\) est celui de l’endomorphisme canoniquement associé. Les deux premiers points et le troisième viennent donc du théorème sur les endomorphismes. Pour la transposée, on écrit \(\det(A^{T}) = \sum_{\sigma} \varepsilon(\sigma) \prod_{j} a_{j \sigma(j)}\). On pose \(i = \sigma(j)\) dans le produit : il devient \(\prod_{i} a_{\sigma^{-1}(i) i}\). Or \(\varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma)\), et \(\sigma \mapsto \sigma^{-1}\) est une bijection de \(S_n\). Par conséquent, la somme vaut \(\det A\).

Le déterminant n’est pas linéaire : en général \(\det(A + B) \neq \det A + \det B\). Par exemple, \(\det(I_2 + I_2) = 4\), alors que \(\det I_2 + \det I_2 = 2\).

• Échanger deux lignes (ou deux colonnes) change le déterminant en son opposé.
• Multiplier une ligne par \(\lambda\) multiplie le déterminant par \(\lambda\).
• Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes ne change pas le déterminant.
• Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Les trois premiers points traduisent le caractère \(n\)-linéaire alterné. Pour une matrice triangulaire supérieure, \(a_{\sigma(j) j} = 0\) dès que \(\sigma(j) > j\). Or la seule permutation vérifiant \(\sigma(j) \leq\, j\) pour tout \(j\) est l’identité. Il ne reste donc que le produit diagonal.

Pour calculer un déterminant par la méthode du pivot, on fait apparaître des zéros sous la diagonale par des opérations \(L_i arrow L_i + \lambda L_k\), qui ne changent rien. On note chaque échange de lignes (facteur \(-1\)) et chaque facteur mis en évidence. Enfin, on multiplie les coefficients diagonaux. Il est souvent utile d’ajouter d’abord toutes les colonnes à la première.

Avec \(L_2 arrow L_2 – 2L_1\) puis \(L_3 arrow L_3 – 3L_1\), on obtient

\[\begin{vmatrix} 1 2 1 \\ 2 5 3 \\ 3 7 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 1 \\ 0 1 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 2 1 \\ 0 1 1 \\ 0 0 2 \end{vmatrix} = 2,\]

la dernière étape étant \(L_3 arrow L_3 – L_2\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \geq\, 2\). Le mineur \(\Delta_{ij}\) est le déterminant de la matrice \(A_{ij}\) obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\). Le cofacteur de \(a_{ij}\) est \(C_{ij} = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}\).

Pour tout indice de colonne \(j\) et tout indice de ligne \(i\),

\[\det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \quad \text{et} \quad \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}.\]

La première formule est le développement selon la colonne \(j\), la seconde selon la ligne \(i\).

La colonne \(j\) vaut \(\sum_{i} a_{ij} e_i\). Par linéarité, \(\det A = \sum_{i} a_{ij} D_{ij}\), où \(D_{ij}\) est le déterminant de \(A\) dont la colonne \(j\) est remplacée par \(e_i\). Amenons cette colonne en première position par \(j – 1\) échanges de colonnes voisines. De même, amenons la ligne \(i\) en tête par \(i – 1\) échanges. On obtient un facteur \((-1)^{i+j}\) et une matrice de première colonne \(e_1\), qui contient \(A_{ij}\) en bas à droite.

Dans la formule du déterminant de cette matrice, seules comptent les permutations qui fixent 1. Elles s’identifient à \(S_{n-1}\), avec la même signature. Ainsi \(D_{ij} = (-1)^{i+j} \Delta_{ij} = C_{ij}\). Le développement selon une ligne s’en déduit par transposition.

On développe selon la deuxième colonne, qui contient deux zéros :

\[\begin{vmatrix} 3 0 1 \\ 2 4 5 \\ 1 0 2 \end{vmatrix} = 4 \times (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 1 \\ 1 2 \end{vmatrix} = 4 \times 5 = 20.\]

Pour un déterminant tridiagonal \(D_n\), de diagonale \(a\), de sur-diagonale \(b\) et de sous-diagonale \(c\), on développe selon la première ligne, puis on développe le second mineur selon sa première colonne. On obtient la relation de récurrence linéaire d’ordre 2

\[D_n = a D_{n-1} – bc\, D_{n-2}.\]

On calcule alors \(D_1\) et \(D_2\), puis on résout la récurrence avec l’équation caractéristique \(r^2 = ar – bc\).

