Nombres complexes : cours de maths en L1 en PDF.

On note \(\mathbb{C}\) l’ensemble \(\mathbb{R}^2\) muni des deux lois suivantes. Pour \((a, b)\) et \((c, d)\) dans \(\mathbb{R}^2\) :

\[(a, b) + (c, d) = (a + c,\, b + d), \qquad (a, b) \times (c, d) = (ac – bd,\, ad + bc).\]

Les éléments de \(\mathbb{C}\) s’appellent les nombres complexes.

\((\mathbb{C}, +, \times )\) est un corps commutatif. Son zéro est \((0, 0)\) et son unité est \((1, 0)\). De plus, le nombre \(i = (0, 1)\) vérifie \(i^2 = -1\), et tout complexe s’écrit de façon unique \(z = a + ib\) avec \(a, b\) réels.

L’associativité et la commutativité se vérifient par un calcul direct sur les couples. Par exemple, \((c, d) \times (a, b) = (ca – db,\, cb + da)\), qui est bien égal à \((a, b) \times (c, d)\). Montrons surtout l’existence d’un inverse. Soit \((a, b) \neq (0, 0)\) ; alors \(a^2 + b^2 > 0\). Posons \((\frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2})\). Le produit avec \((a, b)\) vaut

\[(\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2},\, \frac{-ab + ba}{a^2 + b^2}) = (1, 0).\]

Ensuite, \(i^2 = (0, 1) \times (0, 1) = (0 – 1,\, 0 + 0) = (-1, 0) = -1\). Enfin, \((a, b) = (a, 0) + (b, 0) \times (0, 1) = a + ib\), et l’unicité découle de l’égalité des couples.

Si \(z = a + ib\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\), le réel \(a\) est la partie réelle de \(z\), notée \(\mathrm{Re}(z)\), et le réel \(b\) est sa partie imaginaire, notée \(\mathrm{Im}(z)\). L’écriture \(a + ib\) est la forme algébrique de \(z\). Un complexe de partie réelle nulle est dit imaginaire pur.

Il n’existe aucune relation d’ordre sur \(\mathbb{C}\) compatible avec ses lois. Si un tel ordre existait, tout carré serait positif. On aurait alors \(1 = 1^2 \geq\, 0\) et \(-1 = i^2 \geq\, 0\), donc \(0 = 1 + (-1) \geq\, 1\), ce qui est absurde. Ainsi, une inégalité entre complexes n’a pas de sens : on compare seulement des modules ou des parties réelles.

Le conjugué de \(z = a + ib\) est \(\overline{z} = a – ib\). Géométriquement, le point d’affixe \(\overline{z}\) est le symétrique du point d’affixe \(z\) par rapport à l’axe des réels.

Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\) :

\[\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}, \quad \overline{zw} = \overline{z}\,\overline{w}, \quad \overline{\overline{z}} = z, \quad \mathrm{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}, \quad \mathrm{Im}(z) = \frac{z – \overline{z}}{2i}.\]

De plus, \(z\) est réel si et seulement si \(\overline{z} = z\), et imaginaire pur si et seulement si \(\overline{z} = -z\). Enfin, si \(w \neq 0\), \(\overline{z / w} = \overline{z} / \overline{w}\).

Montrons la formule du produit. Posons \(z = a + ib\) et \(w = c + id\). D’une part, \(zw = (ac – bd) + i(ad + bc)\), donc \(\overline{zw} = (ac – bd) – i(ad + bc)\). D’autre part, \(\overline{z}\,\overline{w} = (a – ib)(c – id) = (ac – bd) – i(ad + bc)\). Les deux expressions coïncident. Les autres formules se prouvent de la même façon.

Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur. Par exemple :

\[\frac{1 + 2i}{3 – 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{(3 – 4i)(3 + 4i)} = \frac{-5 + 10i}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i.\]

Le module de \(z = a + ib\) est le réel positif \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). C’est la distance de l’origine \(O\) au point \(M\) d’affixe \(z\). Plus généralement, \(|z – w|\) est la distance entre les points d’affixes \(z\) et \(w\).

Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\) : \(|z|^2 = z\overline{z}\), \(|\overline{z}| = |z|\), \(|zw| = |z|\,|w|\), et \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\). De plus, \(|\mathrm{Re}(z)| \leq\, |z|\) et \(|\mathrm{Im}(z)| \leq\, |z|\). Enfin, si \(z \neq 0\), alors \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}\).

D’abord, \(z\overline{z} = (a + ib)(a – ib) = a^2 + b^2 = |z|^2\). Ensuite, grâce à la propriété du conjugué d’un produit, \(|zw|^2 = zw\,\overline{zw} = z\overline{z}\,w\overline{w} = |z|^2|w|^2\). Les deux membres sont positifs, donc \(|zw| = |z|\,|w|\). Par ailleurs, \(a^2 \leq\, a^2 + b^2\), d’où \(|a| \leq\, |z|\). Enfin, \(z \cdot \overline{z} / |z|^2 = 1\) donne l’inverse.

Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\), \(|z + w| \leq\, |z| + |w|\). Il y a égalité si et seulement si \(w = 0\) ou s’il existe un réel \(\lambda \geq\, 0\) tel que \(z = \lambda w\).

On développe le carré du module :

\[|z + w|^2 = (z + w)(\overline{z} + \overline{w}) = |z|^2 + |w|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\overline{w}).\]

Or \(\mathrm{Re}(z\overline{w}) \leq\, |z\overline{w}| = |z|\,|w|\). Par conséquent, \(|z + w|^2 \leq\, (|z| + |w|)^2\), et l’inégalité suit puisque les deux nombres sont positifs. Il y a égalité si et seulement si \(\mathrm{Re}(z\overline{w}) = |z\overline{w}|\), c’est-à-dire si \(z\overline{w}\) est un réel positif. Si \(w \neq 0\), cela signifie que \(z = \frac{z\overline{w}}{|w|^2}\, w\) avec \(\lambda = \frac{z\overline{w}}{|w|^2} \geq\, 0\). La réciproque est immédiate.

Pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\), \(\big||z| – |w|\big| \leq\, |z – w|\). De plus, pour \(z_1, \ldots, z_n\) complexes, \(|\sum_{k=1}^{n} z_k| \leq\, \sum_{k=1}^{n} |z_k|\).

Soit \(z\) tel que \(|z| \leq\, 1\). Alors \(|z^2 + 3z – 5| \geq\, 5 – |z|^2 – 3|z| \geq\, 5 – 1 – 3 = 1\). En particulier, le polynôme \(z^2 + 3z – 5\) ne s’annule pas dans le disque unité fermé.

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b, \qquad \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b.\]

On en déduit \(\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a\) et \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\). De plus, lorsque les tangentes sont définies, \(\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}\).

Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on pose \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). On note \(\mathbb{U}\) l’ensemble des complexes de module \(1\).

L’application \(\theta \mapsto e^{i\theta}\) est surjective de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{U}\), et pour tous réels \(a, b\) :

\[e^{i(a + b)} = e^{ia}\, e^{ib}, \qquad \overline{e^{ia}} = e^{-ia} = \frac{1}{e^{ia}}, \qquad e^{ia} = e^{ib} \Leftrightarrow a – b \in 2\pi\mathbb{Z}.\]

On développe le produit :

\[e^{ia}e^{ib} = (\cos a \cos b – \sin a \sin b) + i(\sin a \cos b + \cos a \sin b).\]

D’après les formules d’addition, c’est exactement \(\cos(a + b) + i\sin(a + b)\). Ensuite, soit \(u = x + iy\) de module \(1\). Alors \(x^2 + y^2 = 1\), donc il existe \(\theta\) tel que \(x = \cos\theta\) et \(y = \sin\theta\) : c’est la définition du cosinus et du sinus par le cercle. Enfin, \(e^{ia} = e^{ib}\) équivaut à \(e^{i(a – b)} = 1\), soit \(\cos(a – b) = 1\) et \(\sin(a – b) = 0\), c’est-à-dire \(a – b \in 2\pi\mathbb{Z}\).

Formules d’Euler : pour tout réel \(\theta\), \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}\).

Formule de Moivre : pour tout réel \(\theta\) et tout entier \(n \in \mathbb{Z}\), \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\).

Tout complexe non nul \(z\) s’écrit \(z = r e^{i\theta}\) avec \(r = |z| > 0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\). Le réel \(\theta\) est unique modulo \(2\pi\) : on l’appelle un argument de \(z\), noté \(\arg z\). L’unique argument situé dans \(]-\pi, \pi]\) est l’argument principal.

Le complexe \(z / |z|\) est de module \(1\). D’après le théorème précédent, il existe donc \(\theta\) tel que \(z / |z| = e^{i\theta}\). Si \(r e^{i\theta} = r^{\prime} e^{i\theta^{\prime}}\), en prenant les modules on obtient \(r = r^{\prime}\). Ensuite, \(e^{i\theta} = e^{i\theta^{\prime}}\), donc \(\theta – \theta^{\prime} \in 2\pi\mathbb{Z}\).