Pour \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}\), le déterminant de Vandermonde est \(V(a_1, \ldots, a_n) = \det\big(a_i^{\,j-1}\big)_{1 \leq\, i, j \leq\, n}\). Sa ligne \(i\) est \((1, a_i, a_i^2, \ldots, a_i^{n-1})\).

En particulier, \(V(a_1, \ldots, a_n) \neq 0\) si et seulement si les \(a_i\) sont deux à deux distincts.

On effectue \(C_j arrow C_j – a_1 C_{j-1}\) pour \(j\) allant de \(n\) à 2. Cela ne change pas le déterminant. Le coefficient de la ligne \(i\) et de la colonne \(j \geq\, 2\) devient \(a_i^{\,j-2}(a_i – a_1)\), et la première ligne devient \((1, 0, \ldots, 0)\). On développe alors selon cette ligne. Puis on met \(a_i – a_1\) en facteur dans chaque ligne \(i \geq\, 2\). Il vient

\[V(a_1, \ldots, a_n) = \prod_{i=2}^{n} (a_i – a_1) \cdot V(a_2, \ldots, a_n),\]

et une récurrence sur \(n\) conclut, puisque \(V(a) = 1\).

La comatrice de \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est la matrice \(\operatorname{com}(A) = (C_{ij})\) de ses cofacteurs.

Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\),

\[A \operatorname{com}(A)^{T} = \operatorname{com}(A)^{T} A = \det(A)\, I_n.\]

Par conséquent, si \(A\) est inversible, \(A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{com}(A)^{T}\).

Le coefficient \((i, k)\) de \(A \operatorname{com}(A)^{T}\) vaut \(\sum_{j} a_{ij} C_{kj}\). Si \(i = k\), c’est le développement de \(\det A\) selon la ligne \(i\). Si \(i \neq k\), c’est le développement selon la ligne \(k\) de la matrice obtenue en remplaçant la ligne \(k\) de \(A\) par sa ligne \(i\). Cette matrice a deux lignes égales, donc son déterminant est nul. L’autre produit se traite de même avec les colonnes.

Pour \(n = 2\), on obtient la formule bien connue : si \(ad – bc \neq 0\),

\[\begin{pmatrix} a b \\ c d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d -b \\ -c a \end{pmatrix}.\]

Soit \(A\) inversible, de colonnes \(C_1, \ldots, C_n\), et \(B \in \mathbb{K}^n\). L’unique solution de \(AX = B\) est donnée par

\[x_j = \frac{\det(C_1, \ldots, C_{j-1}, B, C_{j+1}, \ldots, C_n)}{\det A} \quad \text{pour } 1 \leq\, j \leq\, n.\]

L’égalité \(AX = B\) s’écrit \(B = \sum_{k} x_k C_k\). On remplace \(C_j\) par cette expression dans le numérateur. Par linéarité, on obtient \(\sum_{k} x_k \det(C_1, \ldots, C_k, \ldots, C_n)\), où \(C_k\) occupe la place \(j\). Pour \(k \neq j\), la colonne \(C_k\) apparaît deux fois, donc le terme est nul. Il reste \(x_j \det A\).

Résolvons \(2x + y = 5\) et \(x + 3y = 5\). Le déterminant du système vaut \(6 – 1 = 5\), donc c’est un système de Cramer. Ensuite, \(x = \frac{5 \times 3 – 1 \times 5}{5} = 2\) et \(y = \frac{2 \times 5 – 5 \times 1}{5} = 1\).

Les formules de Cramer ont surtout un intérêt théorique. Par exemple, elles montrent que la solution dépend continûment des coefficients. En pratique, dès que \(n \geq\, 3\), la méthode du pivot demande beaucoup moins de calculs.