Pour \(z, w\) non nuls et \(n \in \mathbb{Z}\), modulo \(2\pi\) : \(\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w\), \(\arg(z / w) \equiv \arg z – \arg w\), \(\arg \overline{z} \equiv -\arg z\) et \(\arg(z^n) \equiv n \arg z\).

Pour passer de la forme algébrique \(z = a + ib\) à la forme exponentielle :

• on calcule d’abord \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) ;
• on factorise ensuite : \(z = r(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r})\) ;
• on reconnaît enfin un angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta = \frac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \frac{b}{r}\).

Attention : la seule relation \(\tan\theta = b / a\) ne suffit pas, car elle ne détermine \(\theta\) qu’à \(\pi\) près.

Soit \(z = -1 + i\sqrt{3}\). D’abord, \(|z| = \sqrt{1 + 3} = 2\). Ensuite, \(z = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})\). On reconnaît \(\cos\frac{2\pi}{3}\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}\), donc \(z = 2e^{2i\pi/3}\). Par conséquent, \(z^6 = 2^6 e^{4i\pi} = 64\).

Pour \(z = x + iy\) avec \(x, y\) réels, on pose \(e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\).

Pour tous \(z, z^{\prime} \in \mathbb{C}\), \(e^{z + z^{\prime}} = e^z e^{z^{\prime}}\), \(|e^z| = e^{\mathrm{Re}(z)}\) et \(e^z \neq 0\). De plus, \(e^z = e^{z^{\prime}}\) si et seulement si \(z – z^{\prime} \in 2i\pi\mathbb{Z}\). Enfin, pour tout \(a \in \mathbb{C}\) non nul, l’équation \(e^z = a\) a pour solutions les complexes \(\ln|a| + i\theta + 2ik\pi\), où \(\theta\) est un argument de \(a\) et \(k \in \mathbb{Z}\).

La première formule combine la propriété de l’exponentielle réelle et celle de \(e^{iy}\). Ensuite, si \(z = x + iy\), l’équation \(e^z = |a|e^{i\theta}\) équivaut à \(e^x = |a|\) et \(e^{iy} = e^{i\theta}\), par unicité de la forme trigonométrique. Autrement dit, \(x = \ln|a|\) et \(y \in \theta + 2\pi\mathbb{Z}\).

Pour linéariser \(\cos^p x \sin^q x\) :

• on remplace d’abord chaque facteur par sa formule d’Euler ;
• on développe ensuite avec la formule du binôme ;
• on regroupe enfin les termes conjugués \(e^{ikx}\) et \(e^{-ikx}\) en \(2\cos(kx)\) ou \(2i\sin(kx)\).

Linéarisons \(\cos^3 x\). Par la formule d’Euler et le binôme :

\[\cos^3 x = \frac{(e^{ix} + e^{-ix})^3}{8} = \frac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \frac{2\cos 3x + 6\cos x}{8}.\]

Ainsi, \(\cos^3 x = \frac{1}{4}\cos 3x + \frac{3}{4}\cos x\). Une primitive de \(\cos^3\) est donc \(\frac{1}{12}\sin 3x + \frac{3}{4}\sin x\).

Posons \(c = \cos x\) et \(s = \sin x\). Alors \(\cos 3x + i \sin 3x = (c + is)^3 = c^3 + 3ic^2 s – 3cs^2 – is^3\). En identifiant les parties réelles, puis en remplaçant \(s^2\) par \(1 – c^2\) :

\[\cos 3x = c^3 – 3c(1 – c^2) = 4\cos^3 x – 3\cos x.\]

De même, les parties imaginaires donnent \(\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[e^{ia} + e^{ib} = 2\cos(\frac{a – b}{2}) e^{i\frac{a + b}{2}}, \qquad e^{ia} – e^{ib} = 2i\sin(\frac{a – b}{2}) e^{i\frac{a + b}{2}}.\]

En prenant les parties réelles et imaginaires, on obtient par exemple \(\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p – q}{2}\) et \(\sin p – \sin q = 2\cos\frac{p + q}{2}\sin\frac{p – q}{2}\).

Soit \(x \notin 2\pi\mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\). Calculons \(C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kx)\). C’est la partie réelle d’une somme géométrique de raison \(e^{ix} \neq 1\) :

\[\sum_{k=0}^{n} e^{ikx} = \frac{e^{i(n+1)x} – 1}{e^{ix} – 1} = \frac{e^{i(n+1)x/2}\, 2i\sin\frac{(n+1)x}{2}}{e^{ix/2}\, 2i\sin\frac{x}{2}} = e^{inx/2}\,\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}.\]

Par conséquent, \(C_n = \dfrac{\cos\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\).

Tout complexe non nul \(w\) possède exactement deux racines carrées, c’est-à-dire deux complexes \(z\) tels que \(z^2 = w\). Elles sont opposées. Si \(w = re^{i\theta}\), ce sont \(\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\) et \(-\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\).

Posons \(z_0 = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\). Alors \(z_0^2 = r e^{i\theta} = w\). Ensuite, \(z^2 = w\) équivaut à \(z^2 – z_0^2 = 0\), c’est-à-dire \((z – z_0)(z + z_0) = 0\). Or un corps n’a pas de diviseur de zéro, donc \(z = z_0\) ou \(z = -z_0\). Enfin, ces deux racines sont distinctes car \(z_0 \neq 0\).

Pour trouver les racines carrées de \(w = \alpha + i\beta\), on cherche \(z = x + iy\) avec \(z^2 = w\). On écrit trois équations :

\[x^2 – y^2 = \alpha, \qquad 2xy = \beta, \qquad x^2 + y^2 = |w|.\]

La troisième vient de \(|z|^2 = |w|\). Les première et troisième donnent \(x^2\) et \(y^2\). Ensuite, le signe de \(\beta\) indique si \(x\) et \(y\) sont de même signe.

Cherchons les racines carrées de \(3 – 4i\). On a \(x^2 – y^2 = 3\), \(x^2 + y^2 = 5\) et \(xy = -2\). Donc \(x^2 = 4\) et \(y^2 = 1\), avec \(x\) et \(y\) de signes contraires. Les racines carrées sont donc \(2 – i\) et \(-2 + i\). On vérifie : \((2 – i)^2 = 4 – 4i – 1 = 3 – 4i\).

Soient \(a, b, c \in \mathbb{C}\) avec \(a \neq 0\), et \(\Delta = b^2 – 4ac\). Soit \(\delta\) une racine carrée de \(\Delta\). Alors l’équation \(az^2 + bz + c = 0\) a pour solutions

\[z_1 = \frac{-b + \delta}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \frac{-b – \delta}{2a},\]

confondues si et seulement si \(\Delta = 0\). De plus, \(z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}\).

On met le trinôme sous forme canonique :

\[az^2 + bz + c = a[(z + \frac{b}{2a})^2 – \frac{\Delta}{4a^2}] = a(z + \frac{b}{2a} – \frac{\delta}{2a})(z + \frac{b}{2a} + \frac{\delta}{2a}).\]

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs l’est, d’où les deux solutions. Enfin, la somme et le produit se calculent directement.

La notation \(\sqrt{\Delta}\) est réservée aux réels positifs. Pour un discriminant complexe, on parle d’une racine carrée \(\delta\), calculée par la méthode précédente.

Résolvons \(z^2 – (3 + i)z + 4 + 3i = 0\). On calcule \(\Delta = (3 + i)^2 – 4(4 + 3i) = -8 – 6i\). Une racine carrée de \(\Delta\) est \(\delta = 1 – 3i\), car \((1 – 3i)^2 = 1 – 6i – 9\). Les solutions sont donc \(\frac{3 + i + 1 – 3i}{2} = 2 – i\) et \(\frac{3 + i – 1 + 3i}{2} = 1 + 2i\).

Soit \(n \geq\, 1\) un entier. Une racine n-ième de l’unité est un complexe \(z\) tel que \(z^n = 1\). On note \(\mathbb{U}_n\) leur ensemble.

L’ensemble \(\mathbb{U}_n\) compte exactement \(n\) éléments : \(\mathbb{U}_n = \{ e^{2ik\pi/n},\ k \in \{0, 1, \ldots, n – 1\} \}\). Si \(n \geq\, 2\), leur somme est nulle.

Si \(z^n = 1\), alors \(|z|^n = 1\), donc \(|z| = 1\) et \(z = e^{i\theta}\). L’équation devient \(e^{in\theta} = 1\), c’est-à-dire \(n\theta \in 2\pi\mathbb{Z}\). Ainsi, \(\theta = 2k\pi / n\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Or \(e^{2ik\pi/n}\) ne dépend que du reste de \(k\) modulo \(n\). De plus, les valeurs obtenues pour \(k = 0, \ldots, n – 1\) sont distinctes, car leurs arguments diffèrent de moins de \(2\pi\). Enfin, posons \(\omega = e^{2i\pi/n} \neq 1\). La somme vaut \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{1 – \omega^n}{1 – \omega} = 0\).

On note \(j = e^{2i\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ainsi, \(\mathbb{U}_3 = \{1, j, j^2\}\), avec \(1 + j + j^2 = 0\) et \(j^2 = \overline{j}\).

Soit \(a = re^{i\alpha}\) un complexe non nul. L’équation \(z^n = a\) possède exactement \(n\) solutions :

\[z_k = r^{1/n}\, e^{i(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n})}, \qquad k \in \{0, 1, \ldots, n – 1\}.\]

Autrement dit, si \(z_0\) est une solution, les solutions sont les \(z_0\,\omega\) avec \(\omega \in \mathbb{U}_n\).

D’abord, \(z_0 = r^{1/n}e^{i\alpha/n}\) vérifie \(z_0^n = a\). Ensuite, comme \(z_0 \neq 0\), on a \(z^n = a \Leftrightarrow (z / z_0)^n = 1 \Leftrightarrow z / z_0 \in \mathbb{U}_n\). Le résultat découle alors du théorème précédent.

Pour calculer les racines n-ièmes d’un complexe \(a\) :

• on écrit d’abord \(a\) sous forme exponentielle \(re^{i\alpha}\) ;
• on cherche ensuite \(z = \rho e^{i\theta}\) : l’équation devient \(\rho^n = r\) et \(n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}\) ;
• on conclut enfin \(\rho = r^{1/n}\) et \(\theta = \frac{\alpha + 2k\pi}{n}\) pour \(k = 0, \ldots, n – 1\).

Résolvons \(z^3 = 8i\). On a \(8i = 8e^{i\pi/2}\). Les solutions sont donc \(2e^{i(\pi/6 + 2k\pi/3)}\) pour \(k \in \{0, 1, 2\}\). Autrement dit, ce sont \(\sqrt{3} + i\), \(-\sqrt{3} + i\) et \(-2i\).

Soient \(A, B, C\) trois points distincts d’affixes \(a, b, c\). Alors \(AB = |b – a|\), et une mesure de l’angle orienté \((\vec{AB}, \vec{AC})\) est \(\arg\dfrac{c – a}{b – a}\). En particulier, \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(\frac{c – a}{b – a}\) est réel. De même, \((AB) \perp (AC)\) si et seulement si ce quotient est imaginaire pur.

Soient \(a \in \mathbb{C}\) non nul et \(b \in \mathbb{C}\). On considère l’application \(f : z \mapsto az + b\).

• Si \(a = 1\), \(f\) est la translation de vecteur d’affixe \(b\).
• Si \(a \neq 1\), \(f\) a un unique point fixe \(\omega = \frac{b}{1 – a}\), et \(f(z) – \omega = a(z – \omega)\).
• Si \(a\) est un réel différent de \(1\), \(f\) est l’homothétie de centre \(\omega\) et de rapport \(a\).
• Si \(a = e^{i\theta}\) avec \(\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}\), \(f\) est la rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\).

Dans le cas général \(a = \rho e^{i\theta}\), \(f\) est la composée de la rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\) avec l’homothétie de même centre et de rapport \(\rho\) : c’est une similitude directe.

Si \(a \neq 1\), l’équation \(\omega = a\omega + b\) a pour unique solution \(\omega = b / (1 – a)\). En soustrayant \(\omega = a\omega + b\) à \(f(z) = az + b\), on obtient \(f(z) – \omega = a(z – \omega)\). Ensuite, si \(a = \rho e^{i\theta}\), la distance \(|f(z) – \omega|\) vaut \(\rho\,|z – \omega|\). De plus, l’argument de \(f(z) – \omega\) est celui de \(z – \omega\) augmenté de \(\theta\). On reconnaît les définitions géométriques de l’homothétie et de la rotation.

Déterminons la nature de \(f : z \mapsto iz + 1 + i\). Ici \(a = i = e^{i\pi/2}\), donc \(f\) est une rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\). Son centre vérifie \(\omega = i\omega + 1 + i\), soit \(\omega = \frac{1 + i}{1 – i} = \frac{(1 + i)^2}{2} = i\). Ainsi, \(f\) est la rotation de centre \(i\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).

L’application \(z \mapsto \overline{z}\) est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des réels. Elle conserve les distances mais change l’orientation des angles. Ce n’est donc pas une application de la forme \(z \mapsto az + b\).